永不重复的瓷砖可以保护量子信息

原创 Quanta Magazine zzllrr小乐

两名研究人员已经证明，彭罗斯密铺，一种著名的永不重复的图案，在数学上等价于一种量子纠错。

图源：Samuel Velasco

作者：Ben Brubaker（量子杂志特约作家） 2024-2-23

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号） 2024-2-26

如果你想在浴室地板上铺瓷砖，方形瓷砖是最简单的选择——它们可以无间隙地组合在一起，形成一个可以无限延伸的网格图案。这种正方形网格有一个与许多其他密铺（tiling，密铺有时又译为平铺、镶嵌、拼接，zzllrr小乐译注）相同的属性：将整个网格移动一个固定的量，结果图案与原始图案无法区分。但对许多数学家来说，这种“周期性”的密铺是无聊的。如果你看到了一小块，就已经看到了一切。

在1960年代，数学家开始研究具有更丰富行为的“非周期”瓷砖集（aperiodic tile set，有时也译为非周期瓦片集，参见 、小乐数学科普：解密非周期单瓦片——克雷格·卡普兰（Craig Kaplan）访谈）。也许最著名的是博学的数学物理学家、后来的诺贝尔奖得主罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）在1970年代发现的一对钻石形的瓷砖。这两块瓷砖的副本可以形成无限多种不同的图案，这种图案可以永远持续下去，称为彭罗斯密铺（Penrose tiling）。然而，无论你如何排列瓷砖，你永远不会得到一个周期性的重复图案。

“这些瓷砖本来就不应该真实存在。”布里斯托大学的物理学家尼古拉斯·布吕克曼 (Nikolas Breuckmann) 表示。

半个多世纪以来，非周期密铺一直吸引着数学家、业余爱好者和许多其他领域的研究人员。现在，两位物理学家发现了非周期性密铺与计算机科学一个看似无关的分支之间的联系：研究未来量子计算机如何编码信息以防止错误。在11月发布到预印本服务器arxiv.org的一篇论文中 http://arxiv.org/abs/2311.13040 ，研究人员展示了如何将彭罗斯密铺转换为一种全新类型的量子纠错码。他们还基于另外两种非周期性密铺构造了类似的代码。

这种对应关系的核心是一个简单的观察：在非周期性密铺和量子纠错码中，对一个大系统的一小部分的了解并不能揭示任何整体信息。

“回想起来，这是一件显而易见的美丽事情。”伦敦大学学院的量子信息研究员托比·丘比特 (Toby Cubitt) 表示：“你会说，‘我为什么没有想到这一点？’”

禁忌的知识

普通计算机使用具有两种不同状态的比特来表示信息，标记为0和1。量子比特（quantum bit, 即量子位qubit），同样有两个状态，但是它们也可以被诱导成所谓的叠加（superposition），其中0和1的状态共存。通过利用涉及许多量子比特的更复杂的叠加，量子计算机可以比任何传统机器更快地执行某些计算。

然而量子叠加是一种易受惊吓的生物。在叠加态中测量一个量子比特，它将坍缩为0或1，消除任何正在进行的计算。更糟糕的是，量子比特与其环境之间的微弱相互作用所产生的错误可以模拟测量的破坏性影响。以任何错误的方式接触量子位，无论是一个爱管闲事的研究人员还是一个流浪的光子，都可能破坏计算。

罗杰·彭罗斯发现了一对菱形瓷砖，只能形成不重复的图案，请看到他的脚下。

图源：Andrew Fox/Alamy Stock Photo

这种极端的脆弱性可能会让量子计算听起来毫无希望。但在1995年，应用数学家彼得·肖尔（Peter Shor，1959 -）发现一种存储量子信息的聪明方法 https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.52.R2493 。他的编码有两个关键特性。首先，它可以容忍只影响单个量子位的错误。其次，它附带了一个程序，可以在错误发生时进行纠正，防止错误堆积并使计算脱轨。肖尔的发现是量子纠错码的第一个例子，它的两个关键属性是所有此类编码的典型特征。

第一个特性源于一个简单的原则：秘密信息在被分割时，不那么脆弱。间谍网络采用类似的策略。每个间谍对整个网络知之甚少，因此即使任何个人被抓获，该组织仍然是安全的。但量子纠错码将这种逻辑发挥到了极致。在量子间谍网络中，没有一个间谍会知道任何事情，但它们一起会知道很多。

