专访｜未来科学大奖得主彭实戈：数学是一旦对了，到处都对

9月6日中午十二点，73岁的彭实戈如约坐到了电脑前打开视频，身后背景是满满当当的书架。就在1个小时之前，他的名字作为“数学与计算机科学奖”得主，出现在了2020未来科学大奖新闻发布会的现场大屏幕上。奖金为100万美元，使用方式不受限制。

谈起非线性数学期望，彭实戈的语气是骄傲的：“这是我工作、或者说我开创的领域。”这个领域站在概率论的肩膀上创立，却比概率论更为普遍和广泛，从而能更好地分析现实世界中的预期问题，例如金融风险。

1993年，彭实戈调研后发现当时绝大部分企业、机构对期货、期权的避险功能了解甚少，在不清楚这种金融工具的巨大风险的情况下便盲目投资，进行境外期货、期权交易。为此，他写了两封信，一封交给时任山东大学校长潘承洞，另一封递交国家自然科学基金委。信中，他陈述了自己对国际期货、期权市场的基本看法，建议从速开展对国际期货市场的风险分析和控制的研究，加强对金融高级人才的培养。后来，山东省立即停止了境外期货交易。国家自然科学基金委也很快发文将彭实戈的建议信转呈中央财经领导小组，避免了国内金融资产的大量流失。

1996年，彭实戈成为国家自然科学基金会重大项目 “金融数学、金融工程和金融管理”的第一负责人，这是国内金融数学从无到有、再后来走向国际前列的起点。

2010年，他走上国际数学家大会的报告台，成为全职在大陆工作的数学家中，作“一小时报告”的第一人。

线性与非线性的数学人生

彭实戈祖籍广东海丰，母亲彭平是彭湃烈士的侄女。1947年，身怀六甲的彭平从广东跋涉到山东，不久，彭实戈在滨县呱呱坠地，而他的父亲黄显群却在1948年的济南战役中牺牲。

从山东这片土地上，彭实戈开启了他的数学人生。他的主要研究成果包括一般随机最大值原理、倒向随机微分方程、非线性Feynman-Kac公式和非线性数学期望理论。

名字听起来很可怕，但近年来，他试图向高中生解释这些理论。彭实戈相信希尔伯特的说法：一个好的数学工作，在大街上拉个人讲上15分钟，对方也能大概听懂。

这一串成果的关键词是“非线性”。一旦涉及到决策，人们总是需要对未来做出预期。然而，真实的世界不像数列一样有着简洁的规律，也不像理想中的抛硬币实验一样具备明确的概率。如果将理想条件下才有的线性预期套在现实应用上，往往行不通。

彭实戈发展了比概率论更为普遍的非线性数学期望理论体系，相比起线性期望体系，相当于从随机世界的欧几里得几何公理体系跨到了非欧几何，从而更准确地刻画人类社会面临的复杂预期问题。

有趣的是，这一串“非线性”研究从因果关系上看却是“线性”发生的。从1989年在复旦大学做博士后，突然找到并证明了一般随机最大值原理开始，每一个发现都导向另一个灵感，美妙的数学旁边总是隐藏着更为美妙的数学。

彭实戈称自己是幸运的。这种幸运不是中彩票式的，而是顿悟式的，只可意会，不可言传。经历了无数次提笔而毫无结果、铩羽而归， “总是不对，总是不对，一旦对了，到处都对。”

当然，人生的变幻莫测不亚于金融风险，彭实戈的数学探索之路看似一气呵成，足够“线性”，但推敲细节，还是逃不过“非线性”的意外因素。

在叙述时，彭实戈喜欢用“突然”这个词。故事的开头，他在山东大学物理系读《热力学》时，就是灵感突发，写下一篇数学论文而因而被山东大学数学系点名调入，走上数学之旅；在一个寒冷的早晨抓住一闪而过的念头，跳下床写下倒向随机微分方程，也是突然；再后来在法国遇到一位教授，提起非线性Feynman-Kac公式应该可以用于彭实戈毫不熟悉的金融，更是突然。

他相信，对于未知的数学难题，方向找错了是常有的事，关键在于不能闷头就往自己认准的方向走，而是保持对大环境的察觉。真正重要的想法往往一闪而过，抓不住就会消失的无影无踪。“反正我有好几次是抓住它了。”

