上下求索之解码数学中著名的分形——曼德尔布罗特集合（下）

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（接上文 ）

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作者：Jordana Cepelewicz 量子杂志高级作家 2024-1-26

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-1-30

城中之城

我们倾向于认为数学是最纯粹的科学——当我们把它看作是一门科学时。该主题以抽象、超然、受美感和逻辑驱动而著称。它不会弄脏自己的手，也不会关心任何像“应用”这样具体的事情。（甚至在名称中：我们将“纯数学”与“应用数学”区分开来）。数学论文的写作方式殊途同归：因为通常只发表最终的证明和定理，而不是导致它们的曲折过程。

但这是一种现代的数学概念，直到19世纪末才开始固化。随着数学家试图使他们的定义更加严格，以及编写正式证明成为他们找到工作和建立职业的唯一途径，这个概念得到了发展。在1930年代，当一个强大而秘密的数学家小组开始以笔名尼古拉斯·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）发表联合著作时，它得到了进一步的支持。他们的精神开始主导数学思维，意图剥离这门学科的基础，使其尽可能正式。

被称为布尔巴基的秘密数学社团影响了 20 世纪中叶的大部分数学。它强调抽象和严谨的影响在今天仍然能感受到。

尼古拉斯·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）

然而，在此之前很久，数学家——就像物理学家、生物学家或化学家一样——依靠实验来发现和证明新现象。他们做出猜测，抛弃假设，通过反复试验寻找模式。他们进行计算，进行观察，收集数据。他们注意到相似之处，在意想不到的地方出现某些数字或数列。

18 世纪和 19 世纪的数学巨人——欧拉、高斯、黎曼——都是实验主义者，他们依靠大量的手工计算来干活。高斯在素数定理PNT（一个描述素数如何在整数之间分布的关键公式）被实际证明之前一个世纪就猜出了它。那是因为，十几岁的时候，他仔细研究了素数表，并决定数一数，在一千个数字的块中有多少个，一直到一百万。（毫无疑问，高斯会感谢今天的计算机。同样，黎曼提出了他的同名假设，这是数学中最大的开放性问题，只是在进行了数页计算之后（做的猜测）。这些草稿页几十年来都没有被发现；在发现草稿之前，许多数学家将黎曼假说作为“仅靠纯粹思考”可以实现的一个例子。

并没有这种“仅靠纯粹思考”的事情。所有的思考，无论是数学的还是其他的，都受到我们周围世界的影响，受到我们这个时代的技术、哲学运动和美学的影响。

在这方面，布尔巴基的哲学就是典型代表——它对完全严谨的要求，以及强调一般性陈述而不是具体的例子——代表了某种程度上的弯路。数学家们对布尔巴基的看法是分裂的。一些人声称，它为某些领域提供了亟需的严谨性。其他人则说，这是局限的、封闭的思想，切断了数学与其他灵感来源的联系。

如今，柳比奇是石溪数学科学研究所所长。

凯伦·迪亚斯（Karen Dias）

自 1970 年代以来，在现代计算机的推动下，钟摆开始向后摆动，现代计算机为数学家提供了全新的实验和游戏方式。“我认为人们普遍认同布尔巴基的东西是一个错误，”艾勒斯（Søren Eilers）说。“这种非常抽象的观点，对人类来说不是那么友好……这不应该是该领域如何发展的方式。”

本着高斯和黎曼的实验精神，数学家们提出了当今最著名的开放性问题之一——BSD猜想（Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想，贝赫和斯维纳通-戴尔猜想），这是一个关于椭圆曲线的问题，如果解决，将获得 100 万美元的奖励——只有在使用计算机生成大量数据之后。许多其他问题也以类似的方式出现。“这就是香肠的制作方式，”（如果人们看到香肠所有不同的配料，他们可能再也不会吃香肠了。zzllrr小乐译注）印第安纳大学普渡大学印第安纳波利斯分校的罗兰·罗德（Roland Roeder）说。“它没有像它应该的那样宣传。”