每个量子纠错码都是一个特定的配方，来给一个集体叠加态中的许多量子位分配量子信息。这个过程有效地将一簇物理量子位转换为单个虚拟量子位。用一个大的量子位数组多次重复这个过程，你会得到许多虚拟量子位，就可以用它们来执行计算。

组成每个虚拟量子位的物理量子位就像那些不显眼的量子间谍。测量它们中的任何一个，你都不会知道它所属于的虚拟量子位的状态——这种性质叫做局部不可分辨性（local indistinguishability）。由于每个物理量子位不编码任何信息，因此单个量子位中的错误不会破坏计算。重要的信息以某种方式无处不在，而不在任一特别之处。

“你不能将信息固定到任何一个量子位，”Cubitt说。

所有量子纠错码都可以吸收至少一个错误，而不会对编码信息产生任何影响，但随着错误的积累，它们最终都会屈服。这就是量子纠错码的第二个特性——实际的纠错（actual error correction）。这与局部不可分辨性密切相关：因为单个量子位中的错误不会破坏任何信息，所以总是可以使用特定于每个编码的既定程序来逆转任何错误。

搭便车

Zhi Li（李志，中文音译名）是加拿大滑铁卢圆周理论物理研究所的博士后，精通量子纠错理论。但当他和同事莱瑟姆·波义耳（Latham Boyle）交谈时，这个话题还远远没有被他想到。那是2022年的秋天，两位物理学家乘坐从滑铁卢到多伦多的晚间班车。波义耳是一位非周期性密铺专家，当时住在多伦多，现在在爱丁堡大学，他是那些经常被困在交通繁忙的班车上的熟悉面孔。

“通常情况下，他们可能会非常痛苦。”波义耳说：“这是有史以来最痛苦的一次。”

在那个决定命运的夜晚之前，李和波义耳知道彼此的工作，但他们的研究领域并没有直接重叠，他们从未一对一交谈。但就像无数不相关领域的研究人员一样，李对非周期性密铺感到好奇。“很难做到不感兴趣，”他说。

当波义耳提到非周期性密铺的一个特殊性质：局部不可分辨性时，大家的兴趣变成了迷恋。在这种情况下，这个词意味着不同的东西。同一组瓷砖可以形成无限多个整体看起来完全不同的密铺，但通过检查任何局部区域来区分任何两种密铺是不可能的。这是因为任何密铺的每一个有限块，无论多大，都会出现在每一种其他密铺中的某个地方。

波义耳说：“如果我扑通一声把你放在一种密铺或另一种密铺上，让你用余生去探索，你将永远无法弄清楚我是把你放在哪一种密铺上。”

无法预测的密铺

像彭罗斯密铺这样的非周期性密铺具有简单重复图案所缺乏的不寻常特性。

周期性

正方形瓷砖可以形成周期性图案，移动后看起来相同。

非周期性

无法排列这两块瓷砖来获得简单的重复图案。

（为清楚起见，密铺图案中省略了每一块彭罗斯瓷砖边缘的凹痕。）

局部不可分辨性

这两个彭罗斯密铺并不等价，其中一个密铺中的每个有限块也会出现在另一个密铺中的某个地方。

图源：Merrill Sherman

对李来说，这似乎与量子纠错中的局部不可分辨性的定义非常相似。他与波义耳提及这个联系，波义耳立刻惊呆了。这两种案例下的数学基础是完全不同的，但相似之处太有趣了，不能忽视。

李和波义耳想知道，他们是否可以通过建立一个基于一类非周期性密铺的量子纠错码，在局部不可分辨性的两种定义之间建立一个更精确的联系。在两个小时的班车旅程中，他们一直在交谈。当他们到达多伦多时，他们确信这样的编码是可能的——这只是一个构造形式证明的问题。

量子瓷砖

李和波义耳决定从彭罗斯密铺开始，这是简单而熟悉的。为了将它们转换成量子纠错码，他们必须首先定义在这个不寻常的系统中量子状态和错误是什么样子的。这部分很简单。一个覆盖着彭罗斯瓷砖的无限二维平面，就像量子位网格，可以用量子物理学的数学框架来描述：量子态是取代0和1的特定瓷砖。一个错误只会删除密铺图案的一块，就像量子位阵列中的某些错误会消除一个小集群中每个量子位的状态一样。

