2025年AMS美国数学会E.H.莫尔研究论文奖授予四人

原创 AMS zzllrr小乐

Mark Gross（马克·格罗斯，剑桥大学）、 Paul Hacking（保罗·哈金，马萨诸塞大学阿默斯特分校）、Seán Keel（肖恩·基尔，德克萨斯大学奥斯汀分校）和Maxim Kontsevich（马克西姆·康采维奇，IHÉS）获得2025年AMS美国数学会E. H. Moore莫尔研究论文奖，因其论文“丛代数的典范基” Canonical Bases for Cluster Algebras ，《美国数学会杂志》31卷（2018年4月），第2期，497-608页。

（左起）马克·格罗斯、保罗·哈金、肖恩·基尔、马克西姆·康采维奇

作者：AMS美国数学会官网 2024-12-17

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-12-18

获奖引文称：“这篇论文解决了丛代数（cluster algebra）和丛簇（cluster varieties）结构理论中的几个重要猜想，包括Fomin福明和Zelevinsky泽列文斯基的Laurent洛朗正性猜想以及Fock福克和Goncharov冈恰洛夫的对偶猜想”。“它是通过引入新概念和技术来实现的，事实证明这些概念和技术对该领域的后续发展具有很大影响力。”

获奖引文

在这项工作中，通过将新颖的镜像对称技术引入该领域，Gross、Hacking、Keel和Kontsevich在丛代数和丛簇的一般结构理论的主要问题上取得了多项突破。除此之外，他们还解决了福明和泽列文斯基的洛朗正性猜想以及福克和冈察洛夫的对偶猜想。

该论文介绍了丛代数的新的重要结构和技术。利用Gross-Siebert散射图和折线的组合，他们定义了与任意g-向量相关的“theta级数”，使他们第一次能够在丛代数中明确构建“规范”基。

马克·格罗斯的回应

我很高兴也很荣幸获得E. H. 莫尔奖。我要特别感谢我的长期合作者Bernd Siebert（贝恩德·西伯特，1964 -）。如果没有许多想法的共同发展，这项工作就不可能完成。我还要感谢丛代数社区，他们很热情，也很乐意花时间倾听像我这样的外行人的意见！

保罗·哈金的回应

我要感谢AMS对我们工作的认可。我还要承认我们的工作依赖于以下研究人员之前的工作：

谢尔盖·福明（Sergey Vladimirovich Fomin，1958 -）和安德烈·泽列文斯基（Andrei Zelevinsky，1953 - 2013），他们在2001年左右提出了丛代数理论；

弗拉基米尔·福克 (Vladimir Fock) 和亚历山大·冈察洛夫 (Alexander Goncharov) 在2003年以更加几何的形式重新诠释了该理论，并提出了一个有趣的对偶猜想；

Kontsevich-Soibelman 和 Gross-Siebert，他们提出了镜像对称散射图的概念（基于Fukaya的工作），

这些在我们的论文中发挥了至关重要的作用，使我们能够证明Fock-Goncharov对偶猜想并构建福明-泽列文斯基设想的丛代数的典范基。

我要感谢丛代数社区对吸收新思想的开放态度以及耐心向我们解释现有理论的友善性。感谢IHES在我们参与该项目的一些工作期间接待我们。最后，感谢我的家人对我的爱和支持。

马克西姆·康采维奇的回应

我很荣幸我们与Mark Gross、Paul Hacking和Sean Keel合作的论文《丛代数的典范基》获得了美国数学会莫尔奖的认可。

这篇论文对我来说很特别，有几个原因。首先，它完善并肯定了我的老朋友亚历山大·冈察洛夫（Alexander Goncharov，1960 -）和弗拉基米尔·福克（Vladimir Fock，1898 - 1974）的猜想。尤其是萨沙·冈察洛夫，从我们在莫斯科国立大学伊斯雷尔·盖尔范德（Israel Gelfand，1913 - 2009）研讨会上见面开始，就对我的职业生涯产生了深远的影响。作为一名年龄较大的学生，萨沙经常向像我这样的年轻学生重新解释研讨会材料，成为我的第一位科学导师和终生合作者。