大树的根，大树的果

彭实戈觉得数学很有意思，一般来说如果做出来的结果非常漂亮，那它肯定有应用之处。

非线性期望理论就很漂亮，而且，它很基础。一般都说数学是基础学科中的基础，而他提醒道，基础中还有特别基础的没有做完，就像非线性期望理论这块。

这些“特别基础”就是数学这颗大树的根，它们会影响到大树后续的分杈，在各种各样不同的环境下生出美丽的花，结出复杂的果。

从欧几里得几何到黎曼几何，连黎曼本人也不会想到后来爱因斯坦会用它来发展出了广义相对论的数学基础。那么，从线性期望到非线性期望，这门新兴的理论又将给数学中的其他领域，乃至其他科学带来什么样的变化？彭实戈自己也不能看得太远。

为此，他在2018年成立了山东大学数学与交叉科学研究中心，就是希望将非线性期望这个数学工具推得更广，与未来科学紧密结合。

“科学有点像瞎子摸象，你摸到的地方不一样，你的体会就不一样，你当然会觉得我现在摸到的是谁都不知道的东西，但是人家也能摸到你不知道的东西，所以需要交流。”

只不过，想让这些跨学科的科学家们聊到一块儿可不是容易的事。彭实戈特别看好非线性期望在生命科学中的潜力，他也有位学生已经在基因工程中做出了重要贡献。只不过，离开十几年，如今聊起来，他们的“语言”竟出现了隔阂。对方觉得很简单的事情，彭实戈需要努力地理解。

喝喝下午茶，问问数理化

怎么让大家聊到一块儿去？彭实戈的法子就是，先喝杯咖啡吧！

曾留学法国的他描绘了一番类似于法国沙龙文化的图景：制造轻松的tea times（下午茶）氛围，彼此先不要说能做出什么东西来，光聊聊对某个问题的理解，聊聊对各自工作的理解，讲数学的故事、讲物理的故事、讲生命科学的故事。

这时，彭实戈仿佛回到了30年前还在复旦的时候，几个年轻人聊数学，说着说着就拿起纸来算，随随便便就能写满很厚的一沓纸。这样做了大概一年半，外边就把这五、六个人传为“复旦学派”。

“回想当年也是非常令人欣慰的，因为我们在随机控制这个领域本来是跟着别人走的，突然之间很多东西都出自我们之手了。”

他认为这种开放性思维（Open mind）对于数学探索起到决定性作用，具体的一个表现就是提问题。朋友之间你问我答，我问你答，还有自问自答。

在山东大学物理系读书时，彭实戈就喜欢向别人提问。之所以有那篇打动数学教授张学铭先生的文章，就是因为在图书馆看书时自己偶然想到了一个双曲复变函数的数学问题，然后马上自己动笔论证。

全世界都曾认为随机微分方程不能倒向，必须正着往前发展。彭实戈偏要提问，为什么不行呢？大家都说不行，结果蒙尘拂开，倒向随机微分方程这个很大的研究领域展露光辉。

建立了倒向随机微分方程，彭实戈继续追问，它有什么用呢？这才有了后面与金融交集的故事。

彭实戈有点担心，现在的考试制度可能会误导年轻人一味往解难题的路子上走，反而忽视了提问题。

“解难题是数学非常、非常重要的方面，你一旦较起真来就会有很多、很多难题去做。但是另一个方面，你还需要通过提出问题从整个数学最底部、最原始的地方将问题理解清楚。”他说道。

“不是老师直接给你一个题让你去做。很多问题应该自己想出来。”

采访结束了，澎湃新闻记者问彭实戈，挂掉视频后最想去做什么事。

他答道：“我先喝一杯咖啡吧！”

以下为澎湃新闻记者与彭实戈的对话实录。     

澎湃新闻：你现在在哪里？

彭实戈：我在家里的书房，对不起，有点乱。

澎湃新闻：你第一时间跟谁分享了获奖的消息？

彭实戈：跟我太太，那个时候她正好在我旁边，如果再晚一会儿，她就出去了。她不太善于表达，但是能看得出来她非常高兴。

澎湃新闻：你自己的第一反应是什么呢？

彭实戈：我自己当然非常、非常高兴，比她更高兴。为什么？我多少年的研究成果被大奖的评审专家理解。因为我们做的是数学，应该说非常抽象，比其他领域更难使人理解，但实际上它的应用前景还是非常广的。所以说，能够获得这样的理解是我最高兴的事。

