挂谷猜想专题系列——“百年一遇”的数学证明解决了三维挂谷猜想

原创 Quanta Magazine zzllrr小乐

看似简单的挂谷猜想困扰了数学家50年。三维空间中该猜想的新证明阐明了一系列相关问题。

如果将一根针向各个方向旋转，可以划出的最小体积是多少？

图源：DVDP|Quanta

作者：Joseph Howlett（量子杂志特约撰稿人）2025-3-14

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-3-17

想象一下桌上放着一支铅笔。试着旋转它，让它指向每一个方向，但要确保它扫过桌面的面积尽可能小。你可以绕着铅笔的中间部分旋转，画出一个圆圈。但如果你以巧妙的方式滑动它，你可以做得更好。

爱丁堡大学数学家乔纳森·希克曼（Jonathan Hickman）说：“这只是个直线如何相交的问题。但它蕴含着令人难以置信的丰富内涵——与其他问题有着令人难以置信的联系。”

五十年来，数学家们一直在寻找这一三维难题的最佳解决方案：将一支铅笔举在半空中，然后将其指向各个方向，同时尽量减少铅笔移动的空间体积。这个简单的问题连一些最伟大的数学家都未能解决，它隐藏在一系列未解问题之下。

现在，寻找解决方案的工作似乎已经结束。在最近发表在科学预印本网站 arxiv.org 上的一篇论文中 https://arxiv.org/abs/2502.17655 ，纽约大学柯朗研究所的王虹和不列颠哥伦比亚大学的约书亚·扎尔（Joshua Zahl）证明了三维Kakeya猜想（三维挂谷猜想）——他们确定了这种运动模式可以达到多小的绝对极限。

“这件事根本无需炒作，”莱斯大学数学家内茨·卡茨（Nets Katz）说。“这是百年不遇的成果。”

加厚绘制

1917年，挂谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了这个问题，只是要求用一支无限细的铅笔。他找到了一种滑动铅笔的方法，使铅笔覆盖的面积比第一反应的圆周运动要小。

右侧的三角旋轮线是圆盘面积的一半，并且两根针都在各个方向旋转

图源：Merrill Sherman|Quanta

挂谷想知道铅笔能扫过多小的面积。两年后，俄罗斯数学家艾布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch，1891 - 1970）找到了答案：一组复杂的狭窄转弯，与直觉相反，它们根本不覆盖任何空间。

这或多或少解决了这个问题，直到1971年，查尔斯·费弗曼（Charles Fefferman，1949 -）正在研究一种显然与旋转直线无关的东西：傅里叶变换，这是一种基础数学工具，可以让你把任何数学函数重新想象成波的组合。在费弗曼的工作中，挂谷问题的改进版本不断出现。在这种情况下，铅笔有厚度，并在三维空间中旋转。在这里，挂谷的问题变成了：当你改变铅笔的宽度时，它会如何影响它所描绘的空间体积？

数学家更喜欢用一种略微不同（但等价）的方式来描绘这个问题。不是在空间中移动铅笔，而是同时想象出铅笔轨迹上的每一个位置。你得到的是一个幽灵般的、重叠的管子指向四面八方的配置，称为挂谷集（Kakeya set）。你可以滑动管子，但不能旋转它们。你的目标是形成一个重叠最多的配置。

纽约大学柯朗研究所数学家王虹表示，这一证明将为数学开辟新前景。“它必须得到解决”。

图源：Rickinasia/Wikimedia Commons

费弗曼发现，即使是重叠最多的挂谷集也必须占据一些空间。最小体积取决于管子的厚度。数学家使用一个称为闵可夫斯基维数（Minkowski dimension）的数字来量化管子厚度与集合体积之间的关系。闵可夫斯基维数越小，通过稍微减薄管子可以减少集合体积的幅度就越大。

三维挂谷猜想认为一个集合的闵可夫斯基维数一定是3。这构成了一个非常弱的关系——例如，如果你将管子的厚度减半，你最多只能减少一小部分体积。

然而，即使是这么温和的限制也几乎不能被证明。

循序渐进

2022年，现代挂谷猜想提出50年后，王虹和扎尔向前迈出了重要一步。按照卡兹和陶哲轩在2014年提出的方案，他们研究了一类棘手的挂谷集。他们的证明表明，该类中的每个集合都是3维的。（该证明适用于闵可夫斯基维度和与之密切相关的概念：豪斯多夫维度Hausdorff dimension。）抛开这个烦人的群体，他们现在必须证明所有其他挂谷集的维数都是3。

他们的方法循序渐进。他们首先会检查一个狭窄的闵可夫斯基维数范围（比如2.5到2.6），并尝试证明没有挂谷集可以处于这个范围内。如果他们能证明每个不超过3的区间皆如此，他们就证明了挂谷猜想。