其次，该论文展示了受物理理论（例如弦理论和量子场论）启发的方法在数学中的强大作用。特别是在这篇论文中，我们使用了镜像对称技术，包括散射图和折线，这些概念是我与我的朋友兼同事Iakov (Yan) Soibelman（亚科夫·（扬）·索贝尔曼，1956 -）密切合作帮助开发的。我觉得这个奖项也认可了我们工作的重要性。

最后，这篇论文让我想起了我的合著者对IHES的访问，在那里我们进行了许多激动人心的讨论。我非常喜欢研究所的同事们，三十年来我一直受益于研究所优越的工作条件。

马克·格罗斯的简介

马克·格罗斯（Mark Gross，1965 -）出生于纽约州伊萨卡。他是康奈尔大学的本科生，并于1990年在罗宾·哈茨霍恩 (Robin Hartshorne) 的指导下获得加州大学伯克利分校的博士学位。随后，他在密歇根大学、巴黎第六大学和MSRI担任博士后职位。此后，他曾在康奈尔大学、华威大学、加州大学圣地亚哥分校任职，自2014年起，他又在剑桥大学任职，并成为剑桥大学国王学院院士。2016年，他与Bernd Siebert共同获得克莱研究奖。2017年当选英国皇家学会院士。

保罗·哈金的简介

保罗·哈金（Paul Hacking，1974 -）出生于英国兰开夏郡。他首先通过兰开斯特皇家文法学校的老师克莱夫·霍斯福德（Clive Horsford）和英国数学奥林匹克竞赛对数学产生了兴趣。他是剑桥三一学院的一名本科生，他的研究导师是代数几何学家佩勒姆·威尔逊（Pelham Wilson）和尼克·谢泼德-巴伦（Nick Shepherd-Barron，1955 -）。他留在剑桥，在Alessio Corti的指导下攻读代数几何博士学位，并于2001年毕业。随后，他在密歇根大学、MSRI 和耶鲁大学担任博士后，并在华盛顿大学担任助理教授，并于2009年加入麻省大学阿默斯特分校。他与伴侣Naila（2007年结婚）以及儿子Oliver（2020年出生）住在马萨诸塞州北安普顿。他为研究生Anna Kazanova、Huy Le、Feifei Xie、Jennifer Li、Angelica Simonetti、Cristian Rodriguez 和 Ethan Zhou提供指导。

肖恩·基尔的简介

肖恩·基尔（Seán Keel）是一位代数几何学家，特别关注双有理几何、模空间和镜像对称。现年60多岁长期任德克萨斯大学教授的他在数学研究界享有盛誉。

除了数学之外 [参阅文末icea链接]，他还写过一部剑与魔法奇幻小说、大量短篇小说和诗歌。他与他的家庭乐队Bill the Pony（比尔小马）制作了三张民谣/爵士唱片，以及一张“超级简单的民谣乡村音乐”专辑。一切都自我释放，一切都完全默默无闻。在一位音乐朋友的建议下，他决定让专业人士制作他的最新唱片。他对结果感到惊讶，将第一首歌曲的第一首混音发送给 Icons Creator Evil Art，希望他们将其发布在他们的Youtube频道上（“ICEA 发现”系列）。很幸运的是，该品牌的创始人和所有者是倾听的人。印象深刻，带着一种奇怪的心情，他决定是时候实施他酝酿已久的计划了，向一个完全不知名的人进行促销活动。

2022年底发布的《a dry scary blue》是该实验的第一步，该专辑获得了好评，并让肖恩·基尔收到了参加瑞典厄勒布鲁Live At Heart音乐节的邀请，他在那里表演了几场节目，无论是他自己还是与家人在不同的环境中（包括比尔小马表演），都座无虚席。

马克西姆·康采维奇的简介

马克西姆·康采维奇（Maxim Kontsevich，1964 -）是一位专门研究代数几何和数学物理的数学家。他于1964年出生于俄罗斯希姆基，在莫斯科国立大学完成本科学业（1980 - 1985年），随后在信息传输问题研究所工作（1985-1990年）。1992年他获得了波恩大学博士学位，1994年至1995年担任加州大学伯克利分校数学教授。1995年以来，他一直担任法国伊维特河畔比尔高等科学研究所（IHES）的常任教授。1998年，康采维奇被授予菲尔兹奖。