数学家们使用计算机来寻找既有猜想或新生假设的反例，并用它们来查找和修复旧证明中的错误。他们求助于计算机在不同的领域之间建立新的联系。在许多领域，数学家已经开始依赖计算机进行关键计算，并在数学证明中执行别的步骤。

在曼集的案例中，计算机帮助启动了整个领域。

听数学家说，计算机使他们能够把曼集当作一座城市——一个可以探索的物理空间。他们花了数小时、数天、数年的时间在社区和街道上漫步、迷路、熟悉地形。“你开始越来越了解，每次你回来，就像回到了家一样，”巴西国家纯粹与应用数学研究所的卢娜·罗摩纳科（Luna Lomonaco）说。“它真的成为你的一部分。”

曼集的地标

曼德尔布罗特集合的边界形成了丰富的数学景观，有丰富的观光机会。

左上：婴儿曼集。右上：螺旋星系。

左下：海马峡谷。右下：大象峡谷。

图源：Merrill Sherman

每当你与该领域的数学家交谈时，这种熟悉感就很明显了。他们可以轻松浏览不同的计算机程序，放大到特定位置以显示不同的属性。杜德科（Dima Dudko）将这些图像描述为“就像复动力学中的语言”。只需根据某些树枝和卷须的外观，巴夫（Xavier Buff）即可准确地预测他认为该集合的一小部分副本会在它变得可见之前弹出的位置。切里塔（Arnaud Chéritat）曾经被要求复制一张几十年前的曼集深处的海报，没有任何额外的信息——他做到了。杜阿迪显然可以查看朱利亚集，并知道它来自曼集里面c的哪个值。哈伯德仍然称朱利亚为“老朋友”。

“研究曼集真的感觉像是一个数学实验领域。这几乎感觉像是一个应用数学领域，而不是一个纯粹的数学领域，”卡皮安巴说。“你只是拿出一些存在的东西，然后试图以一种在我看来你试图发现某种自然现象的方式来解剖和分析它。”

“这不是你创造的东西。这是存在的东西，你可以探索，”巴夫补充道。“它显然在我的电脑上。我参观了曼集。也许曼集当中有一些地方我还没有发现。”

这个研究领域充斥着这样的发现。人们发现了该集合的较小副本，以及其触角、毛发和其他装饰的特定图案。发现了斐波那契数列，编码在集合中，以及π的近似值。曼集的发现完全是在其他情况下，例如在寻找三次方程的数值解时。

“计算机向我们展示了一些诱人的东西，这些东西渴望有人来解释它，”印第安纳大学布卢明顿分校的凯文·皮尔格里姆（Kevin Pilgrim）说。如果产生的并非答案，这反过来又激发成为正确的问题。

在 1980 年代后期，伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoît Mandelbrot）可以说是在世最著名的数学家。

图源：IBM

当计算机揭示了曼德尔布罗特的所有较小副本时，杜阿迪和哈伯德想要解释它们的存在。他们最终转向了所谓的重整化理论（renormalization theory），物理学家在量子场论研究中用它来驯服无穷大，并在相变研究中连接不同尺度（规模）的技术。以前，数学家对它的兴趣不大；按照他们的标准，这甚至不严谨。

但在 1970 年代，物理学家米切尔·费根鲍姆 （Mitchell Feigenbaum） 将重整化理论带入了动力学世界，用它来解释使用实数迭代二次方程时出现的特定自相似模式。

