2024年SASTRA拉马努金奖10000美元授予亚历山大·邓恩

原创 zzllrr小乐 zzllrr小乐

据SASTRA拉马努金奖官网及Gatech佐治亚理工学院官网，在前不久召开的国际数论会议（2024年12月20-22日）上，2024年的SASTRA拉马努金奖正式颁发给亚历山大·邓恩（Alexander Dunn）。

纪念印度天才的嘉奖

每年的12月22日是印度政府宣布设立的国家数学日，以纪念印度坎坷天才数学家斯里尼瓦萨·拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887 - 1920）的生日。在南印度库姆巴科纳姆（拉马努金的家乡）的SASTRA大学拉马努金中心举行的国际数论会议（2024年12月20-22日）上，该年SASTRA拉马努金奖（10000美元）正式颁发给亚历山大·邓恩（Alexander (Alex) Dunn），因其对解析数论的杰出贡献，特别是他与Maksym Radziwill合作解决了关于三次高斯和的偏差的库默尔-帕特森（Kummer-Patterson）猜想。他的工作代表了该领域的重大突破。

“能够获得SASTRA Ramanujan奖，我感到非常荣幸和兴奋，”现为佐治亚理工学院（Gatech）数学学院助理教授的邓恩说道，他的研究重点是解析数论以及自守（automorphic）形式/元辛（metaplectic）形式及其与素数和整数划分的联系。“拉马努金的工作对我的研究产生了令人惊讶和深远的影响，我希望未来也是如此。”

Gatech数学学院院长迈克尔·沃尔夫 (Michael Wolf)表示，这一荣誉意义非凡：“该奖项旨在表彰亚历克斯·邓恩及其合作者在过去几年中取得的突破性工作。但特别是考虑到之前的获奖者名单，其中许多人从这个年轻人奖项中脱颖而出，成为他们这一代人中最受认可的人，这也显示了亚历克斯对未来重要的、有影响力的工作的好预兆。他去年同意加入我们的教职队伍，我们对此感到非常高兴。”

斯里尼瓦萨·拉马努金

（Srinivasa Ramanujan，1887 - 1920）

解开19世纪的谜团

SASTRA拉马努金奖的颁发是为了表彰邓恩在解决三次高斯和分布的库默-帕特森猜想方面所做的工作，这是他在加州理工学院担任博士后学者时开始的工作。邓恩与其博士后导师数学教授马克西姆·拉齐威尔（Maksym Radziwill，也是2016年SASTRA拉马努金奖得主之一)合作撰写了该猜想的有条件的证明，该猜想解释了涉及素数和的模式中有关偏差或非随机性的数学之谜。他们的论文已被《数学年鉴》期刊接受发表，代表了解析数论领域的重大突破。

邓恩和拉齐威尔有条件的证明是在德国数学家Ernst Kummer（恩斯特·库默尔，1810 - 1893）首次检查前45个非平凡素数的三次高斯和的分布之后近两个世纪提出的。1846年，库默尔发现了一种偏差——具体来说，总和沿着数轴正侧聚集——而不是更均匀的分布。然而，随后的研究人员使用早期计算机来计算更大样本的总和并没有再次出现这种偏差。

然后，在1978年，塞缪尔·帕特森（Samuel James Patterson，1948 -）提出，在更大的样本量中，偏差可能会被“压倒”，从而导致早期计算机所显示的明显均匀的分布。邓恩和拉齐威尔撰写的证明既解释了库默尔观察到的偏差，也证实了帕特森的猜想，解决了一个近两个世纪的谜团。

基于GRH广义黎曼假设

高斯（Gauss，1777–1855）

更加具体地来讲，大数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777–1855）研究了某些素数p（p是非平凡素数，除以3余数为1的素数）模的指数和（现称为二次高斯和）的问题。二次高斯和具有奇妙的性质，在计算各类方程的解时非常有用。十九世纪中叶，库默尔开始研究高斯和的三次类似物，其动机是研究素数阶有限域中方程 X⊃3; + Y⊃3; + Z⊃3; = 0 的解。根据计算，库默尔推测，归一化（正规化，normalized）的三次和的幅角在区间 ±[0, π/3]、±[π/3, 2π/3]、±[2π/3, π] 内按照 3:2:1 的比率变化，尤其是，归一化的高斯和在单位圆上不是均匀分布的，从而表明存在偏差。

一个世纪后，赫尔曼·戈德斯坦（Hermann Goldstine，1913 - 2004）和约翰·冯·诺依曼（John von Neumann，1903 - 1957）在普林斯顿高等研究院研究新计算机，开始测试库默尔猜想。他们进行了大量的计算，结果表明，归一化值趋向于渐近均匀分布，这表明库默尔猜想可能不正确。1970年代，塞缪尔·帕特森开始深入研究三次高斯和，旨在解决库默尔猜想的谜团。如果归一化值表现得像绝对值为1的随机复数，那么根据大数定律，N以内的高斯和之和应该为√N，但根据他的研究，帕特森观察到这个和比√N大得多，因此表明存在偏差，但与N相比却小得多，因此表明是均匀分布！