关于E·H·莫尔研究论文奖

E.H.莫尔研究论文奖每三年颁发一次，奖励发表在AMS美国数学会主要研究期刊之一（《AMS杂志》Journal of AMS、《AMS论文集》Proceedings of AMS、《AMS汇刊》Transactions of AMS、《AMS回忆录》Memoirs of AMS、《计算数学》、《共形几何与动力学电子杂志》、《表示论电子杂志》）上的杰出研究论文，论文发表时间在颁奖会议前满一整年至六个自然年期间。目前的奖金金额为5000美元。

该奖项于2002年为纪念Eliakim Hastings Moore（E·H·莫尔，1862 - 1932）而设立。除其他活动外，莫尔还创立了美国数学会芝加哥分会，担任该会第六任主席（1901 - 1902年），于1906年发表学术报告，并创立和培育了《美国数学会汇刊》。

该奖项将在西雅图举行的2025年联合数学会议上颁发。

历届AMS E. H. Moore莫尔研究论文奖得主一览

2025

Mark Gross（马克·格罗斯，1965 -）、Paul Hacking（保罗·哈金，1974 -）、Sean M. Keel（肖恩·基尔）、Maxim Kontsevich（马克西姆·康采维奇，1964 -）

因其论文“丛代数的典范基” Canonical Bases for Cluster Algebras ，《AMS杂志》31卷（2018年4月），第2期，497-608页。

https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00890-7/

数学词汇注释：

丛代数（cluster algebra），是Fomin和Zelevinsky提出的一类交换环。秩为n的丛代数是一个积分域A ，以及一些大小为n的子集（称为cluster丛），其并集生成代数A并满足各种条件。

译者注：cluster algebra，有中文文献译为“簇代数”，这里不建议，因为易与代数几何中的“簇”（variety，原意是变体）混淆，尽管微分几何中也有丛（bundle），也可能产生混淆，但学科相距甚远。另外英文文献中出现的cluster variety，也不允许这两个单词都翻译成“簇”。

2022

Piotr Przytycki（皮奥特·普日泰茨基，1981 -）

其父是波兰数学家Feliks Przytycki（1951 -）

Daniel T. Wise（丹尼尔·T·怀斯，1971 -）

因其论文“混合3-流形实际上是特殊的” Mixed 3-manifolds are virtually special ，《AMS杂志》 31卷（2018），第2期，319-347页。

https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00886-5/

数学词汇注释：

mixed（混合的）：如果一个具有任意、可能为空的边界的紧连通可定向不可约3-流形，既不是双曲流形也不是图流形，则称它为“混合的”。

special（特殊的）：如果一个群是直角Artin群的子群，则称它是“特殊的”。Artin群，也称为广义辫群。若矩阵M中除对角线外的元素都是2或∞，则对应的Artin群称为直角Artin群（right-angled Artin group）。

2019

Ciprian Manolescu（西普里安·马诺莱斯库，1978 -）

因其论文“Pin(2)-等变Seiberg-Witten Floer同调和三角剖分猜想” Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the triangulation conjecture ，《AMS杂志》29卷（2016年1月），第1期，147-176页。

https://www.ams.org/journals/jams/2016-29-01/S0894-0347-2015-00829-3/

该论文解决了三角剖分猜想（否证了高维的拓扑流形被单纯三角剖分），证明了存在4维以上的拓扑流形不可以单纯三角剖分。一位专家将其称为“里程碑式的论文”。此外，论文中的技术已经被应用于回答低维拓扑中的其他问题，例如有关同调配边群（homology cobordism group）的问题，并且启发了对合Heegaard-Floer同调的相关理论。

数学词汇注释：

一个单纯三角剖分（simplicial triangulation）是一个局部有限单纯复形（simplicial complex）的同胚；该复形不必是分段线性流形。

