拉马努金的奇妙数学直觉：近似与精确并存

对于拉马努金来说，复杂的公式往往才是真正说明问题的东西。他有一种非凡的能力，能够分辨出什么是重要的，以及从中可以推导出什么。

拉马努金获得奖学金后，开始撰写更多论文，并在《印度数学学会杂志》上发表。与他在质数和发散级数方面的大胆主张相比，这些论文的主题都相当温和。不过，论文还是非常出色的。让人眼前一亮的是它们的计算化，充满了实际而复杂的公式。大多数数学论文并非如此，它们可能有复杂的符号，但没有包含复杂根式组合的大型表达式，也没有看似随意的超长整数。

在现代，我们已经习惯于看到由 Mathematica 常规生成的极其复杂的公式。但它们通常只是中间步骤，并不是论文中明确谈论的内容。不过，对于拉马努金来说，复杂的公式往往才是真正说明问题的东西。当然，他能在没有计算机和现代工具的情况下推导出这些公式，也是令人难以置信的。

（话说回来，早在 20 世纪 70 年代末，我就开始撰写涉及计算机生成公式的论文。在其中一篇论文中，公式中出现了很多数字 9。但是，有经验的打字员在录入时，根据手稿把每个“9”都换成了“g”。我问她为什么，她说：“论文中从来没有明确的 9 ！”）

纵观拉马努金的论文，另一个显著的特点就是，在论证中经常使用数值近似来得出精确的结果。人们往往认为代数公式的运算是一个精确的过程，例如，产生的系数正好是 16，而不是大约 15.999 99。但对拉马努金来说，近似是例行公事，即使最终结果是精确的。

从某种意义上说，数的近似值是有用的，这并不奇怪。

比方说，我们想知道

和

哪个更大。我们可以先在平方根之间做各种变换，并尝试从中推导出定理。或者我们可以对每个表达式进行求值，得出第一个表达式的值（ 2.9755… ）明显小于第二个表达式的值（ 3.321… ）。在诸如哈代等人的数学传统中，或者说，在典型的现代微积分课程中，这种直接计算的方式似乎并不合适，也不正确。

当然，如果这两个数非常接近，那么就必须注意数字四舍五入等问题了。但是，例如在今天的 Mathematica 和 Wolfram 语言中，特别是在它们内建的数字精度跟踪功能中，我们也经常在推导精确结果的过程中内部使用数值近似，这与拉马努金所做的事情极为类似。

当哈代要求拉马努金提供证明时，他想要的部分内容是为每个结果寻找一种解释，解释为什么它是对的。但从某种意义上说，拉马努金的方法并不适合这样做。因为“解释”的一部分必须是，有这样一个复杂的表达式，而它在数值上恰好大于另一个表达式。很容易看出它是正确的，却难以真正解释它为什么是正确的。

每当一个结果的关键部分来自复杂公式的纯计算，或者对于现代来说，来自自动定理证明时，也会发生同样的情况。是的，我们可以追踪这些步骤，并发现它们是正确的。但是，并没有什么更多的解释能让我们对结果有什么特别的理解。

对于大多数人来说，最后得到一些复杂的表达式或一串看似随机的超长数字是一个不太好消息，因为这并不能告诉他们什么。但拉马努金不同。李特尔伍德曾这样评价拉马努金：“每一个正整数都是他的朋友。”我猜想，凭借良好的记忆力和发现规律的能力，拉马努金可以从一个复杂的表达式或一串超长数字中得出很多结论。对他来说，对象本身就能进行解释。

当然，拉马努金是通过自己的计算努力得出所有这些结果的。但早在 20 世纪 70 年代末和 80 年代初，我就开始用计算机自动生成大量复杂的结果。在我做了一段时间之后，有趣的事情发生了：我开始能够快速识别结果的“本质”，而且往往能立即看出什么可能是对的。比方说，如果我在处理一些复杂的积分，那不是因为我知道任何有关的定理，我只是有一种直觉，比如，结果中可能会出现哪些函数。有了这种直觉，我就可以让计算机去填补细节，并检查结果是否正确。但我无法推导出为什么结果是正确的，也无法给出任何说法，这只是直觉和计算所带给我的东西。

当然，在纯粹数学中，有相当多的数学知识（目前）是不能通过明确的计算来检验某个结果是否正确的。例如，当有无穷大或无穷小量或极限时，这种情况就经常发生。哈代擅长的事情之一就是给出谨慎处理这类问题的证明。1910 年，他甚至写了一本名为《无穷的阶》（Orders of Infinity）的书，讲述了在求无穷极限时出现的微妙问题。（特别是在超穷数理论的一种代数类比中，他谈到了类似嵌套指数函数等的增长率的比较，我们甚至在 Wolfram 语言中使用了现在称为哈代域的概念来处理幂级数的推广问题。）

因此，当哈代看到拉马努金“快速而粗放”地处理无穷大极限等问题时，他消极的反应并不令人意外。他认为，如果拉马努金真的能可靠地得到正确答案，他就需要“驯服”拉马努金，并教育他用更精细的欧洲方式来处理这些事情。

上文转自图灵新知，节选自人邮图灵《科技群星闪耀时》，【遇见数学】已获转发许可

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原标题：《拉马努金的奇妙数学直觉：近似与精确并存》

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