大约在那个时候，当时是剑桥大学研究生的罗杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown，1952 -）开发了处理素数三次高斯和的新工具。帕特森与希思-布朗联手，两人于1979年建立了均匀分布结果，但他们的误差界限不够强，无法检测到偏差。因此，问题的偏差方面一直未得到解决，直到最近，邓恩和拉齐威尔在他们的突破性论文《三次高斯和中的偏差：帕特森猜想》 Bias in cubic Gauss sums: Patterson’s conjecture 中，在广义黎曼假设（GRH）的条件下以精确的形式完全解决了帕特森的偏差猜想。

黎曼（Bernhard Riemann，1826 - 1866）

GRH（广义黎曼假设）是数学中最著名的未解猜想之一。大多数数学家认为GRH是正确的。尽管邓恩-拉齐威尔的结果是条件性的，因为它依赖于GRH，但数学界已经接受了他们的工作，认为这是期待已久的突破。事实上，他们这篇令人敬畏的论文是解析数论的杰作，因为它结合了筛法（sieve method）、色散技术（dispersion technique，依靠分散集合元素的思想来极小化具有给定差的数对的数量，一般用于估计具有某些加性性质的整数集的大小）、Heath-Brown的立方符号大筛不等式（large sieve inequality）以及立方元辛形式（cubic metaplectic form）的解析理论。邓恩是元辛形式的权威，他对元辛形式的专业知识对问题的最终解决至关重要。

邓恩和拉齐威尔必须证明的一个重要结果是Heath-Brown大筛不等式中的某个项是最优的，这一见解归功于邓恩。邓恩和拉齐威尔建立了对任何卷积序列都有效的立方高斯和的色散估计。这一证明依赖于对几个项的非常仔细的估计，其中一些来自元辛形式理论。

邓恩的博士后导师及合作者马克西姆·拉齐威尔

（Maksym Radziwill，也是SASTRA拉马努金奖得主，2016年)

图源：caltech.edu

邓恩和拉齐威尔的这项惊人工作最近由邓恩本人和其他数学家在各个方面进行了推广。邓恩的一篇论文名为“元辛尖点形式和大筛法” Metaplectic cusp forms and the large sieve ，涉及元辛尖点形式傅里叶系数的大筛法不等式。这篇论文的结果将发表在《代数与数论》杂志上，可以看作是Heath-Brown不等式的重要推广。

邓恩与Alexander Zaharescu合作的另一篇开创性论文题为“模平方根的扭曲二阶矩及其应用” The twisted second moment of modular square roots and applications，即将发表在《欧洲数学会杂志》上。邓恩和Zaharescu在此处获得了某个半积分权重形式的L-函数二阶矩的渐近公式；这项工作受到了Blomer、Fouvry、Kowalski、Michel、Milicevic和Sawin早期基本成果的启发，他们处理了固定形式为经典形式的情况。邓恩和Zaharescu必须使用完全不同的技术（独立于Ramanujan-Petersson 猜想，该猜想对半积分权重形式开放），例如Salie和的封闭表达式，并利用与丢番图近似和加法组合的联系。邓恩与Kerr、Shparlinski和Zaharescu合作，在2020年发表于《数学进展》的论文《模平方根Weyl和的双线性形式及其应用》 Bilinear forms in Weyl sums for modular square roots and applications 中进一步改进了这些技术。

Alexander Dunn（亚历山大·邓恩）

图源：caltech.edu

邓恩的最新进展是他与David、Hamieh和Lin合作研究了Heath-Brown四次高斯和上界的类似物。因此，邓恩和他的合作者开发的结果和技术正在继续取得新的进展。凭借广泛的开创性成果以及Patterson猜想的解决，邓恩在年轻时就已成为解析数论的一个领军人物。元辛形式这一困难领域在很大程度上因邓恩的努力而得到了振兴，与Ramanujan的工作领域非常接近。

邓恩开始研究元辛形式是因为他的两位博士导师之一Scott Ahlgren。邓恩和Ahlgren研究了秩分割统计（拉马努金模拟θ函数的系数）的半积分权重模形式。在他们2019年发表在《数学年鉴》上的论文《Maass形式和模拟θ函数》 Maass forms and mock theta functions 中，他们使用自守形式的谱理论来估计当截断拉马努金模拟θ函数（mock theta function）系数的精确公式时的误差项（精确公式是George Andrews的猜想，Kathrin Bringmann和Ken Ono在2006年证明了这一点）。Ahlgren和邓恩的这篇论文与拉马努金的工作密切相关。

关于亚历山大·邓恩 Alexander Dunn

邓恩以优异的成绩毕业于澳大利亚昆士兰大学，获得理学学士学位，并因其学术表现而获得其大学奖。他获得伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学博士学位，并因撰写论文而获得保罗·T·贝特曼数论奖学金和贝特曼数论奖。2020-23年度，邓恩担任加州理工学院Olga Taussky和John Todd数学讲师。2021年春，他成为瑞典米塔格-莱弗勒研究所的初级研究员。2023年，他加入Gatech数学学院成为终身助理教授。

