数学中的相邻思想为何如此重要？

眼前决定远方，是相邻思想的通俗表达。火车能跑，是因为火车头能跑。狙击手射击时，只关心微调，即摆正远方目标映射在准星里的位置关系，微调准确，子弹抵达终极目标就准确。有细腻的相邻关系，就有细腻的整体表达，也就是说识别对象的分辨率就会越高。为什么我们的芯片技术被人卡脖子，就是细腻的相邻关系我们在材料上实现不了，就是细腻的相邻关系我们在算法上实现不了。

本文就相邻思想发表一些个人看法，顺便对《数学底层引擎相邻论和重合法》中的某些章节内容做一些更细微的补充，以满足读者除逻辑关系外增添一些对证明的直觉理解。

1.0. 相邻思想在数学归纳法中的重要意义

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构。例如：四色猜想的证明，表面看顶点的延伸并不一一对应区块，使用数学归纳法就不能直接采用顶点数延伸来进行常规证明，因为顶点度数不同，顶点所有对应的区块就是变数；但区块地图是可以转换成顶点表示的，这样顶点数和区块数一样都拥有对应的自然数递推。总之若存在结构能用自然数成功对应也就能合法使用数学归纳法了，表面没有自然数递推关系，但深层结构有自然数递推关系。比如，集合论中的树就是。

这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第1个,第2个，第3个，一直下去概不例外）的数学定理。如有四元变量的费马方程，指数变量n从第3，第4，一直下去都符合命题要求，亦算满足数学归纳法，但是它们的相邻间隔单位彼此是不一样的。

此外数学归纳法还有各种变形，如费马的无穷递降法，就是用来反证的另一种数学归纳法，数学归纳法是初项正确，相邻推断可行，于是无穷项也就可行。无穷递降法则是，假如无穷项可行，相邻递推可行，但与初项不可行矛盾，于是无穷项都不可行。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，实属于完全严谨的演绎推理法。

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：1、证明当n= 1时命题成立。2、假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立（m代表任意自然数）。其中n与m就是 相邻关系。

数学归纳法就是多米诺骨牌原理，可以迭代推动。这个原理的核心是什么？就是前继可以确定后继，那一切就在定数中。就象推背图中的两人能相邻推动，于是就能预测未来一样。相邻关系一旦被确定，整体便被确定。相邻是一种加性连接，线性连接，时性连接，是一切关系中的起点，因此考察离散量中的相邻关系，就成了数学思维中的首要问题。

2.0. 相邻思想就是不忘初心让初始关系确定空间性质

数学是研究数和形的内在结构以及程序变化的。其中研究形的就叫几何，早期的几何叫欧氏几何。几何大厦体系是靠几条公理建立起来的。

欧氏几何的五条公理是：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

另外五条公理是：

1、等于同量的量彼此相等。

2、等量加等量，其和仍相等。

3、等量减等量，其差仍相等。

4、彼此能够重合的物体是全等的。

5、整体大于部分。

以上同样我们不难发现，相邻思想在几何中有核心引擎的作用，是价值不断扩大的印钞机。他首先通过两点来定义能用直线通过的线段，就好比是概念的内涵，而线段的延伸就好比是概念的外延，而直线在平面上发生另类相邻延伸，就出现了曲线，角度的相邻延伸开始了，先是定义直角，是角度的一次相邻延伸。接着圆便产生了。第五公理说明间距有限的直线会无限延伸，为更高维空间提供了相邻延伸。可见都离不开各种相邻关系的变化。

另外五条公理也显示了相邻思想是公理之间相互关联的始作俑者，物体重合是最紧密的相邻，然后是对称相邻，对称量施加对称行为，还是对称量，接着有等量传递，而整体大于部分则来自序列相邻。五条公理都是在用不同的相邻关系在描述等量。

