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这恰恰就是数学之所以是数学

2024-08-14 11:38

来源：澎湃新闻·澎湃号·湃客

数学可以被定义为一门学科，在这门学科中，你永远不知所言为何物，也不知所言之物是否为真。

——罗素

选自《数学的雨伞下》

1901 年，英国逻辑学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）发表了一篇文章，他在文中写道：“数学可以被定义为一门学科，在这门学科中，你永远不知所言为何物，也不知所言之物是否为真。”这一评价既清晰又生动。罗素不仅没有将数学的不确定性视作有害的，而且还字字句句地大声宣告，这恰恰就是数学之所以是数学！

而我们可以相信罗素的话，他知道自己在说什么。罗素对数学的根柢了如指掌。在写下这句话十年后，他与同仁阿尔弗雷德·诺思·怀特海（Alfred North Whitehead）合著了《数学原理》（Principia Mathematica），他在书中提出的公理奠定了数学作为一种统一的理论的基础。如果说，欧几里得用五个公设构建了整个几何学，那么罗素和怀特海就把整个数学囊括进了他们的理论中，从几何到代数，从牛顿使用的向量到康托尔集，甚至还有在撰写《数学原理》时尚未定论的理论，比如分形，都可以在两人的理论框架中得以构建。

总之，如果罗素说数学不知自己所言为何物，那么我们可以通过倾听数学的所言之物得到诸多启发。此外，只要仔细想一想，你就会觉得这并不让人感到意外。这场旅途中的一些线索，应该让我们心怀警惕。模糊在数学中扮演关键角色，已有时日。

你应该还记得美索不达米亚的书吏及他们没有零和小数点的体系。他们也不知道自己所言为何物。在写下 12×8 = 96 时，他们说的可能是120×8 = 960 或 1200×80 = 96 000，又或是 0.12×0.8 = 0.096。模糊已经出现，书吏们不仅没有视之为妨碍，反而加以利用。借助这种模糊，他们理解了乘法的一个基本特性，而这一特性在后来又被纳皮尔及其所有后继者所利用。

数字的概念本身就带有不确切性。自打学者们让数字成为独立于计算对象而存在的虚构实体时起，他们就不再知道自己计算的为何物了。在写下 2 + 3 = 5 时，你并不知道这是在加巧克力、千米、书，还是什么都没加。但这个等式是正确的。

阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯（Jorge Luis Borges）在1942 年发表的短篇小说《博闻强记的富内斯》（Funes el memorioso）中讲述了一个年轻人的故事，这个年轻人因为拥有超群的记忆力，所以无法忽视其他人无法看到或觉得无关紧要的众多细节。超群的记忆力非但没有成为一种优势，反而因为主人公无法意识到自己所见世界的不同之处，很快变成了严重障碍。这个年轻人无法用同一个词来指称不同的事物，他很难接受在某一刻从侧面看到的一条狗和一分钟后从正面看到的一条狗具有相同的名称。博尔赫斯写道：思考，是忘记差异，是概括、抽象。无法忘记的富内斯也就无法思考了。

模糊的关键在于不变的概念。对象各有不同，但由于存在共同点而理应具有相同的名称。情况各有不同，但可能以相同的方式运转。研究这些共同点和运转方式，相当于一下子想到千百种不同的事物，却不知所言为何物。这么做绝非徒劳之举，而是一个丰富的过程，可以引导我们对世界具有全面和深刻的了解。

我们所说的模糊、不精确或模棱两可，实际上有一个我们已经知道的名字：抽象。字词对我们的影响大到令人难以想象。你看，我们之所以不认得“抽象”这个旧相识，只是因为叫法不同。它不应该让我们感到害怕。正是它，自我们开始探索宇宙的内部运转机制以来，就一直支持和陪伴着我们。

抽象这只怪兽比我们到现在为止所能够想象的要强大得多。从一开始，模糊就在那里。模糊不是毫无预兆地冒出来的，它在数学思维的发端就站在了我们面前。然而，学会认清模糊，并意识到模糊王国的规模，还需要很长一段时间。

抽象之于观念就像什锦蔬菜之于蔬菜：一种将多个不同之物集合在统一名称之下的方法。此外，“什锦蔬菜”（macedonia）一词源自希腊半岛东北部的一个地区（即马其顿，Macedonia），那里以多民族混居而闻名。因此，抽象推理的先驱之一——亚里士多德在那里诞生也就不足为奇了。

公元前 4 世纪，在国王腓力二世的推动下，马其顿王国经历了一段繁荣期。腓力二世进行了数次改革，并在公元前 338 年的喀罗尼亚战役中征服了雅典和底比斯，从而成为希腊的统治者。亚里士多德于公元前 384 年出生在斯塔基拉，这是最早被马其顿王国征服的城市之一，位于斯特里蒙湾的海岸。腓力二世对这位学者颇为赞赏，并把自己的儿子，也就是未来的亚历山大大帝托付给他教育。