澎湃新闻：刚才你讲到希望用这笔奖金来继续推动这个领域，而且您说它会是未来科学（future science）。

彭实戈：我工作的、或者说开创的这个领域叫非线性数学期望，听起来就挺吓人的。这个领域要说得更明白一些，就是你能不能根据现在的数据来预测未来的数据，未来数据非常难以预测，哪怕说明天下不下雨都是很随机的。这里边需要一个新的期望理论，就像你们中学里学的数学期望。但这个期望理论过去一直是线性的，线性的期望实际上就是概率论。

数学期望提升到了非线性的，简便地说就是非线性预期。经济、金融等很多需要做决策的领域都需要预期，但很多时候线性期望就行不通了。这不像是我给你2、4、8，下一个你马上就猜出来是16。也不像是掷硬币，下一次是正面还是反面，大家都说是1/2的概率。事实上，这种理想化的实验一定要硬币正面和反面既完全对称，又看着不一样才能达到。其实，这个世上的很多事情，无论是自然科学还是人文科学，你都看到它们不是这样的线性预期。我们有一个数学公式，你拿它算一下能知道样本数据是不是线性。很多情况下用线性期望是不行的。

它在很多方面和未来科学是紧密结合的。各种各样的科学实验都要用到数据，你要求得越精密，那你看到的不确定性就越大。在这种情况下，你怎么把复杂现象分析得像平面几何这样清楚？这是我们的任务。我们已经长期奋战完成了很多，但是后边还有很多。

澎湃新闻：可不可以举一些实例？

彭实戈：比如它可用于解决金融风险问题。金融风险的不可预测性是最大的，所以我们就和国家的金融风险管理部门一起合作计算，明显看测到其期望的非线性，或者说概率模型的不确定性，用线性去处理它就要出问题。当然这里边经过了很多数学理论的分析和现实数据的验证，我们的提出的算法确实是更强有力、更稳健的。

我们将来还要涉及很多未知科学领域，为此我们也创立了一个数学与交叉科学研究中心。为什么呢？因为这个理论是非常漂亮的。数学很有意思，一般来说如果你觉得你做出来的数学结果非常漂亮，那它肯定会有应用的。这是我自己的经验。

澎湃新闻：你最早从什么时候开始做这个东西？

彭实戈：我这个研究有一个延续性，可以追溯到1989年。那时候我还在复旦做博士后，在做随机控制问题，就是不确定环境中的控制问题，获得了一个新的随机最大值原理，称为一般随机最大值原理。当时突然发现可以解决这个长期得不到解决的公开问题，我也是高兴得睡不着觉，手舞足蹈。

就在一般随机最大值原理的启发下，又发现还有更美妙的数学藏在旁边，就是所谓的倒向随机微分方程。当时大家都认为随机微分方程是不能倒向的，必须是正着往前发展。这里首先要有一个好奇心，为什么不行呢？受前一个问题研究的启发，我和法国Pardoux教授发现, 其实不仅是行，后面还藏着一片很大的未开垦的研究领域，即倒向随机微分方程理论。而这个理论后来就蓬勃的发展起来了（这里法国J. M. Bismut发现的线性的倒向随机微分方程也给我们以关键的启发）。

有时候数学研究成果是这样的，一个重要的想法来到你面前，不经意之间在你脑子里一闪而过。你要抓不住，它就消失掉了。我时一天早上忽然之间想起来，那是很冷的天了，我爬起来就在桌子上写出来验证，以确认这个想法真是行得通的。

接下来的事情一连串发生。发现了倒向随机微分方程的存在唯一性，但这个方程还是非常抽象，它干什么用呢？又有一个机会，我又忽然发现，物理学家费曼的Feynman-Kac公式实际上是线性形式，而通过倒向方程我们就可以获得Feynman-Kac公式，我相信这个肯定在物理中有应用。我在法国的时候就给El Karoui教授讲，讲完以后，她立刻就非常激动，说可以用到金融中。我对法语中“金融”这个词要反应半天，因此开始并不是太在意。后来发现我们研究的数学结果竟可以与金融风险对冲对应起来，一切好像事先安排好了一样，很神奇，我们也就特别、特别高兴。同时也更深刻的理解了这个数学理论。