相邻是产生万物关系的初心。只有密切关心相邻关系，才能窥探到天地间的微妙变化。空间性质发生了变化，一定是相邻关系发生了变化。

3.0. 相邻思想与微积分中的紧邻差商有何内在关联

函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，导数也叫差商，也就是两组间隔比，它考察的是无限细微的紧邻关系，而积分则是微分的集结，微分是积分的细分。微分就是紧邻间隔，是相邻思想的体现。但它不是自然数的紧邻关系，不是离散量的紧邻关系，它是连续量的紧邻关系。微分在数学中的定义是：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx =Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

注意到没有，整个分析数学的基础就是从思考相邻关系开始的。产生这一思想的分水岭就是细微间隔的单位元有极限，而集结这些细微间隔的具体数值也有极限。是先有无穷，而后才有极限思想的，这与微积分产生的历史吻合，历史上是先有积分，而后才有微分的。积分是原函数，微分是积分的分割，我们的教材先学微分后学积分，这其实并不符合我们演绎思维的规律，我们是先理解1，而后才理解分数的，乃至理解无穷小的，0的概念不如1更基本，0是继1之后被发现的。

可见离散量比连续量更基本，离散量的相邻关系，从定义上看就比连续量的相邻关系更基本。自然数的相邻间隔为1，连续量的相邻间隔是各种无穷大的倒数极限，而理解无穷大是要先从理解1开始的。因此整数间的相邻关系就要比连续量之间的相邻关系深刻得多。老子讲道生一，一生二，二生三，三生万物，很多人把道理解成0，这是不妥的，甚至把大爆炸学说中的奇点理解成立0，这是不能自圆其说的，不如把道理解成秘密的1，把0当序数来使用，是不如1方便的。0是一个蕴含1的最小极值数，与是同一个级别，它是一个蕴含1的最大极值数。既然有极值，就有不同层次的和不同层次的0。

整数中的相邻关系可以看成是数学里的初心，只有不忘初心，演绎出的各种逻辑关系才不会混乱和孤立。数论是数学的童年，治疗童年创伤，是解决当下问题的基石。数学中的很多疑难杂症解决不了，都可以从数论中开出解决问题的处方。

4.0. 相邻思想决定了群论中单位元即所有元素有交集

群的定义满足四条性质，封闭性，结合律，单位元和逆元。其中最重要的就是可确定单位元，单位元的确定，就是生成元的相邻关系的确定，封闭性则是生成对象的相邻关系的确定。而中间两条就是关联算法了。封闭是被算法确定的，算法是被不同性质的相邻关系确定的。这就是单位元的重要性，一个确定的集合，基本上由单位元来刻画。一些算法都是用来补充描述不同单位元的特有性质的。

几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。置换群是很重要的一类群。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。就像柏拉图正多面体只有五种一样。很多无穷对象都是可以进行可穷分类的。这就需要我们去探索事物的初始相邻关系。比如任何一个大于6的偶数都可以分割成两个不同的素数。通过有限项分割就能完成，这是我们的直觉不能理解的，大素数那么稀疏，居然两类素数就足够来打造所有偶数了。素数之间的相邻关系可以刻画所有偶数，等量相邻原来被不等量相邻所蕴含。有了单位元思想，我们的计算就可以跳跃式进行，这就是伽罗瓦所说的，我们完全可以不必拘泥于逐步计算，均匀地数数，而是可以跳跃式地直取目标，不必均匀的数数，而是可以直接数结构的。