后来，亚里士多德倾其一生创作了一部令人叹为观止的著作，这部著作产生了巨大的影响。事实上，它的影响太过巨大。亚里士多德的许多错误将被反复教授，在数百年间从未受到过任何质疑。他以地球为宇宙中心的理论在很长一段时间里阻碍了哥白尼、开普勒和伽利略的思想的问世。

在亚里士多德的众多著作中，我们可以特别关注一下《工具论》。这是一本论述推理和逻辑艺术的文集，尤其阐述了从假设中得出结论的不同规则。这些规则被称为“三段论”。以下是最著名的三段论之一：

凡人皆有一死；

希腊人都是人；

因此，希腊人皆有一死。

你肯定同意这个推理是完全正确的。你也可以通过直观地描述凡人、人和希腊人来说服自己相信这一推理（图 4.12）。

显然，“希腊人”包含在“人”的圈子里，“人”又包含在“凡人”的圈子里，“希腊人”除了也是“凡人”之外别无选择。要理解亚里士多德的推理方法，就必须区分推理的正确性和所陈述事实的正确性。

比如，让我们来看看下面这个新的三段论：

所有的哺乳动物都有鳞片；

鹦鹉是哺乳动物；

因此，鹦鹉有鳞片。

这几句话是完全错误的，但推理却是正确的！再仔细看看这三句话，你会发现，最后一句的确是前两句的逻辑结果。要说一个推理是正确的，则意味着其结论在逻辑上是基于其假设的。但是，当然了，如果假设是不确切的，那么结论也是不确切的。

在对三段论的研究中，亚里士多德关注的不是假设的正确性，而是推理的正确性，而后者并不取决于谈论的对象。换句话说：你不一定要知道所言为何物，就能进行正确的推理。上述两个三段论完全可以简化为下面这种形式：

任何玩意儿皆为东西；

家伙皆为玩意儿；

因此，家伙是东西。

你看，这是一个完全正确的推理。你无须知道什么是“玩意儿”“东西”和“家伙”，那是多余的信息。无论你赋予这三个词什么意思，如果两个假设都是正确的，那么结论也必然是正确的。而这不仅适用于这个特定的三段论，而且适用于所有有效的推论。

想象一下，有两个人正在看以上推理。对第一个人，我们告诉他“玩意儿 = 人，东西 = 凡人，家伙 = 希腊人”。对第二个人，我们告诉他“玩意儿 = 矩形，东西 = 四边形，家伙 = 正方形”。即使这两个人所说的不是同一件事，但他们都会同意这个三段论的说法。我们面对的就是一个误解（图 4.13）。

现在，让我们回到一个熟悉的例子上：欧几里得的《几何原本》。书中的五个公设说的是点、线、圆、直角和平行线，但假设一个人为这些词赋予了不同的含义，他会对此有所察觉吗？根据亚里士多德的说法，这对证明的正确性不会有任何影响。无论我们对欧几里得所用的词汇做出怎样的解释，他的论据本身都是正确的。

为了很好地理解这个原则，让我们重写一下五个公设，但要用更为模糊的字眼：

1. 从一个东西的任意玩意儿到另一个玩意儿可引且只能引一条家伙；

2. 任意有限的家伙可沿这个家伙无限延长；

3. 给定任两个玩意儿，可以一个玩意儿为心、到另一个玩意儿为半径作那啥；

4. 所有杂乱都彼此相等；

5. 给定一条家伙，通过此家伙外的任何一个玩意儿，有且只有一条家伙与之平行。

你看，我们完全不知道所言为何物了。现在想象一下，一个人为“玩意儿”“东西”等词赋予了不同的含义，但在他的阐释中，五个公设仍是正确的。那么，你可以把欧几里得的整本《几何原本》都念给他听，他绝对不会提出任何异议。因为对这个人来说，最初的假设是正确的，既然欧几里得的推理是正确的，那么我们所说的不是同一件事也就无关紧要了，结论在这个人看来是正确的。

换句话说，哪怕你对这基本的五个公设有“误解”，也足以继续后面所有的定理及其证明。只要为遵循五个公设的词语找到一种新的阐释，你就可以像几何学家一样放心地在这些公设中引用欧几里得的结论了。

任何数学都受到这些潜在误解的影响。它们既令人不安，又异常强大。它们为我们提供了新的视角，从而拓宽了我们的视野。如果有可能以不同的方式去理解欧几里得的用词，那么谁又能知道，这些阐释之一在某一天能否阐明第五公设呢？

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……

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教材

《复分析：可视化方法》