1997年，我们专门发表一篇70多页的研究文章《金融中的倒向随机微分方程》。这篇文章在随机分析，随机控制和金融方面都受到了很高的关注。

我又突然发现倒向随机微分方程能够解决我长期以来没能解决的问题，就是建立了一种动态的非线性期望，这个问题我很早以前就开始关注，实际上这个神秘的动态特性是吸引我进入随机分析和随机控制的重要原因，但多次的思考和讨论总是不得要领，毫无结果。毫无结果在数学上是家常便饭，很多时候你费了九牛二虎之力，结果总是铩羽而归。而后来忽然发现，通过这个刚刚建立的倒向随机微分方程理论就可以非常自然的引入一大类这样的非线性期望，我称之为g-期望： 其含义是：一个以非线性函数g为系数的倒向随机微分方程，恰好可以用来做一个动态的非线性期望的生成函数(generating function). 这篇文章由于开始没有人能理解而被拒稿，1997年才在被一个论文集接受发表. 它可以用来描述分析很多非线性现象，像非线性鞅论，非线性势论，非线性Doob-Meyer分解定理等，并可以用来度量动态金融风险.

1997年还只是把非线性期望作为一个概率空间的算子而提出来，到了2004年、2005年左右，我才突然发现其实应该反过来，首先建立一个公理化理论体系下的次线性期望空间，在这个空间里可以容纳丰富的多的线性期望空间，即概率空间. 这个本质性的突破使得我们有能力去分析和描述现实世界中存在的各种各样的不确定性，包括概率测度本身的不确定性，从原则上, 我们可以分析描述和计算所有的不确定性.  不仅具有这种一般性，并且对应我们在概率理论中的各种随机变量，各种随机过程如高斯分布，高斯过程，布朗运动，Poisson-过程，我们都可以找到其在非线性期望空间的对应，如G-布朗运动，等，这的确是对于概率空间在概率不确定条件下的一个非常自然的提升.

最后系统地发表出来是2007年了，其中自己怎么去做、怎么获得大家的理解，都是需要时间的。科学就是这样，我这个算是非常幸运，被一批数学家理解了，不理解怎么办？不理解还是要自己往前推进，所谓路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

澎湃新闻：听起来你虽然研究非线性，但研究过程还是挺线性的，有点像拔出一个就带出另一个，是这样的过程吗？

彭实戈：对。说这个话有很深刻的哲理，其实这涉及数学研究的本身是否可以被量化。如你要只说因果，这个就是线性的，但如果你想用期望来量化，就经常有根本摸不着任何边际，山穷水尽疑无路的时候。而突然之间柳暗花明，又有一村，这就不太线性了。

澎湃新闻：你刚才描述了很多“突然发现”的灵感瞬间。

彭实戈：我认为科学研究（当然我是做数学研究的）因为是未知的，不确定性非常之大，你觉得将来它会在下边找到突破口，可能忽然之间才会发现你的预测都错了，突破口其实是在上面，或者在极远的地方。这种情况下，如果只是在一个方向一个劲儿地往下走，两边都不看，是不行的。你一定要在探索中察觉到新征兆，它可能就来那么一次，而你须要抓住它，抓不住就消失了。有没有抓不住的时候？我也不知道，反正有几次我是真的抓住了。

我当年还是高中生的时候，很喜欢看科学家探索宇宙的故事。我有时候也想，这里边是不是有运气的成分，可能是偶然间猜对了，而别人没碰上，所以没有获得了大奖？但是对于这样高度复杂，高度创新的问题，为什么有人老是他“猜对”，而不是一次、两次。当然肯定失败，失败，又是失败的时候，而外人看到的往往只是其最后成功的一面。就像得个彩票大奖一样？我是从来没见过。