杜阿迪和哈伯德意识到，重整化正是他们所需要的可用来解释在计算机屏幕上看到的更复杂的自相似模式。因此，他们想出了如何将重整化理论应用于复动力学。

从那时起，柳比奇和他的同事们对MLC的研究将这一理论推向了比任何人想象的都更远的地方。

每一点的名称

1990年2月，在离开莫斯科几个月后，柳比奇抵达纽约，他有机会更多地了解杜阿迪在电子邮件中如此兴奋地写下的作品。

起初，让柳比奇着迷的不是 MLC 的结果，而是约科兹（Jean-Christophe Yoccoz）为证明这一点而开发的技术。“不知何故，它对我来说非常好，”他说。他一直对真正的动力学感兴趣，并回答了基于费根鲍姆关于重整化的工作而出现的问题。在1990年代的大部分时间里，柳比奇专注于进一步发展约科兹的方法，以解决这些悬而未决的问题。到本世纪末，他觉得自己“使用这台机器，基本上已经掌握了真实生产线上动力学的完整描述，”他说。

作为这项工作的自然结果，柳比奇最终证明了约科兹的结果未涵盖的许多（尽管不是全部）案例的MLC。

这并不奇怪。约科兹的证明显示，曼集上所有点的MLC，除了那些被称为“无限可重整化”的参数——这些点位于无限嵌套的曼德尔布罗特婴儿副本中。他的研究结果立即将MLC变成了一个与重整化理论密切相关的问题。

这种联系令人兴奋。从表面上看，MLC似乎属于该领域的一个完全不同的角落。“重整化理论是完全独立发展的，”柳比奇说。“然后一切都成为同一个故事的一部分。”

因此，柳比奇也对解决MLC问题产生了兴趣。

甚至在重整化进入争论之前，就已经有迹象表明，MLC是一个具有更深层次共鸣的问题。

在奥赛笔记中，杜阿迪和哈伯德表明，如果MLC为真，那么它也对曼集内部的性质有影响。并非集合中的每个点的行为方式都相同。主心形中的点对应于从起始值为零迭代时收敛为单个数字的函数。其他叶瓣中的点对应于最终在特定数量的不同值之间振荡的函数。例如，主心形顶部的最大叶瓣代表在三个值之间振荡的函数。然而，对于精心选择的点，函数可能会产生保持有界但从不振荡的数列——它们不断在新的、不同的值之间跳跃。

但是，如果MLC是真的，杜阿迪和哈伯德证明，这种非振荡数列一定是罕见的——数学家们想要证明或反驳他们碰巧正在研究的任何动力系统，这种特性被称为“双曲线密度”（density of hyperbolicity）。“这基本上是动力学中最重要的问题，而不仅仅是复动力学，”罗摩纳科（Luna Lomonaco）说。

曼集的内部结构

虽然注意力通常被浪费在曼集的边界上，但它也有一个丰富的内部结构。曼集当中的不同区域表现出不同的行为，其特征是通过迭代集合的定义方程f(z)=z⊃2;+c形成的模式。

1) 如果f(z)从z=0迭代时向无穷大增长，则数字c不在集合中。

2) 曼集的主心形中的c值使函数收敛到一个单值。

3) 在每个球泡中，迭代f(z)导致在这里标记的特定数量的值之间的振荡。在细丝中，迭代可以无限地继续，而不会陷入重复的模式。

4) 例如在球泡3中，函数在3个值之间振荡。

5) 在更小的球泡中，振荡模式变得更加复杂，就像这颗七角星。

图源：Merrill Sherman

双曲线密度涉及曼集的内部。但MLC也使数学家能够为集合边界上的每个点分配一个地址。“它给每个点起了个名字。然后，一旦你能够说出曼集边界的每个点，你就有望真正完全理解它，”哈伯德说。

通过这种方式，MLC告诉数学家，他们所拥有的集合图像没有遗漏任何东西。但是，如果没有证明，可能仍然有一些区域隐藏在这个无限复杂的景观的最深处，尚未出现在计算机屏幕上 —— 其行为以某种根本不同的方式进行。这意味着数学家们仍然缺少故事的一部分。