幸运的是，王虹和扎尔不必从零开始。汤姆·沃尔夫（Tom Wolff，1954 - 2000）在1995年证明，三维挂谷集的豪斯多夫维数或闵可夫斯基维数均不低于2.5。

但他们需要一种方法来证明2.5到2.500001之间的维数也是不可能的。然后他们可以重复该论证以适用于2.500002的界限，依此类推。每次，他们实际上都会证明在那个微小的增量内不存在挂谷集。

实际上，他们实际上并不需要逐一证明这数百万个增量。他们只需要证明第一个增量，只要他们能够证明一个界限意味着下一个稍大一点的界限。然后他们必须证明他们的论证无论从哪里开始都是有效的。这就足以表明界限可以一直上升到三个。

但与 2022 年采用卡茨和陶哲轩的策略时不同，他们没有可遵循的路线图。他们转向了一种称为颗粒度的特殊属性。

1917年，31岁的挂谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了以他的名字命名的问题。

图源：东京大学

2014年，麻省理工学院数学家拉里·古斯（Larry Guth）证明，任何反驳挂谷猜想的反例都必须是“颗粒状”的。颗粒状集合中有许多小的三维部分，其中许多管子相互重叠。每个“颗粒”大约有一根管子那么厚，宽度是一根管子的几倍，但长度却远不及一根管子，因为有许多管子纵向穿过它。

王虹和扎尔意识到他们可以完全不用管子，直接处理这些更简单的颗粒。他们发现列举和计算颗粒重叠的各种方式更加容易。

不列颠哥伦比亚大学的数学家Joshua Zahl（约书亚·扎尔）是新证明的共同作者。

图源：Paul Joseph

他们发现，即使在所有颗粒共同提供最大重叠的情况下，与任何给定点相交的颗粒数量也不能太多。从2.5界限开始，他们能够证明颗粒的重叠程度不足以导致维数略高于该界限。然后，从更高的界限开始，他们证明可以应用相同的计算步骤将界限推得更高。诸如此类。

“这就像完善一台永动机。太神奇了，”陶哲轩说。“他们得到的输出比输入的多。”他们的机器将他们带到了闵可夫斯基（和豪斯多夫）三维，证明了三维挂谷猜想。

梦想之塔

这个猜想的解决对于研究傅里叶变换细节的调和分析（也称谐波分析）领域来说是一个巨大的转变。

调和分析中的三个重要猜想组成的塔楼位于挂谷猜想之上。塔楼中的每一层都需要坚固，以便上面的楼层能够屹立不倒。如果挂谷猜想被证明是错误的——即假如王虹和扎尔找到了反例——整座塔楼就会倒塌。

“针尖上的猜想之塔”，若下一层不成立，则上层的猜想都将不成立。

配图：zzllrr小乐

但现在他们已经证明了这一点（反例不存在），数学家们或许能够继续攀登这座塔，利用挂谷的猜想建立起这些更雄心勃勃的猜想的证明。“所有这些数学家们梦想着有朝一日能够解决的问题，现在看起来都很容易解决，”古斯说。

这个过程已经开始了。王虹最近与他人合作撰写了另外一篇论文，将塔中的下一个猜想简化为更强的挂谷猜想，这迈出了连接两个层次的一步。

对于整个数学领域而言，这也是一次维度上的飞跃，因为这个领域在某种程度上一直停留在二维。“人们非常了解二维中（挂谷相近问题）发生的事情，但我们缺乏研究更高维度的工具，”王虹说。“所以我觉得这是必要的。它必须得到解决。”

四维的挂谷猜想仍未得到解决，其上方还有一座四维猜想之塔。古斯表示，新的困难将会出现，但他认为从二维跃升到三维是最困难的，而王虹和扎尔的证明很可能适用于这座塔，甚至更远。

“当我还是一名年轻的数学家时，我为挂谷问题而兴奋，它给人的感觉是非常简单和几何化的，以至于我惊讶于它竟然如此之难，”古斯说。多年后，他的博士生王虹也受到了同样看似简单的启发。

“你有这些具体的东西，你可以想象它们。它不像其他数学理论那么吓人，”王虹说。“我只是想了解它为什么很难。”

现在，由于王虹和扎尔的努力，这种理解比以往任何时候都更加接近。“我真的认为，这里涌现出了大量真正彻底改变整个领域的想法，”希克曼说。“这是一个非常非常激动人心的时刻。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/once-in-a-century-proof-settles-maths-kakeya-conjecture-20250314

https://arxiv.org/abs/2502.17655

原标题：《小乐数学科普：挂谷猜想专题系列——“百年一遇”的数学证明解决了三维挂谷猜想——译自Quanta Magazine量子杂志》

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