在Manolescu之前，Kirby和Siebenmann已发现存在4维以上的拓扑流形不可以进行组合性的三角剖分（即分段线性结构，也称PL结构）。

2016

Caucher Birkar（考切尔·比尔卡尔，1978 -）

Paolo Cascini（保罗·卡西尼）

Christopher Derek Hacon（克里斯托弗·德里克·哈肯，1970 -）

James McKernan（詹姆斯·麦克南，1964 -）

因其论文“对数一般类型簇的极小模型的存在性” Existence of minimal models for varieties of log general type ，《AMS杂志》（2011），以及后两位作者写的姊妹篇“Existence of minimal models for varieties of log general type II”。

这四位作者的工作属于代数几何，这是研究数字和形状之间联系的数学分支。中心概念之一是代数簇（algebraic variety），它是多项式集合的解集。该解集可以被认为是一个几何对象，对其研究的主要动机是理解多项式的代数性质如何转化为相应代数簇的几何性质。

Birkar、Cascini、Hacon和McKernan在推进极小模型纲领方面取得了重大进展，改变了极小模型纲领中的研究。“专家们一致认为这两篇论文标志着代数几何的分水岭，”获奖引言中写道。

数学词汇注释：

极小模型纲领（minimal model program，mmp）源于Shigefumi Mori（森重文，1951 -，菲尔兹奖1990年）等人的工作，在过去30年里激发了代数几何方面的大量研究。该纲领的目的是通过找到某种意义上最好或最简单的表示形式来找到一种对代数簇进行分类的方法。（参见 János Kollár 所著的“什么是极小模型？” What is a Minimal Model? 《AMS通讯》，2007年3月）

https://www.ams.org/notices/200703/what-is-kollar.pdf

2013

Michael Jeffrey Larsen（迈克尔·J·拉森）

Richard Pink（理查德·平克，1959 -）

因其论文“代数群的有限子群” Finite subgroups of algebraic groups ，《AMS杂志》24卷（2011），第4期，1105-1158页。

该论文使用独立于分类的方法，提供了有限单群分类近似的概念证明。具体而言，它推广了Camille Jordan(1878)的一个基本结果，该结果涉及特征为0的域上的GLn（一般线性群）的有限子群；Jordan定理指出，每个这样的子群都有一个正规阿贝尔子群，其指标由一个仅取决于n的常数所界定。Larsen和Pink处理任意域；它们允许正特征。他们的情况明显比Jordan研究的更复杂：例如，考虑在有限域上发生的情况，其中GLn是有限的并且接近单群。作者特别证明，GLn的有限简单子群要么很小（就n而言），要么属于Lie（李）型。

专家谈到了这篇文章的影响，称赞了论文的方法及其结论。一份报告最后写道：“这是一项杰作，我想不出还有比这更好的E. H.摩尔奖评选了。”

2010

Sorin Popa（索林·波帕，1953 -）

因其论文“论具有谱间隙的可塑性作用的超刚性” On the superrigidity of malleable actions with spectral gap ，《AMS杂志》21卷（2008），第4期，981-1000页。

该论文代表了作者涉及冯·诺依曼刚性、轨道等价性和可数群的遍历测度保持作用的强刚性的杰出计划的重大突破。在文章中，Popa揭示了Kazhdan的(T)假设的替代品，该假设在Connes、Popa等人之前关于该主题的研究中似乎至关重要。新条件涉及谱间隙，允许处理令人惊讶的一般群类。

波帕的论文还介绍了新技术对这一大类群的几种应用。例如，伯努利作用的超刚性结果表明轨道等价意味着共轭；这意味着这样的群是由它们的伯努利作用的轨道决定的。因此，一大类群允许无数个非轨道等价的遍历作用。作者证明了一个强冯诺依曼刚性定理，该定理表明，与此类群的自由遍历测度保持作用相关的群测度空间因子之间的每个同构都来自作用的共轭。这与顺从群（amenable group，也称为可均群）的情况形成了鲜明的对比，在顺从群中，所有遍历测度保持作用都是轨道等价的，并且共享相同的群测度空间因子。

