挂谷猜想专题系列——针尖上的猜想之塔

原创 Quanta Magazine zzllrr小乐

图源：Allison Li|Quanta

表面上看，挂谷猜想是关于旋转针的简单命题。但它是大量数学的基础。

作者：Jordana Cepelewicz（量子杂志数学编辑）2023-9-12

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-1-30

在数学中，往往一个看似简单的问题并不简单。今年夏天早些时候，量子杂志报道了一个这样的问题 https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/ ：当一根无限细的针向所有可能的方向旋转时，你可以扫过的最小面积是多少？

像表盘一样绕其中心旋转，你就会得到一个圆。但更巧妙地旋转它，你就可以覆盖任意小的一片空间。如果你不需要针以连续的方式移动，而是简单地在各个方向放置一根针，你就可以构建一种完全不覆盖任何区域的针排列。

数学家将这些排列称为挂谷集（Kakeya set）。虽然他们知道这样的集合在面积（或体积，如果你将针排列在3维或更高维度上）方面可能很小，但他们相信如果它们的大小是通过豪斯多夫维数（Hausdorff dimension）来测量的，那么这些集合必须始终很大。

数学家尚未证明这一命题，即挂谷猜想（Kakeya conjecture）。虽然它表面上是一个关于针的简单问题，但“这些挂谷集的几何形状支撑着偏微分方程、调和分析和其他领域的大量问题，”爱丁堡大学的乔纳森·希克曼（Jonathan Hickman）说。

挂谷猜想是调和分析中3个核心问题的基础——调和分析（harmonic analysis）是数学的一个分支，研究函数如何表示为周期性函数之和，周期函数例如定期振荡的正弦波。

这些都是由一根针向各个方向旋转形成的挂谷集，但右图中的三角旋轮线（deltoid）是圆大小的一半

图源：Merrill Sherman|Quanta

该层级结构中，挂谷猜想的上一层是“限制”（restriction）猜想。如果该猜想为真，那么挂谷猜想也为真。（这也意味着，如果挂谷猜想被证明是错误的，则限制猜想是不正确的。）

限制猜想反过来又被所谓的Bochner-Riesz猜想蕴含。而层级最高的是局部光滑猜想（local smoothing conjecture）。

猜想的层级结构，若下一层不成立，则上层的猜想都将不成立。

前两个猜想涉及傅立叶变换（Fourier transform）的行为，这是一种调和分析的技术，实际上是计算如何将任何函数作为正弦波之和表达出来的。它是物理学家和工程师可用的最强大的数学工具之一。

傅立叶变换在求解微分方程，表达量子力学思想（例如海森堡不确定性原理）以及分析和处理信号等方面发挥了基本作用 —— 使诸如现代手机之类的事情成为可能。

由于层级结构中的每个命题都蕴含了下一层的命题，因此，如果挂谷猜想是错误的，那么其他猜想都不正确。整个塔将崩溃。希克曼说：“你可以创建一个超级怪物反例，破坏很多猜想。”

另一方面，证明挂谷猜想正确并不能自动蕴含其他猜想正确，但它将为数学家提供有关如何进一步处理的重要洞察。

因此，“据我所知，调和分析社区中将近一半的人正在研究这个问题及相关问题，或者曾经在某个时候研究过这些问题”，威斯康星大学麦迪逊分校的郭少明（现为南开大学陈省身数学研究所教授，译者注2025-1-30）说道。

令人惊讶的是，最近数学家发现，他们开发的解决这些问题的技术也可以用来证明看似无关的数论领域的主要结果。郭少明说：“这是比人们之前认为的更为普遍的现象。”

千层蛋糕

故事从傅里叶变换开始。“你想要将[函数]分解成小块，分析它们的相互作用，然后将它们重新加在一起，”宾夕法尼亚大学的欧雨濛说。对于一维函数（可以在一张纸上绘制的曲线），数学家非常了解如何做到这一点，即使他们需要仅使用某些小块来逆转傅里叶变换。