关于SASTRA Ramanujan奖

SASTRA拉马努金奖（提示：请勿与ICTP & IMU共同管理的拉马努金奖混淆，参阅 ），由Shanmugha艺术、科学、技术和研究学院，即Shanmugha文理工研究院 (SASTRA) 2005年设立，每年颁发给不超过32岁的杰出个人，年龄限制定为32岁，是因为拉马努金在他32年的短暂一生中取得了巨大成就。

至今SASTRA拉马努金奖已颁发给23人（参见如下列表，不难发现其中有多位后来获得菲尔兹奖的年轻数学家）。

年份SASTRA拉马努金奖历年得主一览表2024亚历山大·邓恩

Alexander Dunn

2023张瑞祥

Ruixiang Zhang2022唐云清

Yunqing Tang2021威尔·萨温

Will Sawin2020

谢·埃夫拉

Shai Evra2019亚当·哈珀

Adam Harper2018刘一峰

Yifeng Liu杰克·索恩

Jack Thorne2017玛丽娜·维亚佐夫斯卡

Maryna Viazovska2016凯萨·马托梅基

Kaisa Matomäki马克西姆·拉齐威尔

Maksym Radziwill2015雅各布·齐默尔曼

Jacob Tsimerman2014詹姆斯·梅纳德

James Maynard2013彼得·舒尔茨

Peter Scholze2012恽之玮

Zhiwei Yun2011罗曼·霍洛温斯基

Roman Holowinsky2010张伟

Wei Zhang2009卡特林·布林格曼

Kathrin Bringmann2008阿克沙伊·文卡泰什

Akshay Venkatesh2007本·格林

Ben Green2006陶哲轩

Terence Tao2005曼朱·巴尔加瓦

Manjul Bhargava卡纳安·桑德拉让

Kannan Soundararajan

以下为另一个重要的ICTP & IMU拉马努金奖（发展中国家青年数学家拉马努金奖），由ICTP & IMU国际理论物理中心（ICTP）和国际数学联盟（IMU）共同管理，奖励年龄小于45周岁的发展中国家研究人员，而奖金同样也是10000美元。

ICTP & IMU拉马努金奖历年获得者名单一览表，供参考，请勿混淆！

年份ICTP & IMU拉马努金奖得主2024刘若川

Ruochuan Liu2023（空缺）2022穆罕默德·穆斯塔法·法尔

Mouhamed Moustapha Fall2021尼娜·古普塔

Neena Gupta2020卡罗琳娜·阿劳霍

Carolina Araujo2019范黄协（音译）

Hoàng Hiệp Phạm2018里塔布拉塔·蒙希

Ritabrata Munshi2017爱德华多·特谢拉

Eduardo Teixeira2016许晨阳

Chenyang Xu2015阿玛伦杜·克里希纳

Amalendu Krishna2014米格尔·沃尔什

Miguel Walsh2013田野

Ye Tian2012费尔南多·科达·马克斯

Fernando Codá Marques2011菲利伯特·南

Philibert Nang2010史宇光

Yuguang Shi2009埃内斯托·卢佩尔西奥

Ernesto Lupercio2008恩里克·普哈尔斯

Enrique R. Pujals2007豪尔赫·劳雷特

Jorge Lauret2006苏贾塔·兰多赖

Sujatha Ramdorai2005马塞洛·维亚纳

Marcelo Viana

参考资料

https://sas.sastra.edu/ramanujan/Ramanujan-Awards.php

https://math.gatech.edu/news/mathematician-alexander-dunn-awarded-2024-sastra-ramanujan-prize

https://arxiv.org/pdf/2109.07463.pdf

https://math.ufl.edu/2024/09/26/2024-sastra-ramanujan-prize/

https://math.ufl.edu/wp-content/uploads/sites/124/2024/09/sastra-2024-press-release.pdf

https://www.caltech.edu/about/news/caltech-mathematicians-solve-19th-century-number-riddle

https://mp.weixin.qq.com/s/zxQdwl-4IGAi4EkaU3g2Tg

https://www.quantamagazine.org/a-numerical-mystery-from-the-19th-century-finally-gets-solved-20220815/

https://www.iflscience.com/after-175-years-two-false-conjectures-and-the-birth-of-computing-this-theorem-finally-has-a-proof-65065

https://alexjdunn.weebly.com

https://library.fiveable.me/analytic-number-theory/unit-14

https://en.wikipedia.org/wiki/SASTRA_Ramanujan_Prize

https://zh.wikipedia.org/wiki/SASTRA%E6%8B%89%E9%A9%AC%E5%8A%AA%E9%87%91%E5%A5%96

https://www.ams.org/notices/202305/rnoti-p806.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/ICTP_Ramanujan_Prize

https://en.wiktionary.org/wiki/metaplectic