从伽罗瓦开始现代数学进入了新纪元。 

5.0. 相邻思想在证明哥德巴赫猜想中明确了素数的加性特征

而相邻思想是可以直接证明哥猜成立的，其中有一个关键引理是这样问的。

为何例外偶数同所有可表偶数是累积互素关系？

因例外偶数与可表偶数有全体互异关系，根据互异必有相邻，相邻必有互素的性质（正整数相邻互素定理），必存在龙头例外偶数2x与可表偶数2a、2b、2c、…等有以下互素关系：（a，x）=1，（b，x）=1，（c，x）=1，…等，且所有龙头例外偶数2x≠可表偶数2a，2b，2c，…等，另外已证可表偶数中的因子a，b，c，…等含所有p素数因子（2p型可表偶数定理）。根据以上结论，故所有偶数2n={2p型可表偶数，非2p型可表偶数，龙头例外偶数，后继例外偶数}，又因所有例外偶数2x≠2a，2b，2c，…（含2p型可表偶数，非2p型可表偶数），且存在龙头例外偶数中的x也同非2p型可表偶数互异，因互异必有相邻，相邻必有互素的性质。即所有龙头例外偶数2x≠2a，2b，2c，…（2p型可表偶数，非2p型可表偶数），则有（非2p型可表偶数，x）=1。

由于可表偶数蕴含所有素数因子，x总是与互异对象的所有n相邻互素，2n包括2p型可表偶数，非2p型可表偶数，后继例外偶数，故累积未包含过任何素数因子。此时仅存在x=1，故龙头例外偶数2x只能是2，它的后继偶数4，6，8，……等都是欧拉型可表偶数，8，10，……等还可以是互异型可表偶数，于是可判定可表偶数的相邻后继例外偶数都是空集，因全被可表偶数中的全体素数因子占据后继位置了，于是后继相邻于可表偶数的所有龙头例外偶数2x为空集，继而例外偶数2m’为空集。  

可表偶数2m与例外偶数2m’因互异而必有相邻，即存在龙头例外偶数2x，而龙头例外偶数2x与可表偶数2m因相邻而必互素。因存在2x-2m=2,由于m与1是互素的，根据本原解三元方程性质，故x与m是全体互素的。也就是说，由于龙头例外偶数要同可表偶数累积互异，即全体互异，因全体互异而必有全体相邻，故导致与龙头可表偶数会累积互素，即全体互素，而可表偶数2m是蕴含所有可表偶数2p的。前文已证，假如有2p型例外偶数存在，所有素数就一分为二，则有p'∪p''=p，因为2p’型例外偶数 - 2p''型可表偶数=偶数间隔2t，p'-p''=t，p'与p''不仅每次因互异而互素，p'与p''两类解集也是如此，t与p'，t与p''也就相应每次互素，由于p'、p''、t三元数集，其中两元不仅每次互异互素，且始终互异互素，则三元两两不仅每次互异互素，且始终互异互素，因p'∪p''=p，t就无素数因子可构造，故所有的2p都是可表偶数。

这意味着x要与所有的p累积互素，如此x就无素数因子可构造。可见累积互素是因龙头例外偶数同可表偶数全体互异定义导致的。龙头例外偶数印证了素数多项式是素数二项式的线性映射，素数二项式若不存在，素数多项式便不存在。例外偶数就是没有二项式素数基础解系的线性映射，当然是空集。

（参考《用重合法和相邻论可严密证明哥德巴赫猜想原题及相关猜想》一文中的p027第14行前后内容。）

6.0. 孪生素数用相邻思想最直观表达了等量的奇数紧邻与不等量的素数紧邻有交集

孪生素数猜想也是可以用相邻思想来破解的。其中两类差值对象会匹配跟进，这种必然性需要一个证明。我们发现这种必然性，也是相邻思想在推动的。

为何素数的差值的差值方程有匹配协变解集？

根据哥猜获证p+q=2n及偶数性质可得到素数的差值的差值方程和偶数间隔关系。

（pi-qi）-（p0-q0）=2   或者 （pk-qk）-（p0-q0）=2n+2

（pi-qi）-（p0-q0）=4   或者 （pk-qk）-（p0-q0）=2n+4

（pi-qi）-（p0-q0）=6   或者 （pk-qk）-（p0-q0）=2n+6

（pi-qi）-（p0-q0）=8   或者 （pk-qk）-（p0-q0）=2n+8

 ……

上下相邻相减，留下变量素数组，常量素数组去除，等式右边可获得相同不变的差值2，等式左边可获得不断递增的素数组，它们是不同素数区间上的素数组，可差值的差值都等于2。 可见方程的两对素数差值存在协变递增而差值不变。（pi-qi）大-（pi-qi）小=2有无穷组解；（pk-qk）大-（pk-qk）小=2n有无穷组解，n可以为任意正整数，波利尼亚克猜想获证。