但是在2维或更高维度中，事情可能会变得凌乱。

1971年，普林斯顿大学数学家Charlie Fefferman（查理·费弗曼）想出了如何使用挂谷集来证明傅里叶逆变换可以在多个维度上产生奇怪且令人惊讶的结果。

这种形状，如果达到极限，面积可能为零，但内部的针头却可以指向各个方向。数学家们曾利用这种形状来证明傅里叶变换可以以意想不到的方式发挥作用

图源：Merrill Sherman|Quanta

数学家找到了Bochner-Riesz猜想形式的一种修复，该猜想本质上是说存在更复杂的方法来恢复原函数，而不会像费弗曼的例子那样崩溃。但这一修复取决于挂谷猜想的正确性。

如果这是真的，“截断频率只会导致小误差，”威斯康星大学麦迪逊分校的贝齐·斯托瓦尔（Betsy Stovall）说。“这意味着小误差不会扩大。”

层级结构就这样开始了。后来，数学家发现了另一个重要的联系：如果为真，Bochner-Riesz猜想也蕴含着一种称为“限制”猜想的说法。这个猜想指出，如果你从傅里叶变换的有限版本开始——将你查看的值“限制”为仅存在于特定表面上的值——这仍然可以为你提供有关原函数的重要信息。事实证明，如果限制猜想成立，那么挂谷猜想也成立。（这将挂谷猜想和Bochner-Riesz猜想之间的限制猜想置于塔中。）

层级结构中的最高问题称为局部光滑猜想，它不直接处理傅立叶变换，而是对描述波行为的方程解的大小施加限制。

你也可以根据挂谷集的线条几何形状来想到这一点。你可以将波动方程的一般解分解为一堆朝向不同方向移动并以不同方式交互的部分。这些部分在数学上都类似于挂谷集。

挂谷猜想断言这种配置不会有太多重叠。在这种物理背景下，重叠将对应于解中不规则和意外行为的持久性。例如，在许多不同的时间，声波可以在许多区域放大。

局部光滑猜想指出，这种不规则性应平均消失。“这就像利用金融市场的平均值，”印第安纳大学布卢明顿大学的Ciprian Demeter说。“可能在这里和那里发生崩溃，但是如果你在40年内投入资金并退休，很有可能会获得一些良好的投资。”

但与层级结构中的所有猜想一样，这取决于挂谷猜想的正确性。“我们的想法是，如果你排除了挂谷集里面的大量交集，那就意味着你可以排除解的各个部分共同造成某种爆破的情况，”斯托瓦尔说。

这个猜想是其中最困难的：虽然挂谷、限制和Bochner-Riesz问题的二维情况在几十年前就已经解决，但二维局部光滑猜想在几年前才被证明。（在更高的维度中，所有这些问题仍然悬而未决。）

尽管证明局部光滑猜想进展缓慢，但它的工作却在其他方面取得了巨大进展。1999年，数学家托马斯·沃尔夫在试图解决这个猜想时，引入了一种称为解耦（decoupling）的方法。从那时起，这项技术就获得了自己的生命：它不仅在调和分析方面取得了重大突破，而且在数论、几何和其他领域也取得了重大突破。

约翰·霍普金斯大学的克里斯托弗·索格（Christopher Sogge）在1990年代首次提出了局部光滑猜想，他说：“利用解耦结果，你现在可以在非常著名、重要的问题上创造世界纪录。”例如，解耦已被用来帮助计算一个整数可以用多少种方式表示为平方和、立方和或其他幂的和。

正如Demeter所说，这些结果是可能的，因为“我们可以将数字视为波。”他补充说，所有这些问题都链接到挂谷针集合，“令人着迷”。“你不会想到，这么多美丽、困难和重要性可以隐藏在可以使用线段产生的东西中。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

小乐数学科普：挂谷猜想专题系列——新证明穿针引线到一个粘性几何问题上——译自Quanta Magazine量子杂志

https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-moves-the-needle-20230929/