该领域的专家指出，在Popa的工作之前，“这样的结果在冯诺依曼代数中是不可想象的”，并且“甚至从群测度空间代数的同构中认识到群的一些性质也是出了名的困难”。他们进一步指出，“在II型因子冯诺依曼代数的设置中，一个独特的张量积分解结果解答了Alain Connes三十五年前的问题”，并表示Popa的工作“彻底改变了算子代数的景观”。

数学词汇注释：

1. 伯努利作用（Bernoulli action）：

伯努利作用是一个可数群Γ在概率空间X上的一个作用，其中X是一个标准Borel概率空间。

Bernoulli作用在遍历理论和动力系统中有重要应用。它们不仅在理论研究中具有重要意义，还在实际应用中有着广泛的应用，例如在密码学、数据分析等领域。

此外，Bernoulli作用的研究也有助于理解更复杂的动力系统行为和统计性质。

2. 顺从群（amenable group，也称为可均群）：

amenable群（顺从群，可均群），是一个局部紧拓扑群G，具备对G上的有界函数进行一种取平均的运算，这种取均值的运算在群元素平移下保持不变。最初的定义是约翰·冯·诺依曼 (John von Neumann ) 于1929年以德语名称“messbar”（英语“measurable”可测量）引入的，以G子集上的有限加性测度（或均值）来回应巴拿赫-塔斯基悖论。1949年，Mahlon M. Day引入了英文翻译“amenable”，显然是“mean”（平均数）的双关语。

2007

Ivan P. Shestakov（伊万·舍斯塔科夫，1947 -）

Ualbai U. Umirbaev（乌尔拜·乌米尔巴耶夫，1961 -）

因其两篇开创性论文，均发表在《AMS杂志》17卷（2004），第1期上：“三变量多项式环的驯服和野蛮自同构” The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables ，197-227页；“泊松括号和多项式环的二生成子代数” Poisson brackets and two-generated subalgebras of rings of polynomials ，181-196页。

http://www.ams.org/jams/2004-17-01/S0894-0347-03-00440-5/home.html

http://www.ams.org/jams/2004-17-01/S0894-0347-03-00438-7/home.html

数学词汇注释：

驯服的（tame）：如果一个自同构是基本自同构的乘积，则称其为“驯服的”。

野蛮的（wild）：非驯服的自同构则称为“野蛮的”。

2004

Mark David Haiman（马克·海曼，19 -）

因其“希尔伯特概形、多图和麦克唐纳正性猜想” Hilbert schemes, polygraphs, and the Macdonald positivity conjecture ，《AMS杂志》14卷（2001），941-1006页。

http://www.ams.org/journals/jams/2001-14-04/S0894-0347-01-00373-3/home.html

数学词汇注释：

多图（polygraph，请勿与英文同名单词“测谎仪”混淆）：

在数学中，特别是在范畴论中，多图（polygraph）是有向图的高维推广，也称为computad。阿尔伯特·布罗尼（Albert Burroni）称之为“polygraph”，罗斯·史崔特（Ross Howard Street，1945 -）称之为“computad”。

参考资料

http://www.ams.org/news?news_id=7403

https://www.ams.org/prizes-awards/pabrowse.cgi?parent_id=18

https://icea.se/blogs/news/austin-based-ut-math-professor-folk-artist-sean-keel-reveal-the-raw-starkly-evocative-record-ferals-welcome-his-second-album-after-signing-with-icons-creating-evil-art

https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00890-7/

https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00886-5/

https://www.ams.org/journals/jams/2016-29-01/S0894-0347-2015-00829-3/

https://www.ams.org/notices/200703/what-is-kollar.pdf

http://www.ams.org/jams/2004-17-01/S0894-0347-03-00440-5/home.html

http://www.ams.org/jams/2004-17-01/S0894-0347-03-00438-7/home.html

http://www.ams.org/journals/jams/2001-14-04/S0894-0347-01-00373-3/home.html

http://omskconf23.oscsbras.ru/presentations/Umirbaev_slides.pdf

https://webusers.imj-prg.fr/~yves.guiraud/articles/polybook.pdf