根据素数数列有限长定理以及伯特兰定理也可证明孪生素树猜想。

不大于任意给定偶数2n间隔的素数对假如为有限组，那么大素数的增长必然相邻间隔要大于2n，否则素数数列会无限长，矛盾；但选择大素数区间的间隔无穷无漏大于2n，又会与伯特兰定理矛盾，而不新增素数又会与素数无穷个相矛盾。故归谬可知间隔给定数2n的素数对有无限组。继而可推出给定的互异递减间隔为2n-2t的素数对也有无穷组。因为间隔2n的素数对有无穷组，那无穷组间隔2n的素数对其组间隔偶数又不能仅大于2n，否则大素数的间隔就不能构造所有偶数，也会与伯特兰定理相悖，且不能没有互异组间隔，否则素数数列会无限长，故必有偶数小于2n的间隔素数对有无穷组。

由于组与组之间不能仅递增间隔（孪生素数除外），那只能无限匹配间隔递减，且根据鸽笼原理必有偶数为给定值的间隔素数对有无穷组，如此往下穷追，就必有偶数为2的间隔素数对有无穷组，因为必须无穷找到更小的互异偶数做组间隔，这样孪猜就获证了。孪猜获证，那间隔2n-2的素数对就有无穷组；间隔2n-4的素数对就有无穷组；……如此，波利尼亚克猜想就获证了。

（参考《差值等于2n（n≥1）的素树对各有无穷组》p085第16行前后内容。）

7.0. 低维费马方程和费马不等式其指数升降变换规则是相邻思想的应用

费马猜想虽被怀尔斯所证明，但数学家们大多是从推理形式上理解的，能有数感理解的则不是很多。这是因为数学界尚未公开推出费马猜想有简洁证明，根据奥卡姆剃刀原理，简洁证明才最靠近事物的真相。最有利于帮助我们完成数感理解。而用相邻思想证明费马猜想，就能满足这一要求。相邻思想在证明费马猜想中用到了不等式变换，其中有个引理证明是这样问的，此问题的解决，费马猜想的证明就可以用书的边角足以写下了。

为何费马不等式其中变量的大边变小以及小边变大仍是不等式？

费马方程奇指数时无解(n=2t-1)，偶指数时就无解（除n=2）；偶指数时无解（n=2t），奇指数时就无解(除n=1)；还有费马方程奇指数时有解(n=1)，其它指数时就无解；偶指数时有解（n=2），其他指数时就无解。费马方程当且仅当n等于2时，偶指数方程有解，费马方程当且仅当n=1时，奇指数方程有解。其中X=（2^ k）a为偶指数时，X-1=a 为奇指数。只要2指数性质能相互判定1指数性质，便能做到用偶指数性质相互判定奇指数性质，继而奇、偶指数性质能相互判定2指数、1指数性质。现我们已知2指数以及1指数费马方程是有解的。在此基础上我们来推导其他指数变化时的费马方程性质。

由于A和B满足交换律，于是A、B、C的大小秩序有8种可穷分类。于是得到，二次费马不等式降维变换规则以及二次费马方程降维变换规则；一次费马不等式升维变换规则以及一次费马方程升维变换规则。简称，低维费马方程和不等式指数升降变换规则。

（1）当 A ＜ B ＜ C 时，则A^ 2 +B^ 2 ＜C ^2 ，相互可证得， A ^2 /A+B^ 2 /A ＜ C^ 2 /A

大边的分母变大时大边仍大，小边的分母变小时小边仍小。或者，当ABC皆为勾股平方数时，相互可证得，不等式变等式。或者，当ABC存在不含平方数时，相互可证得，不等式变等式。或者，大边的分母变大时大边变小了，小边的分母变小时小边变大了。

