从“数学有限”到“数学虐恋”，高考背后的数学回溯

文/陈根

今年高考由于疫情推迟了一个月，这与往年相比似乎显得尤为不同。但相同的是，每年高考的数学卷都会成为被热议的经典话题。以江苏和浙江为代表，“数学难，难于上青天”甚至成为了不少考生由衷发出的心声。倘若日后选择了一个与数学不太相关的专业，高考的数学水平甚至可以代表部分人的数学巅峰。而选择一个与数学相关的专业，未来更可能变成一出“我待数学如初恋，数学虐我千百遍”的长久虐恋。

互联网上长期流行着一种“数学有限”的态度，大家普遍认为数学在生活中的实用性有限。日常生活只需要掌握简单的算术就够了，而高等数学、积分微分等离生活实在太过遥远。是否有必要了解数学，这取决于它是否有利于日常生活和工作的进行。

真的是这样吗？为什么会这样？

数学的实用与超越

在《西方文化中的数学》中，M·克莱运用历史方法研究数学的发展。他认为，数学一直是一种主要的文化力量，是一种理性的精神。正是这种精神，激发、鼓舞人类的思维，也正是这种精神，决定性地影响人类社会的物质、文化生活。毫不夸张地说，这是一门关于人的本性的科学，和哲学类似，数学也是本体论的学科，它尽力探求和确立已获得知识的最深刻、最完美的内涵。

西方传统数学的研究者多是学者，且多与西方哲学等文化形式息息相关。数学被看作是思维训练的有效工具，算术与几何是中世纪学校教育中的两门必修课，即七艺中的两个，这就从制度上保证了数学能够进入精英知识分子的思想世界。更重要的是，西方传统在文化上对数学的重视，使得数学常被视为理念在尘世的代表。甚至有人认为上帝就是一个几何学家，西方历史上的数学一直与哲学思辨甚至世界观紧密相关。

在西方文化环境下，数学与整个世界观密切相关，以至于数学对现代哲学也产生了巨大的影响。例如，数学哲学中的基础运动与科学哲学的相互影响，对数学基础的研究，形成罗素的逻辑主义、布劳尔的直觉主义和希尔伯特的形式主义等流派。西方文化在某种意义上可以说是数学文化，所以，西方的数学在历史上一直受到知识精英阶层的关注，其数学发展的一个重要的外在动力就是满足知识分子思辨爱好和文化诉求。

区别于西方传统数学依赖的文化诉求，中国传统数学的发展更多依赖于实用诉求。中国古代数学的研究者多是专门服务于朝廷的天文官员或监督土木工程的生产官员或经济官员等，这些人最关心的是实用而不是思辨。中国古代的数学实际上游离于大多数精英知识分子的思考范围，只是统治阶级用来收税或战争的具体工具。

实际上，中国传统数学诉求于实用性是不得己而为之。中国传统数学的研究者也提出数学研究合于天道的观点，但是，占主导地位的儒释道传统并不关心数学。《孙子算经》序中：“夫算者，天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，五物之祖宗，六艺之纲纪。”但这终究成为了数学研究者的一厢情愿，在礼乐射驭书数这六艺中数依旧排在最末，四书五经更是忽视了数学的重要性。

尽管我国的现代数学教学提出了实用与理论并行的主张，从1952年的《中学数学教学大纲（草案）》首次在教学大纲中明确提出“基础知识”和“基本技能”的教学理念，到2011年版的《义务教育数学课程标准》再度延伸了数学的教学理念，明确列出在原有的“基础知识”与“基本技能”外，新增加了“基本思想”和“基本活动经验”。但基于实用主义的数学传统，仍能看出中西数学教育的差异，即重技算轻理论。

如陈方正在《继承与叛逆：现代科学为何出现于西方》中所言：中国与西方数学的根本差别，即前者只重程序，而不讲究直接、详细、明确的证明。从幼儿园的“珠心算”到考研的各种偏题难题，处处体现了这种功利实用倾向和计算技能崇拜。这一朵偏见的乌云遮蔽了数学的本质精神，带来了三个严重的后果。

