前沿进展：自然斑图的复杂性与熵

原创 王昊煜等 集智俱乐部

导语

理解复杂系统的行为和演化是目前的热点和前沿议题。复杂性和熵作为两个重要的系统度量指标，对于理解复杂系统的动态变化具有重要意义。人们通常认为二者是不同的度量。对于随时间演变的封闭系统而言，普遍认为熵会一直增加，而复杂性会在初始增加后减少。然而，这一认知主要基于概念层面，缺乏实验证据。北京师范大学研究团队近期在 PNAS Nexus 发表的最新研究对这一传统认知提出挑战。

关键词：复杂系统，复杂性度量，玻尔兹曼熵，斑图形成

论文题目：

Complexity and entropy of natural patterns

论文作者：王昊煜、宋长青、高培超

论文链接：

https://doi.org/10.1093/pnasnexus/pgae417

复杂性被期望用于理解和预测复杂系统的结构和动态行为，如自然界的斑图形成（pattern formation）过程和生命演化。熵则是系统无序度的广泛认可度量，在热力学中起核心作用。理解这两个指标的关系对于掌握系统行为至关重要。

本研究在方法上采用了Bagrov等人提出的复杂性度量和改进的玻尔兹曼熵计算方法。复杂性度量的优势在于：更“观察者独立”，减少主观判断；可整合多尺度信息；能处理多属性数据（如彩色图像）和高维数据（如3D Ising模型）。在熵的计算方面，虽然玻尔兹曼熵早在19世纪70年代就被提出，但其在自然斑图中的应用问题直到近年才得到解决。研究团队使用了改进的玻尔兹曼熵计算方法，使其与复杂性度量的重整化一致。

以咖啡-牛奶混合系统为例，这个看似简单的物理过程实际上与地理学中的许多扩散现象具有相似性，如城市扩张、污染物扩散等。研究发现，咖啡-牛奶系统复杂性看似减少这一传统认知实际上是由系统表征（维度）和观察单位（分辨率）的选择导致的错觉。当系统以适当的维度和分辨率进行表征时，复杂性会持续增加而非减少。更重要的是，该复杂性在实验和理论上都与熵保持一致。

研究团队通过三个关键步骤验证了这一发现：

1. 发现复杂性与熵之间存在统计一致性。研究团队首先复现了PNAS文献中的实验，分析了自然和人工图像序列、伊辛模型和海森堡模型相变以及色素在水中扩散过程的复杂性变化。通过将改进的玻尔兹曼熵计算方法与这些实验结果对比，发现复杂性度量与熵表现出高度相关性。这一发现表明，复杂性与熵是一致的，且这种一致性可以在统计意义上被证明。

图1. 在食用染料扩散过程中复杂性与熵度量的一致性表现及其统计证据。(A) Bagrov 等人通过观察水中食用染料扩散过程记录的一些彩色照片。扩散过程被独立观察了5次，并记录为5组彩色照片序列。此处展示的是首次观察中记录的一些照片。(B–F) 本研究根据第1至第5次观察记录的彩色照片计算的复杂性与熵度量结果。(G) 复杂性与熵度量核心成分之间的相关性。

2. 证明在咖啡-牛奶混合过程中熵不会减少。研究团队在3D空间模拟了混合过程，使用64×64×64体素场来表示封闭容器。在每次迭代中，通过随机交换相邻体素位置来模拟混合。结果表明，当从三维空间而非二维平面观察时，系统熵始终保持增加。这与热力学第二定律相符，表明之前观察到的熵减少现象是由观察维度限制造成的。

3. 揭示复杂性降低是观察方式导致的错觉。研究发现，当从三维立体角度观察系统时，复杂性呈现持续增加趋势。但当从侧面观察（将三维数据压缩为二维）或改变观察分辨率时，才会出现复杂性先增后减的现象。这证明了复杂性的表观降低并非系统的内在特性，而是观察方式和分辨率的限制导致的错觉。特别是，随着观察分辨率从64×64×64降低到8×8×8，复杂性的演化趋势会从单调上升变为凸形，进一步证实了观察方式对复杂性认知的决定性影响。

图2. 咖啡与牛奶在容器中混合的模拟、观察、复杂性与熵。(A) 在三维容器中模拟咖啡与牛奶混合过程的部分结果。该模拟通过迭代方式完成（详见材料与方法部分）。在每次迭代中，生成一个（体素）场来表示混合进程。此处仅展示了部分场。(B) 混合过程的侧面观察。(C) 混合过程的横截面观察。(D–O) 在不同观察方式下复杂性与熵的变化。

这项研究不仅纠正了之前的概念认知，也重塑了我们对复杂性和熵关系的理解。研究指出，我们观察或表征系统的方式从根本上影响着对复杂性和熵的量化评估，进而影响对系统的理解。这一发现对地理学研究具有重要启示。在研究区域发展、城市扩张、环境变迁等地理现象时，我们需要注意观察尺度和维度的选择对研究结果的影响。在研究系统的基本机制之前，准确和精确地表征动态系统仍然至关重要。

论文以地表过程与资源生态国家重点实验室为第一单位。北京师范大学地理科学学部宋长青教授、高培超副教授、博士生王昊煜等为作者。该研究得到国家自然科学基金项目（42230106、42271418）等项目的支持。

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原标题：《前沿进展：自然斑图的复杂性与熵》

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