深入思考简单的事情

杰里米·卡恩 （Jeremy Kahn） 于 1970 年代在纽约市长大，是社会工作者和科学作家的儿子。小时候，他很快就被证明是一个数学神童。他在这个学科上提前了几年。六年级时，他在SAT的数学部分获得了790分。他编写了自己的计算机程序，以更深入地探索各种数学概念。当他13岁时，他成为（当时）赢得美国国际数学奥林匹克代表队席位的最年轻的人。他在整个高中都参加了比赛，获得了两枚银牌和两枚金牌。在此期间，他还开始在哥伦比亚大学学习数学课程，并在他放在卧室的黑板上重新证明了几个定理（不知道它们已经被证明）。

高中毕业后，他去了哈佛大学，主修数学。在那里，他被曼集迷住了。到大四时，他把所有的精力都投入到理解它上。由于当时哈佛大学没有人在研究它，他会骑自行车去波士顿大学，向那里的一位数学家学习分形和动力系统。在他毕业并进入加州大学伯克利分校攻读博士学位后，他专注于双曲几何——这是数学家以前与复动力学相关的领域，当时曼集刚刚流行起来。

13岁时，杰里米·卡恩（Jeremy Kahn）就已经表现出惊人的数学天赋。

图源：Carol Kahn

卡恩希望加强这种联系。作为一名研究生，他重新证明了约科兹著名的MLC结果，建立在数学家丹尼斯·沙利文（Dennis Sullivan，参见 小乐数学科普：2022阿贝尔奖得主丹尼斯·沙利文希望你以不同的方式看待数学，并保持兴趣、小乐数学科普：专访2022年阿贝尔奖得主丹尼斯·沙利文Dennis Sullivan——译自欧洲数学会EMS）和柯特·麦克马伦（Curt McMullen）所做的开创性工作的基础上。他还开始思考如何将双曲几何的思想应用于重整化。

卡恩的同学凯文·皮尔格里姆（Kevin Pilgrim）记得，看到他在巨大的纸上画满了曲线和环形图（annuli），以及退化和扭曲的几何对象。“他开始非常非常深入地思考这些事情，”皮尔格里姆说。“我说的‘深入地’，意思是15年。”

“杰里米对某件事非常努力地思考，这种坚韧不拔，真是太神奇了，”他补充道。

卡恩对重整化思考得特别认真。他研究了柳比奇的作品，以及杜阿迪和哈伯德的作品。

在所有这些情况下，重整化是一种将动力系统的不同尺度相互关联的方法。考虑一个二次方程的动力学。点会以某些方式在复平面周围反弹。重整化允许你通过仅关注其中的一小部分来描述所有这些点的动力学。

“重整化就像一个超级强大的显微镜，可以让你了解最深层次的结构，”法国索邦大学的罗曼·杜雅尔丹（Romain Dujardin）说。

你可以在多大程度上做到这一点取决于你正在迭代的方程式。有时，你根本无法用系统的一小部分来描述其动态。或者，你可以使用重整化的显微镜将事物放大一倍、两倍或十倍，然后再达到一个点，你不能再对较小的尺度说出任何有意义的东西。

但是对于与无限可重整化参数关联的函数，可以永远应用重整化。

这是一个微妙的过程。“这不能以随机的方式完成，”柳比奇说。你必须严格地证明你可以从一个尺度移动到另一个尺度，而不会损失太多的精度。

这样做的第一步是获得对不同尺度（比例、规模）的几何形状的粗略控制。然后，可以使用此步骤来显示曼集当中给定值 c 的 MLC。

对曼集的深入研究揭示了其边界的分形性质，因为图案（模式）无休止地出现。https://youtu.be/6X_kEzDV5gk

作为一名研究生，卡恩已经在考虑如何将他的双曲几何知识应用于这个问题。他的研究引起了人们的关注，在研究生院的第三年，他接受了加州理工学院的终身职位。

一切似乎都完美无缺。

然后他愣住了。

在加州理工学院，他不会写作。他在研究生院时取得了成果，但每次他坐在电脑前，他都会失去任何意志力。“我不擅长写作，”他说。“我甚至不擅长坐下来写作。所以我没有把这些东西写下来。（尽管他后来发表了许多论文，但他直到最近才提交了一些早期作品以供发表。）