于是，A、B、C除了皆为勾股平方数（二次费马方程）或者除了存在不含平方数（一次费马方程）时，A ^2 /A+B ^2 /B ＜ C^ 2 /C，相互可证得，A+B ＜ C。或者，A+B ＞ C。费马不等式其中变量大边变小及小边变大仍是不等式的原因乃是例外变等式的情形极少，只有勾股平方数时或者存有不含平方数时，费马不等式的指数变化会成等式，特征值方程也印证了这一点。故偶指数递减后的费马不等式要么是二次费马方程，要么是一次费马方程，其他情形，不等式的指数变化仍是不等式。其中二次费马方程指数递减只能得到一次费马不等式。可见方程的指数变化必变为不等式（特征值性质决定），不等式的指数变化会变成极少类型的二次费马方程或一次费马方程（不等式变换决定），其他仍变为不等式。

（2）当 A ＞ B ＞ C 时，则A^ 2 +B^ 2 ＞C ^2， 相互可证得， A+B ＞ C；

（3）当 A ＞ B ＞ C 时，则与 A^ 2 +B^ 2 ＜ C ^2 无关；

（4）当 A ＜ B ＜ C 时，则A^ 2 +B^ 2 ＞C ^2 ，相互可证得， A ^2 /C+B^ 2 /C ＞ C^ 2 /C

大边的分母变小时大边仍大，小边的分母变大时小边仍小。

于是，A ^2 /A+B ^2 /B ＞ C^ 2 /C，相互可证得，A+B ＞ C。

（5）当 A ＞ C ＞ B 时，则与 A^ 2 +B ^2 ＜ C ^2 无关；

（6）当 A ＜ C ＜ B 时，则 A^ 2 +B ^2 ＞ C ^2，相互可证得，A ^2 /A+B^ 2 /A ＞ C^ 2 /A

大边的分母变小时大边仍大，小边的分母变大时小边仍小。

于是，A^ 2 /A+B^ 2 /B ＞ C ^2 /C，可得，A+B ＞ C。

（7）当 A ＜ C ＜ B 时，则与 A^ 2 +B ^2 ＜ C ^2 无关。

（8）当 A ＞ C ＞ B 时，则A^ 2 +B ^2 ＞ C ^2，相互可证得，A ^2 /B+B ^2/B >C ^2/B

大边的分母变小时大边仍大，小边的分母变大时小边仍小。

于是，A^ 2 /A+B^ 2 /B ＞ C ^2 /C，可得，A+B ＞ C。

还已知根据洛书定理证得4n型偶指数费马方程无整数解，根据上文的二次费马不等式降维变换规则，它可推得2指数时除勾股方程有解外其他情形都无解，进一步推得1指数时一次费马方程有解外其他情形都无解。

可见证明关键是，1指数的费马方程有解指数变换后无解（特征值性质决定），2指数的费马方程有解指数变换后无解（特征值性质决定）；1指数的费马方程无解指数变换后除了仅一次变勾股方程外其他仍无解（不等式性质决定），2指数的费马方程无解指数变换后除了仅一次变一次方程外其他仍无解（不等式性质决定）。（不等式性质：大边变小，小边变大，存在相遇变方程的机会）。

根据指数4n型的费马方程无解（由幂尾数周期律证明），再根据低维费马方程和不等式指数升降变换规则，可得到2n型费马方程也无解，除了二次费马方程，因为可2次方程表达，除了有勾股解外，其它都是2次费马不等式和其它偶数次费马不等式。

再根据指数2n型费马方程无解，2倍奇指数2t的费马不等式降维后，要么变成指数为1的费马方程以及变成指数为非1的费马不等式。要么也有可能变成某一奇指数t的费马方程及变成某一奇指数非t的费马不等式，但这会与非t中必有1次费马方程矛盾，故降维后所得到的奇指数方程除了1次方外其它奇指数都是费马不等式。

