指数增长、拐点，斯坦福学霸自制动画，用最简单的方式解释疫情常见词

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作者：曹培信

大家对指数增长应该都有所耳闻，但是单凭的人们的直觉，又很难意识到这究竟发生了什么。

上图就是一个典型的指数增长，体现的是COVID-2019中国确诊病例数每天的变化。那么为什么传染病的传染会是典型的指数增长呢？指数增长的本质又是什么？

YouTube上有着231万订阅的数据可视化神级专栏“3Blue1Brown”最近发布了一个视频，通过对COVID-2019中国确诊病例数据的可视化，为大家讲解了指数增长在这次疫情传播中的体现，从中，我们既能看到指数增长的本质，还能知道，指数增长是怎么结束的。

视频链接：

https://www.youtube.com/watch?v=Kas0tIxDvrg

什么是指数增长？

指数增长通常意味着数据随着时间的变化，后一个数据等于前一个数据乘以一个系数。体现在这次疫情的数据中，便是后一天的确诊病例数是前一天的1.15-1.25倍。

病毒的传播就是一个典型指数增长的例子，假设某天的病例数是N(d)，平均每天接触的人为E，每个暴露者被感染的概率为p，那么每天新增的病例数量为N(d)*E*p，也就是说，N(d+1)=(1+E*p)*N(d)。这个(1+E*p)就是那个1.15-1.25的常数。

如果把Y轴以对数为刻度，那么结果会更加直观，在这种情况下，增长情况就可以拟合成一条直线，这条直线的斜率告诉我们，病例数大概每16天翻十倍。

那么这是一个什么概念呢？举个例子，某一天我们看到韩国有6000+病例，而美国有60例，直观上我们会认为韩国的疫情比美国要严重100倍，但事实上，美国只是比韩国晚了一个月。

指数增长会永无止境吗？

如果单从理论上来说，指数增长似乎会一直持续下去，但是对传染病而言，却不会如此，它肯定会在某个时间变慢，关键是这个时刻会在什么时候来临。

是像2003年的SARS一样，到了8000多就停止了，还是像1918年的西班牙大流感一样，会感染全部人口的27%？

这个问题显然不能单纯的用画线来解决。

从N(d)=(1+E*p)*N(d-1)这个公式来看，我们可以得出：

这么看来，让N(d)变小的方法方法，就是减小E和p，而这是必然会发生的，首先，因为即使人们不采取任何措施，人群中剩下的未被感染的人数也在逐渐变少，那么N(d)的增长会不可避免的趋向于0，直到所有人都被感染。

考虑到这个情况，新的曲线就会是这么个情况——一条对数曲线。刚开始的时候与指数曲线相差不大，随着时间的推移，曲线的切线斜率会逐渐变小，直到趋于0，而曲线斜率开始变小时，就是我们所说的拐点。

人类如何阻止“指数增长”？

大众一直比较关注的“增长因子”，即当天新增病例数与前一天的比值。那么如果第五天的“增长因子”为1.15，那么第五天增长的人数则是4059，而当“增长因子”为1时，这个数字为3530，看起来区别不大，但却标示着拐点已经悄然来临。

实际上，人们也不是平均分布在世界上，而是生活在社区中，但是如果在社区之间加入一定的人口流动，情况仍然很糟糕，这就是为什么我们需要隔离。

所幸的是，人类并不一定只能等待大部分人都被感染，我们可以通过减少出行，勤洗手等措施减少E和p，并且千万不要小瞧这些措施的影响，因为指数增长对常数极其敏感。假设这个常数是1.15，那么61天之后，总的感染人数会达到1亿，而将常数减少到1.05，那么61天后被感染的人数只有40万。

所以我们现在采取的每一个措施——隔离、戴口罩、勤洗手，都在尽全力减少这个常数，正如作者所说，“如果所有人都在担心，那反而没有什么可担心的；而如果所有人都不担心，那才是需要担心的。”

致力于用可视化让问题变得简单的3blue1brown

3blue1brown的作者名叫Grant Sanderson，他介绍自己的这个专栏为“数学与娱乐的结合”，目标是用动画来驱动解释，通过新的视角来让困难的问题变得简单。

显然，拥有230万订阅者的3blue1brown不可能光靠Grant Sanderson一个人来打理了，从每个动画的最后我们也可以看到，有专业的可视化和动画团队在支持这个工作。

从2015年3月注册以来，3blue1brown就致力于用各种丰富的可视化内容来向大众普及冰冷的科学知识，内容也是包罗万象，从数学、物理到计算机，一些专题甚至出了连载。

Grant Sanderson2015年毕业于斯坦福大学，学的专业就是数学，但是他也坦言，在斯坦福学习数学的道路上，他一直受计算机这个“情人”的诱惑，虽然最终还是坚持学完了数学，但还是对牺牲了“情人”计算机痛惜不已。

原标题：《指数增长、拐点，斯坦福学霸自制动画，用最简单的方式解释疫情常见词》

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