他也无法集中精力进行数学研究。“我有时会迷失在想要证明真正伟大的定理的极端中，比如MLC，或者P与NP。然后我会回到现实，”他说。“我迷茫了，不快乐。”

在加州理工学院的四年里，卡恩没有写过一篇论文。他失去了工作。

因此，在1998年秋天，当时他不到30岁，曾经充满希望的职业生涯一蹶不振，“我大概流浪回到了纽约，”卡恩说。

他打电话给米尔诺，征求意见。米尔诺让他重新与柳比奇取得联系，卡恩在研究生院见过几次柳比奇。所以，“我刚刚出现在石溪，”卡恩说。“米沙（柳比奇）非常热情。”两人会讨论几个小时的数学。卡恩回忆说，他经常去柳比奇家，和家人一起吃晚饭——那时，柳比奇和他的妻子有一个女儿；他们后来有了第二个女儿——很快就成了朋友。“他真的收留了我，”卡恩说。“他是世界著名的数学家，他平等地对待我，而不是把我看成一个走失的孩子。”

“他几乎成了我的第二个父亲，”他补充道。

柳比奇在石溪为卡恩找到了一个临时职位，没有教学职责。从 1990 年代末到 2000 年代中期，柳比奇帮助了这位年轻的数学家。当柳比奇在多伦多大学工作了一年时，他为卡恩找到了一席之地。当他回到石溪时，他也做了同样的事情。当卡恩离开学术界，在一家对冲基金工作了一年，却发现这不适合他时，柳比奇再次帮助了他。当卡恩的父亲被诊断出患有癌症并随后去世时，卡恩无法工作。但他最终还是回到了柳比奇身边，柳比奇欢迎了他。

与柳比奇一起，卡恩应用了一种称为重整化的技术来理解曼集之中的一些最狡猾区域。

图源：Adam Wasilewski

听柳比奇说，他意识到卡恩有非常有趣的想法，有时甚至是绝妙的想法。“他只是有这个心理障碍，需要克服，”柳比奇说。“所以我一直尽可能地支持他。”

尽管在这些年里，卡恩仍然经常感到迷茫，但他和柳比奇发展了卡恩所说的“相当激烈的合作”。这让他脚踏实地。两位数学家统一了他们的重整化方法，这也使他们能够证明更多参数的MLC。

卡恩说：“我职业生涯的崩溃给了我机会，让我可以跟着米沙四处走走”，并完成这项工作。“它推迟了生活的很多元素，不是故意的，但对证明这些定理有效。”

卡恩和柳比奇的工作标志着重整化理论和 MLC 的巨大突破。但是“曼集非常狡猾，”柳比奇说，因为它并不完全是自相似的，它表现出不同类型的自相似性。正如阿维拉所说，“当你在里面移动时，它会有不同的个性。”这些不同类型的自相似性对应于非常不同的动力学，因此需要不同类型的重整化才能将一个尺度与另一个尺度联系起来。

卡恩和柳比奇开发了一种类型，但他们已经尽可能地将他们的技术推向了极致。“他们撞墙了，也认识到撞墙了，”慕克吉说。

为了证明曼集其他部分的MLC，他们必须获得类似的几何控制，转而使用其他某个类型或某些类型的重整化。

卡恩和柳比奇对如何最好地进行下去存在分歧。

进展停滞不前。

这些草图显示了涉及重整化的计算，重整化是一种起源于物理学的技术，后来发展成为一种严格的数学理论。重整化在复动力学中起着核心作用，并具有深远的应用。

图源：Adam Wasilewski

他们每个人都开始研究其他问题。卡恩又回到了双曲几何。柳比奇思考了如何将 MLC 工作应用于复动力学的其他部分（甚至物理学问题）。

“这就是为什么，在某种程度上，你永远不会真正陷入困境，”柳比奇说，他于2004年成为石溪数学科学研究所所长。“如果明天有人在所有情况下都能找到MLC的单行证明，它会湮灭我们之前所做的一切吗？不。有很多问题依赖于这种技术。”