我的学生们也是这样，开始的时候也不会，但是突然之间他就明白了。悟通以后，他就经常能做出重要的结果来。这个过程如果自己不亲历，是讲不明白的，只可意会。

你前面会经过很多的反复，老是不对，老是不对，突然之间就是对的了。一旦对了，到处都对。

澎湃新闻：你一开始为什么会选择研究数学？

彭实戈：我做数学本身也是一个偶然的机会。我本人在做学生的时候是对物理很感兴趣，你看非线性Feynman-Kac公式的名字就知道。我上大学的时候，不愿意到班上听老师讲，经常跑到图书馆自己找书看。当时我找了一本热力学的书，看累了休息，忽然之间想到了一个问题。你知道虚数它是个很怪的数，它的平方是负1，你上哪儿找一个实数它的平方是负1？找不着的，所以它是虚数。我那次就忽然想，我是不是可以找到另一个“虚数”，它不是1，也不是负1，但是它的平方却等于1？我想这个事不见得不行，然后就动笔写，结果写出一套我称之为《双曲复变函数》的理论来。当时自认为是一个大发现：双曲欧拉公式，双曲柯西公式，双曲解析函数等等，左右逢源，应有尽有，还有很多意想不到的结果，例如与狭义相对论的联系。 后来（山东大学）数学研究所的张学铭先生看了这篇文章，很欣赏，问我是否愿意到你到山东大学数学研究所做他的助手。而我当时还在山东省无线电厂做供销员，直接就给我调过来了，从正规的数学基础训练开始了我的数学研究。而这段经历对我个人后来完全不同领域的数学研究和发现起到了关键的作用.

澎湃新闻：哪些前人的工作对你的成果有铺垫意义？

彭实戈：不只是铺垫意义，我自己的确是站在前人巨人的肩上。非线性期望理论理论是概率论，或者说线性期望理论的一个扩展。概率理论发展300多年了，发展出了那么多非常优美而深刻的数学成果，我们看了也是惊讶不已。这些数学成果对我们后来人的研究起到了至关重要的作用，否则我们只能在无边的黑暗摸索。

澎湃新闻：那你对这个领域的未来有何期待？打个比方，它是儿童还是青少年呢？

彭实戈：虽然它已经获得很多成果了，但它还是在发展阶段。我觉得它应该是高中生，高中生已经有很多独特的见解。有些事情我们能看到，所以我说它有非常光辉的未来，能够连接未来科学，但有一些东西我们自己都猜不出它将来具体会怎么发展。

我举一个例子，为什么说现在有些事情还看不见。微分几何引进了流形这个概念，就是说在曲面上，什么是相应的直线概念。这个事情开始于什么呢？这个事情其实开始于欧几里得第五公设条件是不是必要的，这就发展成所谓非欧几何，非欧几何就说我们可以找到直线的对应去度量。在这个事情上，高斯起了非常重要的作用，后来由高斯的学生黎曼发展成黎曼几何。但他们都绝对想不到现在发展出来的这些微分几何理论，想不到佩雷尔曼他解决了庞加莱猜想，想不到爱因斯坦用它来发展广义相对论。

但是科学就是这样一步一步往前走，一边解决一些问题，一边提出很多问题。在数学里面，提出问题是非常、非常重要的。因为解决了很多问题，那就提出了更多的问题。它可能应用到其他数学领域，甚至突然之间又出现一个新的爱因斯坦，把它用到物理、化学上去了，这都有可能。这是科学的魅力，也是科学交叉的魅力。

澎湃新闻：在交叉发展的过程中有哪些挑战？

彭实戈：这个挑战很大的。不同领域的科学家能说到一起去是非常不容易的事情。我自己会和大家创造一种气氛，喝着咖啡，我们先不要说能做出什么东西来，就先聊你对这个问题怎么理解？你做出的成果我怎么理解？经历一种这样的过程，最后突然之间就发现了。有时候这个过程短，有时候这个过程长，就像倒向随机微分方程在金融中的应用，这个过程就比较短。我飞到巴黎去，我也不知道对方是在做金融，这个真是有点随机，但是一说，他就抓住了我们做的这个结果。

我们有时候需要有一个比较宽松的环境，比方说tea times，大家都放松。但是放松的时候不聊数学也不行，还得去讲数学的故事、讲物理的故事、讲生命科学的故事。我非常确信非线性期望理论在生命科学中肯定有非常大的应用。像我自己有个学生已经在基因工程这个方面做出很重要的成就了，但因为他离开我时间很长了，再回来，语言都出现隔阂了。他说的东西他觉得很简单，我也得把他说的理解清楚。这里就要互相理解，切忌说这个东西你理解不了。