洛书定理还可得到三元方程指数不同的4a、4b、4c偶指数比尔方程无解，就可推得比尔方程a、b、c指数情形时无解。该法是可以解决比尔猜想的，而怀尔斯的证法却不能解决比尔猜想，可见该法更深刻。

（参考《一种可简洁证明费马猜想成立的巧妙思路》一文中的p0121第10行后8条内容）。

8.0. 相邻思想的直接产物相邻闭链定理可证明四色猜想成立

四色猜想是一道直接研究相邻思想的拓扑学问题。平面中的不同类相邻有最优化分布，人们猜想，四种颜色就足以不同类区分所有的平面的地图了。两类基本部件可区分线条，哥德巴赫猜想已经证明了这一点，那二维平面呢相应地需要四类基本部件来 区分了，这样一来有没发现，哥德巴赫猜想同四色猜想原来有关联。证明四色猜想，同通过完成证明一个重要引理相邻闭链定理来完成的，本文就不细说，有兴趣的可以去当当和京东淘本作者的新书过来看。这里单只说作者是如何对地图进行结构分类的，能够把结构分类好，就能妥善地完成证明。作者在构造相邻闭链时有一个重要创新，就是让每次的邻接色不超过三种，然后用紧致的相邻闭链来延拓未着色地图，那么闭链就会有奇偶两类肯普链，奇链就会出现断点区块须用第三色区分。于是就出现了下面的问题。  

为何新一轮相邻闭链要从断点区块开始构造？

若尔当曲线定理+子树遍历序列（树叶序列）=任一给定地图的结构。

任一给定图被完全着色等价于被若尔当曲线（区块闭链）全部充满。后继相邻闭链重复使用前继相邻闭链中的断点区块，仍然属于若尔当曲线在分割未着色区块。从断点区块构造相邻闭链有个好处，就是能不断地用后继邻接色覆盖前继邻接色中的第三色。这样能始终满足邻接色不超过三色的相邻闭链定理。延伸相邻闭链定可充满给定地图。侧边点数判定法、顶点度数判定法（鸽笼原理）。四邻定理。这些规则能判定邻接色不超过三色。由此可证明，第四色区块总被不超过三色的邻接区块覆盖。切断偶链的区块叫断点区块，或叫单区块。断点区块若不止一个须启用悔棋模式消解对称性，可设置两个断点区块。

两类互异肯普链：蓝绿肯普链，红黄肯普链。断点区块总被不超三色覆盖。两类相邻闭链：奇数闭链=断点区块+肯普开链；偶数闭链=肯普闭链。

四色猜想成立的主因是第四色总被三个区块包围的四邻定理，它比可两两相邻的区块不大于5个要强势一点，虽然是同一个定理，但描述的侧重点不同。

（参考《用完全数学归纳法证明四色猜想成立》一文中的p144倒数第3行前后内容。）

9.0. 相邻思想决定了考拉兹迭代函数每次解集具互异传递性

很多问题都能被相邻思想攻克，考拉兹猜想也不例外。考拉兹猜想难就难在每次的迭代解集是有限个的。其它引理相对容易被证明，相对容易被解释清楚。

为何素数数列有限长定理可证每次迭代解集为有限个？

模运算的余数分类：3x+1=2^k; 3x+2=2^k; 3x+3=2^k; 本原解决定通解: 3x+1=2^k，3x+2=2^k。3x+1=2^k有无穷组解。考拉兹给定值xi以及后继奇数的迭代函数 f（f（xi））=(3xi+1)/2^k， f（f（xi+2））=(3xi+7)/2^k.最简本原解决定通解: f（f（xi））=(3xi+1)/2^k若无解 f（f（xi+2））=(3xi+7)/2^k必无解，3xi+1=2^k有无穷组解。即最简本原解决定通解: f（f（xi））=(3xi+1)/2^k若为不等式 f（f（xi+2））=(3xi+7)/2^k必为不等式。这个书里已讲清楚。