这就是为什么当MLC方面的事情似乎进展得不那么顺利时，他从不感到沮丧的部分原因。“MLC的每一步都是许多其他问题的开端，”他说。

与此同时，卡恩在双曲几何方面取得了重大进展。任期提议开始出现。为了重新开始，他于2011年搬到罗德岛州的普罗维登斯县，在布朗大学担任教授。

柳比奇和卡恩都没有停止对MLC的思考，但他们渐行渐远，忙于自己的职责。

其他从事复动力学研究的数学家开始朝着不同的方向发展——专注于比曼集更复杂的参数空间，以及复动力学和数论之间的联系。

但近年来，柳比奇 和 卡恩 各自收了学徒，并重新努力证明 MLC。

正方形化

大约十年前，柳比奇开始与迪玛·杜德科（Dima Dudko）合作。

杜德科于1980年代在白俄罗斯长大，在那里，他的数学实力很快被周围的人所熟知。（在卡恩退役15年后，他代表白俄罗斯参加了国际数学奥林匹克竞赛。和卡恩一样，他也获得了金牌。后来，当他在德国读研究生时，他的导师向柳比奇咨询了杜德科的论文应该解决什么问题。他们决定解决一个关于曼集的问题，他们没想到杜德科能够回答。该命题将自动从MLC开始。他们认为，如果没有MLC的帮助，他充其量只能取得部分进展。

杜德科找到了绕过 MLC 的方法，并彻底解决了这个问题。

在频繁的合作中，来自乌克兰的柳比奇和来自白俄罗斯的杜德科经常用俄语交谈。

图源：凯伦·迪亚斯（Karen Dias）

2012年完成研究生课程后，他继续在德国从事博士后工作，但也开始与柳比奇合作。他们与第三位数学家，阿拉巴马大学伯明翰分校的尼基塔·塞林格（Nikita Selinger）一起开发了一种新的重整化理论。然后，柳比奇 和 杜德科 用它来证明 MLC 适用于曼集当中一些最困难的无限可重整化参数——恰恰是 柳比奇 和 卡恩 的方法无法应用的参数。（柳比奇的前学生达沃德·切拉吉（Davoud Cheraghi）和京都大学的宍倉光広（Mitsuhiro Shishikura）也一直在开发技术来解决其中一些悬而未决的案例。

“这个案例是如此不同，以至于又花了几十年的时间，”柳比奇说。这也需要一些原创的想法。杜德科最近在丹麦与柳比奇一起领导了MLC研讨会，被视为该领域的明星，而他看待事物的方式很有趣。这也许是最好的例证，他有时将曼集绘制成一堆正方形，而不是大多数数学家倾向于画的圆。

“让我感到惊讶的是，有可能解决这些问题，”柳比奇说。“我们最近所做的事情，超出了我以前做过的任何事情。”

为了将所有这些结果汇集到一个地方，柳比奇一直在编写一系列关于曼集、MLC 和复动力学相关工作的教科书。到目前为止，他已经出版了 700 多页，完成计划的四卷中的两卷。“希望当我完成第四卷时，MLC 会在那里，”他说。

和柳比奇一样，卡恩也找到了一个更年轻的门徒。招募亚历克斯·卡皮安巴（Alex Kapiamba）的想法最初是在梦中出现的。他在 2019 年参加了一个会议。几个月来，他、柳比奇和杜德科定期开会讨论MLC的进展情况——这立即反映在梦境中，他们三个人在一辆公共汽车上。“然后我看到第四个人上了公共汽车，基本上这就是整个梦，”卡恩说。“然后我醒来，我想，亚历克斯·卡皮安巴是这第四个人。”