我当时在山东省无线电厂做供销员的时候就爱问问题，问这个那个的道理是什么。我记得有一次，对方就说这个你得学两年以后，我才能给你讲。

千万不要说这种话。希尔伯特他曾经说过一句话，好的数学结果就是你走到大街上去抓住一个人聊15分钟，他就能知道你工作的意义。这个很难做到的，越往后越难做到，因为越往后其他科学发展得越抽象。但你还是要坚持这种Open mind（开放性思维）。

澎湃新闻：据你的观察，国内整体科研环境经历了什么样的变迁？

彭实戈：整个科研环境比我从法国刚回来的那个时候要好得多得多，也看到了很多的变迁。我在法国读博士，我问过几个学科的大专家，菲尔兹奖得主之类的。我问在你这个学科，你能想到中国人的名字吗？他还得想一会儿，说没有，就是这样的。后来我到复旦去，李训经教授组织了一批我们这样的年轻人讨论问题，说着说着拿起纸来就算，旁边的黑板往那儿一写，就是这样的气氛。做了大概一年半，外边就传开了，叫这批人“复旦学派”（Fudan School），就这么五、六个人。回想当年也是非常令人欣慰的，因为我们这些人在随机控制这个领域本来是跟着别人走的，突然之间很多东西都出自我们之手了。包括倒向随机微分方程这些结果都是那个时候出来的。

科学有点像瞎子摸象，你摸到的地方不一样，你的体会就不一样，你当然会觉得我现在摸到的是谁都不知道的东西，但是人家也能摸到你不知道的东西，所以需要交流。

澎湃新闻：国内现在开始重视基础科学，数学肯定算是最基础的基础科学，你觉得我们要怎么加强这方面？

彭实戈：数学是最、最基础的，但我觉得要抱着这样的心态：实际上在最、最基础的地方还有特别基础的东西没有做完。就像非线性，这就是非常、非常基础的。基础表现在什么方面呢？我刚才不是说了希尔伯特那个例子，就是因为结果很基础，结果基础到你跟别人说说，很快他就听得懂了。像庞加莱猜想说着很神秘，但是它很基础，你拿着绳子给别人演示，别人就会听懂。

你有时候要到那个树的尖上去看看，但也要看看这个树的根。我觉得我们对根的重视还是不够，它能够影响到上面一系列分杈、开花、结果。不是太复杂的根，经过各种各样的环境，它会生出非常复杂又非常漂亮的东西。

澎湃新闻：对于现在有志于数学的年轻人，你有什么想和他们说的？

彭实戈：有志于在数学上发挥自己的才智，这是非常好的，尤其是现在。无论如何你首先得耐得住寂寞。但是千万要注意，数学往往被认为就是在解难题，解难题是数学非常、非常重要的方面，你一旦较起真来就会有很多、很多难题去做。但是另一个方面，就是你还需要从整个数学最底部、最原始的来理解清楚，而不是老师直接给你一个题让你去做。很多问题应该自己想出来。

这一点不只是从大学，在高中、初中就应该会。当然我说这个也可能会误人子弟，因为我们的考试制度就是这样的，考试制度就是拿一些题来做，但这个不是做数学，这是做数学题。我们目前的考试制度在这个方面有点把人才引到歧途上去了，希望他们能够注意数学这种结构的完美，才能得到一个比较健全的发展。

澎湃新闻：从小到大，让你一直保持探索的动力是什么？

彭实戈：我现在还是有好多好奇心，总是每天早晨起来都会有新想法。我们现在想到的一些问题，有时候要解释出来需要花很长时间，归根到底，它是一种好奇心的驱动。

第二就是提问题，自己给自己提问题是很重要的；交一些朋友，和他们之间互相提问题也非常重要。你提问题我来想想，我来回答；我提问题你来想想，你来回答。我们当时在复旦就是这样，一个问题提出来，最后就写满很厚的纸，它会自然地越理越清楚。

不是说所有问题都能自己做出来。很多时候你提出问题，自己也做不出来，意味着这可能是一个很深的问题，甚至是涉及到哲学了。所以还有一点就是，做问题的时候不要太把自己限制在一个很窄的领域，有时候稍微开一开，可能这个事情就有新的发现，就是要Open mind，这个非常、非常重要。