第一，不管怎么提高数学在基础教育中的重要性，国民的科学精神和思维能力依然令人失望；第二，中学教育和大学教育脱节严重，这一点主要体现在科研层次上；第三，大多数人对数学不感兴趣，认为“数学有限”，甚至出现数学TPSD和“数学虐恋”的情节。

那么是否有可能，通过重新审视数学的起源与发展，把数学当作我们社会的一种基本文化活动，进而解决这些重要问题呢？当我们开始把数学当作一门语言、一种逻辑思维方式，我们或许能够触及数学的本质和灵魂。

数学的自我超越

数学的出现，是人类文明非常重要又不甚容易的一步，而这一步初看起来却又显得那么的不合理和不自然。这是由于数学所确立的思维方式与人类在此前一切领域里的习惯做法是完全违背的。

在古早，人类主要凭靠的是感觉和经验，感觉经验一度被认为是知识的唯一可靠的源头。事实上，通过观察、实验、归纳和类比，人类在生活实践中也总结了许多颇为可靠的知识。

而有着“科学之祖”之称的泰勒斯在数学方面划时代的引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。

泰勒斯的“万物起源于水又复归于水”的自然观在今天看来是十分粗陋的。但是，这句话的贡献却是伟大的。其意义在于，从思维方式上，泰勒斯提出了一个普遍性的命题，他追求和找到的万物的本源是物质性的本源，而不是其它任何精神的东西。他力求从自然界本身说明自然界——用水的无定形和流动性来描绘自然界的生成和变化，这种超越经验的抽象思维和综合思考开创了人类以科学分析和哲学概括认识世界的新纪元。

近代科学始于哥白尼“日心说”。“哥白尼革命”在科学之外产生了一个更加深刻的影响，那就是它再一次大幅度地拉开了数学和科学与日常经验的距离。这也意味着，数学和科学的真实与感觉和经验的真实可以是完全背离的，它能够校正、改造甚至彻底颠覆人类的感觉和经验。此后的数学研究，通过发现自然界的数学关系，摧毁了宗教的基础，也促成了思想的解放。

伽利略的数学研究方法，奠定了近代科学的基础。他用数学公式的推理代替旧的研究方法。首先，他从现象中推导出一般的运动原理；其次，把原理中的基本性质推广到所有物质实体；最后，关于现象的定量描述取代了对现象的定性解释，而后的牛顿便运用这种研究方法发现了万有引力定律。

这也使数学放在公理化的系统中，用公理化的演绎方法，创造出了独属数学的特殊语言。数学语言的要求是与自然语言及其运用方式背道而驰的，自然语言以其对复杂变化的适应性为日常生活所必需，为文学艺术所借重，但却无法在其上充分展现公理化系统中那种大规模逻辑演绎的力量。

而抽象符号把数学从自然语言中解放出来，实质上它洗涤掉了论证和演算中那些经验不确定性的残余，从中锤炼出一种清晰确切、干净利落的数学语言。公理化系统逻辑演绎的全部力量只有在这样千锤百炼、永不变形的数学语言上才能贯彻到底。

数学语言代表了一种清澈的思维范式，尽管自然科学和社会科学还无法做到这样。但我们起码应该知道这么一个绝对的标准：清晰表达、理性论证和知识体系建构的标准确实地存在着，且已经被数学展示出来，作为一个外在的独立参照物对我们日常生活和科学研究起着重要作用。

至此，我们就完成了一个对数学的起源与发展重新审视的过程。一方面，数学作为一种文化的力量和其所代表的理性精神具有超越实用主义的意义，这在很大程度上影响了国民的科学精神和思维能力。

另一方面，现代数学和科学极富穿透性的抽象能力，使得人类创造出大自然中永远不可能出现的柏拉图式的理念世界和层出不穷、不断翻新的技术系统，这也大规模地改变了我们的现实生活和精神生活。数学的出现，是人类文明非常重要又不甚容易的一步，数学学习也和日常生活相互对照、相互启发、相互协作，从而把人类带到一个更为广阔的天地。