第二天，他安排与卡皮安巴会面，讨论他的研究。卡皮安巴现在与卡恩一起在布朗大学担任博士后，并将在秋季搬到哈佛大学。

去年我见到卡皮安巴时，他的胳膊上挂着吊带；几天前，他在玩极限飞盘时肩膀脱臼了。（他在读研究生时曾为底特律机械队（Detroit Mechanix）效力，并继续在俱乐部联赛中效力。他对自己能够为MLC的努力做出多大的贡献表示出很谦虚。“这有点吓人，”他说。“我确实感觉到一些冒名顶替综合症（imposter syndrome）。”

“我只是想在为时已晚之前进去做一点，”他补充道。

放大曼集主心形尖端附近的一个点，你会看到一个看起来像象群游行的图案。

图源：Maths.Town

卡皮安巴并没有打算学习数学。作为俄亥俄州欧柏林学院的本科生，他开始时主修生物化学；直到他大三结束时，在他上了拓扑学课程后，他才对数学产生了兴趣。“在生物化学中，我真正喜欢的是理解事物的结构，”卡皮安巴说。“数学实际上只是试图以最简单的形式研究结构。真的感觉这是我真正喜欢的生物学或化学部分，被提炼成一种纯粹的形式。我可以做那部分。”

2014年毕业后，他不确定自己想做什么。为了离家人近一点，他搬到了华盛顿特区，并在一家面包店找到了一份工作，并担任家庭教师。在此期间，他开始考虑从事数学事业。他很快辞去了烘焙工作，在接下来的两年里，他继续做家教，同时利用自己的时间学习更高层次的数学——复习他在本科期间学到的材料（“为了获得不同的有利位置，”他说）并参加在线课程。“我想让自己做好充分的准备，”他说。2016年，他进入密歇根大学攻读硕士课程。

作为一名硕士生，他开始研究一个关于曼集的几何形状的问题，该几何形状设置在其主心形的尖端附近，一群大象从浅谷中走出来。当你接近山谷时，大象似乎越来越近。因此，有人推测，当你接近山谷的最深处时，大象之间的距离将缩小到零。“很明显，我是这样想的，”卡皮安巴说，指着他的电脑屏幕，他把大象放大了，让我看。他们看起来确实好像在接近。

他的证明的一个关键部分在于一篇旧的博士论文中的一句随口话。这篇73页的论文完全用法语写成，于1989年完成，但从未发表过。仅仅一年后，它的作者就离开了数学界，因为他对他希望解决的问题感到幻灭和沮丧：MLC。

亚历克斯·卡皮安巴（Alex Kapiamba）目前是布朗大学的博士后研究员，他证明，当我们接近曼集右侧的山谷时，行进的大象会相互任意地靠近。

图源：Adam Wasilewski

卡皮安巴梳理着文本，基于他在高中认识的和谷歌翻译的法语，经常迷失在书页中，却没有意识到时钟早已过了午夜。他感叹自己没有被培养成会说法语。他的父亲来自刚果民主共和国，他的母亲在和平队服役时遇到了他，他们都能说一口流利的语言。但是这对夫妇在卡皮安巴出生前不久就搬到了马里兰州，为了帮助他的父亲尽快学习英语，他们在家里只说英语。

最终，卡皮安巴意识到他并没有错失论文逻辑中的某些步骤。它的作者犯了一个错误。他的说法可能是正确的，但其背后的推理并不成立。因此，卡皮安巴将目光投向了修复错误。

他让事情沸腾，就像他等待面包发酵一样。（他仍然烘烤以集中注意力。他很享受这个机会，让他用双手做点什么。在接下来的几年里，他终于找到了证明。为此，他必须加强约科兹（Jean-Christophe Yoccoz）在他最初的MLC证明中使用的一个定理，该定理有关于大象的大小。

这项工作让复动力学社区完全出乎意料。计算机图像已经表明，曼集的某些区域的收缩似乎比约科兹定理所暗示的要快得多，这意味着他的命题可以得到加强。“如果你只是画一些图片并看着它们，你可以看到，哦，似乎约科兹给我们的束缚非常非常糟糕，”卡皮安巴说。但没有人能够改进它。

