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数学家笔下的世界地图该有几种颜色？

2020-04-04 10:47

来源：澎湃新闻·澎湃号·湃客

作者 | Helen

编辑 | 罗数君

文 2161字阅读时间约 5分钟

导语

几年前，风靡全球的减压神器《秘密花园》引领了全民涂色风潮。人们在涂涂画画的过程中放松身心、发现生活之美。其实，数学家们也有自己的涂色小游戏，甚至在19世纪就已经开始了，而他们笔下描绘的，则是世界各地的地图哦！

这几天美国的疫情越来越严重了，被迫赋闲在家的这几天，百无聊赖，开始研究各种涂色书解闷。还记得当年火遍全球的《秘密花园》填色本吗？在每一页中，你都会发现一些若隐若现的花朵、叶子、爬虫、蝴蝶、小鸟。你可以用彩笔尽情地涂画空白空间，完成五彩斑斓的画面。

四色定理之初

其实早在1852年，数学家们就有他们的涂色游戏了。

那年，21岁的法兰西斯·古德里 (Francis Guthrie) 完成了他的数学学士学位。古德里在绘制英格兰分郡地图时，发现许多地图都只需用四种颜色染色，就能保证有相邻边界的区域颜色不同。他将这个发现告诉他的弟弟弗雷德里克·古德里。弗雷德里克这时正在伦敦大学学院读数学，师从法兰西斯读书时的老师奥古斯塔斯·德摩根，德摩根对这个猜想很感兴趣，曾写信给许多名数学家，试图推动这个问题的进展。也正是他，引起了大家对于“四色定理”的广泛关注。

Francis Guthrie

南非数学家、植物学家，

他于1852年首次提出了四色问题。

爱因斯坦的老师宣布证明失败

这个问题乍一看是挺简单，可能手机屏幕前的你也已经有一些证明的灵感。当时好多数学家也是这么认为的。其中最具有戏剧性的，大概就是闵可夫斯基 (Hermann Minkowski) 了。一次拓扑课上，闵可夫斯基向学生们宣称：“这个定理没有被证明的最主要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它……”于是他拿起粉笔。这节课结束的时候，闵可夫斯基并没有证完，到下一次课的时候，他仍在继续证明。

几个星期过去了……一个阴霾的早上，闵可夫斯基走进教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，他很严肃地说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完整的。”

Hermann Minkowski

德国数学家，犹太人

曾经是著名物理学家爱因斯坦的老师。

大家都把问题想得太简单了。

让人信以为真的错误证明

当然，仍然有数学家做出了尝试。其中最著名的错误证明就是肯普 (Alfred Kempe) 的数学归纳法证明了。虽然这个方法是错误的，我还是简单给大家介绍一下。

数学归纳法的原理也很简单：我们首先证明一些非常浅显的例子，然后假设这个命题成立，再通过这个假设，证明一些更复杂的情况也成立。就像多米诺骨牌，第一张倒了，后面都相互联系，每一张都会倒下去。

我们举一个简单的例子。

比如说我们要证明 1 + 2 + … n = n(n+1)/2。

首先，我们找到一个归纳奠基，当 n=1 的时候，1 = 1(1+1)/2 = 1。

然后归纳假设 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 成立。

我们想证明n+1的时候也成立。

也就是说 1 + 2 + … + n = (n+1)(n+1+1)/2 = (n+1)(n+2)/2。

最后归纳递推 1 + 2 + … + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n(n+1) + 2(n+1))/2 = (n+1)(n+2)/2

肯普的证明其实并不是很简单，我在这里讲一讲大概的思路。

他的证明先讨论了一些很简单的情况。比如一个国家只有少于4个邻国，那我们一定可以用四种颜色来涂，保证任意两个邻国，不会使用同样的颜色。凭直觉想，我们当然希望每个国家的邻国越少越好，这样我们就能少用几种颜色。但实际上，在一个平面的地图中，我们很难让每个国家的邻国为任意数量。而我们写过的“欧拉公式”就保证了这一点。接下来，肯普构造了“肯普链”。想象一个国家的所有邻国像项链一样穿在一起，那我们最多用三种颜色就可以涂整个“肯普链”。肯普的整个证明把这些想法都聪明地整合在了一起，提供了一个“骗”过了好多人的证明。当然肯普的想法还是很有用的，之后大家用这个思路证明了很多相关的定理。

他还是太天真了。显然事情并没有这么简单。

Alfred Kempe

人类首次利用计算机完成数学理论证明

1890年，珀西·希伍德 (Percy John Heawood) 在肯普的证明中找到了致命的错误，并且给出了一个反例。而肯普最终也没能够修复他的证明。一直到20世纪六七十年代，计算机运算速度飞速提升，很多人开始试着用计算机来解决一些当时悬而未决的数学难题。

美国数学家阿佩尔 (Kenneth Appel) 和德国数学家哈肯 (Wolfgang Haken) 对肯普证明的第一步改造就是不再考虑单一国家的情况，而是考虑由相邻的一些国家共同组成的构型，用到了放电法这种更为精细、可以同时照顾到连续数个区域的邻国数的技巧来对原先的分类进行进一步细化，也使这个证明的难度大大提升，但最后他们还是成功列出了能够排列组合涵盖任何地图的一共1936种构型，并于1976年在计算机的帮助之下完成了四色定理的证明。