在描述用素树数列有现长定理证明迭代解的个数为有限时，用到下们的推导。因为考拉兹迭代函数不仅解集具有互异传递性，解集中的不共素因子也具有互异传递性。关于这个结论，证明如下。

围绕每次输入的生成元定值要么迭代变大要么迭代变小延伸，不会重复。

2^n1• x2=3x1+1……① 2^n2• x3=3x2+1……② 2^n3• x4=3x3+1……

2^nk• xk+1=3xk+1 由于①-②可得到方程（2^n1+3）x2=3x1+2^n2• x3，且因为其中的x1， x2 互素， x3，x2 互素，故x2 必与x1，x3 互异。若x1，x3 非互异，那么（2^n1+3）x2=（2^n2+3） x1，因 x1，x2 互素，故整数本原解只能是 x1=2^n1+3，x2=2^n2+3，代入方程①， 有 3（2^n1+3）+1=2^n1（2^n2+3），简化得到，2^（n1+n2）=10，矛盾，故假设 x1，x3 非互异是不自洽的，x1，x3 互异得证。同态同构关系都具备传递性，若 a=b，b=c，则 a=c，但互素互异不具备传递性，a=3 和 b=5 互素互异，b=5 和 c=3互素互异，但a=3和c=3并不互素互异，仅在特殊情况下，互异具备传递性， 如以上考拉兹迭代函数情形，已证x1，x2 互异，x3，x2 互异，可得到x1，x3 互异。 于是x1，x2，x3，…，xk存在互异传递性，当然该类传递性不象等量传递性那样形成闭环，而是非闭环的。这样每次迭代出路就只有两种可能，一是最后变大存在无穷迭代，二是最后变小获得奇数 1，终止迭代延伸。

因相邻解集有互异传递性，故所有解集中的不共素因子具互异传递性，即其中任意项同其他所有项都有不共素因子，于是可判定考拉兹迭代函数是素数迭代函数的条件映射，即满足乘法交换律的映射。考拉兹迭代函数是： f（f（x））=（3x+1） / 2^i（x 为奇数，i为被除数中所有 2因子的个数）；根据迭代函数所有解集中的不共素因子具互异传递性，可判定每次所有解集都有不共素数因子，故函数蕴含互异素数基础解系。素数迭代函数是：f（f（p））=p+2k;通过线性算子f（f（u））作用f（f（p））=p+2k，就可得到f（f（x））=（3x+1） / 2 i（x 为奇数， i为被除数中所有 2因子的个数）。考拉兹迭代函数每项都有不共素因子新增，一旦不能，就终止继续迭代了。因此它是素数有限长数列且满足乘法交换律条件下的映射。

考拉兹迭代函数具有相邻互素性，每项解必两两互素；

考拉兹迭代函数具有互异传递性，每项解都含新素数；

考拉兹迭代函数具有个数有限性，每项解有更小迭代。

综上所述，根据素数“定差”方程中的素数数列有限长；可知素数“通项”公式中的素数数列有限长；继而可知素数迭代公式中的素数数列有限长；还知道，考拉兹迭代函数每次所得到的奇数解集是有限长素数数列的条件映射；最后得到与素数迭代公式映射的奇数迭代公式其奇数数列必有限长。用代数思想证明考拉兹迭代函数不会无限迭代，比用解析方法进行概率判断要精准得多，因为用概率的方法有时得到0%和100%的结论都不能肯定是否有例外的情形，只能解决几乎的问题，而不能完成最后的终极证明。

（参考《考拉兹猜想：互素迭代函数与幂尾数周期律》一文中的p156第3行前后内容。）

     以上分析说明了，相邻思想是解决很多数论问题的幕后引擎。不同的互异相邻关系决定了会出现不同的数学模式。这是我们需要细心区分的一件大事。相邻思想教会了我们不要堕入逻辑自循环，不要去循环定义，不要始终封闭我们的认知，暂时的封闭只是我们创新的参照系。发展中的样本空间若封闭了，我们思维的活力也就僵化了。我们要从内心深处相信：德不孤必有邻。（文/罗莫）