下一步是确定不会受到局部错误影响的密铺配置，就像普通量子纠错码中的虚拟量子比特状态一样。解决办法，就像在普通编码中一样，是使用叠加。一个精心选择的彭罗斯密铺叠加类似于世界上最优柔寡断的室内装饰设计师提出的浴室瓷砖排列。即使有一张混乱的蓝图丢失了，它也不会泄露任何关于整体地面计划的信息。

李志注意到量子纠错码的一个性质与同名的非周期性密铺性质之间有有趣的相似之处。

图源：Zhi Li

为了使这种方法有效，李和波义耳首先必须区分不同彭罗斯密铺之间的两种性质不同的关系。给定一个密铺，你可以通过将它向任意方向移动或旋转来生成无限多个新的密铺，这样生成的所有密铺的集合称为一个等价类（equivalence class）。

但并不是所有的彭罗斯密铺都属于同一个等价类。一个等价类中的密铺不能通过旋转和平移的任何组合转换为另一个等价类中的密铺——这两种无限模式在性质上是不同的，但仍然在局部上无法区分。

有了这个区别，李和波义耳最终可以构造一个纠错码。回想一下，在普通的量子纠错码中，虚拟量子位被编码为物理量子位的叠加。在他们的基于密铺的编码中，类似的状态是单个等价类中所有密铺的叠加。如果平面被这种叠加所密铺，那么就有一个过程来填充间隙，而不透露任何关于整体量子态的信息。

“彭罗斯密铺在量子计算机发明之前就知道量子纠错了。”波义耳说。

李和波义耳在乘车途中的直觉是正确的。在深层次上，这两种局部不可分辨性的定义本身是无法区分的。

寻找模式

虽然数学上定义良好，但是李和波义耳的新编码几乎不实用。在彭罗斯密铺中，密铺的边缘不会有固定的间隔，因此指定它们的分布需要连续的实数，而不是离散的整数。另一方面，量子计算机通常使用离散系统，如量子位网格。更糟糕的是，彭罗斯密铺只是在无限平面上局部不可区分，这并不能很好地转换到有限的真实的世界。

莱瑟姆·波义耳与李一起工作，构建基于非周期密铺的量子纠错码。

图源：Elina Mer

“这是一种非常奇怪的联系，”代尔夫特理工大学的量子计算研究员芭芭拉·特哈尔（Barbara Terhal）说。“但将其落地也很好。”

李和波义耳已经在这个方向上迈出了一步，他们构建了另外两个基于密铺的编码，其中底层的量子系统在一种情况下是有限的，在另一种情况下是离散的。离散码也可以是有限的，但其他挑战仍然存在。这两种有限码只能纠正聚集在一起的错误，而最流行的量子纠错码可以处理随机分布的错误。目前还不清楚这是基于密铺的代码的固有限制，还是可以通过更聪明的设计来规避。

“还有很多后续工作可以做，”布里斯托大学的物理学家菲利克斯·弗利克 (Felix Flicker) 说。“所有的好论文都应该这样做。”

需要更好理解的不仅仅是技术细节，新发现还提出了更根本的问题。一个明显的下一步是确定其他哪些密铺也可作为编码。就在去年，数学家们发现了一个非周期性密铺族，每一族只使用一个瓷砖。彭罗斯在一封电子邮件中写道：“看看这些最近的发展可能与量子纠错问题有关，这将是一件很有趣的事情。”

另一个方向涉及探索量子纠错码和某些量子引力模型之间的联系。在2020年的一篇论文https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.011009 中，波义耳、弗里克和已故的玛德琳·狄更斯（Madeline Dickens）证明，非周期性密铺出现在这些模型的时空几何中。但这种联系源于密铺的一种性质，而这种性质在李和波义耳的研究中并不起作用。看起来量子引力、量子纠错和非周期性密铺是一个谜题的不同部分，研究人员才刚刚开始理解这个谜题的轮廓。就像非周期性密铺本身一样，弄清楚这些碎片如何组合在一起是非常微妙的。

“这些不同的东西之间有着很深的联系。”弗里克说：“这一系列诱人的联系正有待解决。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/never-repeating-tiles-can-safeguard-quantum-information-20240223/

http://arxiv.org/abs/2311.13040v2

https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.011009

https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.52.R2493

https://perimeterinstitute.ca/people/zhi-li

https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2020/penrose/facts/