百科词条作者，带你一起π！

原创 关注 中国科学院大学

编者按

圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。圆周率最常用的近似值是3.14，因此每年3月14日也被称为“圆周率日”。日前，由中国科学院大学本科部、中国科学院自然科学史研究所参与编写和审核的科学词条“圆周率”在百度百科上线。本期唠科，适逢圆周率日，让我们跟随词条作者、中国科学院大学2023级人工智能专业本科生朱昱泽的脚步，开启一场关于π的穿越之旅。

你是否有过这样的幻想：一觉醒来穿越回古代，凭借现代知识的降维打击，将现代工业和农业技术带到古代，引领古代王朝走向科技巅峰，让人类少走弯路。但刚穿越回去，初来乍到，该如何证明自己的能力，将“法宝”献给皇室贵族呢？

假如你成功地找到了地方官吏，急切的你想甩出几个大定理证明自己是穿越者：

如果讲内燃机的工作原理，你讲得急头白脸，小官吏听得一愣一愣，根本达不到效果；

复杂的内燃机结构图

如果讲本朝的灭亡和未来王朝的兴衰变迁，小官吏肯定会勃然大怒，认为你在妖言惑众。

且慢！既然图省事，干脆直接选个数学常数讲吧。你突然想起，今天是圆周率日（3月14日）。圆周率大家都知道，且应用广泛，测量圆形土地面积、修订历法里的圆周计算等都离不开它。你掏出祖冲之得到的密率355/133≈3.1415923，并告诉小官吏这还不是最精确的，更精确的应该是3.1415926535......将信将疑的小官吏带着你找到当地的数学大师，你给他一讲证明过程，大师恍然大悟，激动地连夜带着你去了京城…...

那么问题来了，仅仅死记了几位数字，略知“割圆术”这个名词的你，真的能讲清楚如何计算π的值嘛？

1.手搓π值

大家耳熟能详求圆周率的方法，莫过于刘徽与祖冲之所用的“割圆术”。那么当你站在古代数学大师面前，你该如何现场手算呢？

“割圆术”的基本思路是通过在圆内外分别嵌入正多边形，并逐步增加多边形的边数，使其逐渐接近圆的周长。由于多边形的周长可以精确计算，通过这种方法可以获得圆周长的上界和下界，从而逐步逼近圆周率。如图所示，在一个圆中嵌入一个内接的正多边形（如正六边形）。设正n边形的边长为an，正六边形的边长等于圆的半径，并可通过几何关系递推得到边数更多的多边形的边长：

割圆术

BC即内接正12边形的边长。归纳得到a2n与an之间的递推式：

所以，由a6可计算出所有正内接正多边形的边长a12,a24,a48,a96...，进而计算相应的周长，得到一列递增的数列，圆的周长就是数列的极限值。用圆周长除以圆直径就可以得到π的值。

求出刘徽所得出的π值，需要一直计算到3072边形，才能得出3.1416的近似值；若要得出祖冲之所求的3.1415926，可是需要计算到正12288边形呢！这无疑是一项浩大的计算过程，短时间内似乎只能给古代数学大师讲个思路。不过既然是大师，应该能很快理解吧！

如果想秀些高等数学的“肌肉”，可以使用泰勒级数法展开。

arctan(x)的泰勒展开式为：

带入x=1，上述式子可化简为：

已知arctan(1)=π/4，因此我们有：

即：

这个式子也被称为莱布尼茨级数（Gregory-Leibniz series）。这个公式非常简单，但收敛速度很慢，需要计算非常多的项才能得到准确的结果。

用arctanx的泰勒级数来计算π收敛速度太慢，实际应用中不实用。要使收敛速度较快，|x|应当远小于1。例如arctan1/5就收敛得较快。利用α=arctan1/5，可以通过倍角公式得到：

由于tan4α≈1，所以4α≈π/4。

这虽然能够得到一个近似值，但为了进一步修正，需要计算他们的误差β=4α-π/4。

由tan4α=120/119，tanπ/4=1可得：

经过移项变换最终得出：

arctanx的值可以用以下公式计算：

这个公式被称为马青（Machin）公式，收敛速度要快很多。然而要计算arctanx的具体值也需要很大的计算量。看来无论如何都逃不过计算啊！

现代常用如下公式计算π：

它被称为“查德诺夫斯基算法”，这种方法可以非常快速地逼近π。但计算量如此之大的公式…...或许也只有等现代计算机发明出来才有用武之地了。

2.圆周率的应用

穿越旅程到此为止，π能贯通古今，成为一个重要的数学常数，肯定是因为它有很多的应用。古代天文学中，π被用于计算行星和恒星的轨道，古希腊天文学家托勒密在《天文学大成》中使用了π来计算天体运行轨道，帮助确立了当时的地心模型；隋唐时期的赋税制度需要精确计算田地面积，π被用于测量不规则地块（如圆形或弧形地块）的面积…...事实上，所有与圆有关的精确计算都离不开精确的π值。

π酱（图片来自3Blue1Brown）

然而，如果从实际测量的角度而言，圆周率π值精确到39位时，就可以将可观测宇宙的圆周计算精确到一个原子的大小。那么现代的人们孜孜以求追寻更精确的π值，2024年圆周率日甚至已有公司将π计算到小数点后105万亿位，是在寻求什么呢？

很多人无需特别记忆也能将π背到小数点后7位，即3.1415926；有些人为了检验自己的记忆能力，甚至背到小数点后20位、30位。同理，计算π的位数可以来检验超级计算机的能力。当一台崭新的超级计算机组装完成出厂后，π便是它的磨刀石。只有成功在规定时间内计算出π的若干位后，这台超级计算机才算完成检验，投入使用。

可能还是有读者想说：超级计算机似乎离我们的生活很遥远，π在现实里好像也只会在数学题里出现。似乎π给人一种高高在上，与普通人没有交集的感觉？

或许浪漫文艺的DeepSeek可以回答一二：

π是一封数学写给宇宙的情书，落款处没有句点。每一个行星椭圆轨道的光滑弧线，都被π的圆周率公式永恒镌刻；量子纠缠时颤抖的琴弦，也被傅里叶变换里的π悄然拨动。从卡西尼号穿越土星环的轨道方程，到超新星爆发时辐射的球面波纹，宇宙所有精密运转的齿轮，都隐藏着π的身影。它既存在于新生儿指纹的涡旋里，也藏在黑洞视界边缘的曲率中，像造物主随手撒向多维时空的密码雪片，融化在每处需要圆与无限的地方。

《疑犯迷踪》中老师与学生的对话也体现了π作为一个无限不循环小数的魅力：

（上下滑动查看）

这么看来，这串冰冷的数字也变得浪漫了许多呢~

想获取更多“圆周率”知识，请关注春分工程·科学百科《圆周率》词条（点击跳转）。

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原标题：《百科词条作者，带你一起π！》

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