直到卡皮安巴的出现。他的工作仅适用于曼集中的某些区域；数学家们希望约科兹的命题的更强版本可以用于整个集合。即便如此，“人们还是非常兴奋，”贝尼尼说。“每个从事这项工作的人都知道这一定是真的；他们只是不知道如何证明这一点。”

洛莫纳科和其他数学家已经使用卡皮安巴的结果来证明他们自己的定理。但它也被视为未来MLC证明的潜在关键。

实验室和向导

去年的会议标志着数学家们最后一次聚集在丹麦的旧军事基地。赞助该系列研讨会的罗斯基勒大学今年放弃了对该地点的租约。

如果柳比奇、卡恩、杜德科和卡皮安巴能够结合他们不同的方法最终证明MLC，这将标志着另一个时代的结束——这个时代始于曼德尔布罗特、哈伯德和杜阿迪第一次看到分形出现在他们的电脑屏幕上。

曼集的故事展示了计算机如何开辟全新的数学视野，探索的时机已经成熟。

图源：凯伦·迪亚斯（Karen Dias）

过去半个世纪对曼集的探索是通过计算机图形学的发展而实现的。生成分形的数学很简单：你真的只需要知道如何做加法和乘法。但是，使曼集出名的图纸不可能是手工完成的。他们依赖于数百万次的简单计算，如果没有计算机，这是不可行的。

原则上，一个有远见的数学家可能在几百年前就在他们的脑海中捕捉到了这个集合的快照。但是，在历史的展开中，尽管天才有时可以瞥见地平线，但技术已经调节了可以想象的东西。例如，法图“能够在没有看到曼集的情况下提出猜想，”巴夫说。但法图只能走到这一步。无论他的想象力多么强大，在曼集下，有一个丰富的世界在旋转，这是他无法进入的，但今天的普通人很容易看到。

柳比奇在工作中并不倾向于使用计算机。“我的思维方式非常直观，”他说。“它非常几何。我从图画的角度来思考——但我只是或多或少地用手或在我的脑海中画出原始的图画。我从不以任何实质性的方式使用计算机。（他开玩笑说，也许他在移民前在列宁格勒短暂担任的编程工作是罪魁祸首。“这让我很反感，”他说。）然而，他生活在一个充满计算的世界里。回到乌兹别克斯坦的棉田里，他也只是通过放飞自己的想象力而走了这么远。“是杜阿迪和哈伯德看到了下一个层次的深度，”他说 - 使用了1980年代可用的计算机。在那之后的几十年里，柳比奇看到他的合作者将计算机用作实验室和向导。他回忆说，在他与米尔诺的一篇联合论文中，米尔诺进行了几次计算机实验，以帮助引导他们的证明朝着正确的方向发展。杜德科在与柳比奇一起工作时一次又一次地回到计算机前。“他非常善于解释他所看到的东西，”柳比奇说，“将这些图像翻译成数学语言，并提出非常深刻的猜想。”

伽利略发现了木星的卫星，不仅因为他发展了正确的理论来理解他所看到的，还因为他有一架望远镜。同样，在技术变革使它们可见之前，数学世界的整个领域都处于隐藏状态。它们不能用纯粹的思想来发现，就像木星的卫星不能通过眯眼来辨别一样。

如果说 1970 年代和 80 年代的计算革命为探索曼集大陆打开了大门，那么数学家们今天可能正处于另一个这样的临界点的风口浪尖。人工智能才刚刚开始被用于制定实质性猜想并证明重要的数学结果。很难——也许不可能——充满信心地衡量它的潜力。（“我们必须尝试训练一个神经网络来放大曼集，”卡皮安巴开玩笑说。）但是，如果曼集的故事是数学家如何用纯粹的思想来研究技术开辟的远景的故事之一，那么下一章还有待书写。

“我从来没有觉得我的想象力足够丰富，可以发明所有这些非凡的东西，”曼德尔布罗特曾经说过。“它们在那里，尽管以前没有人见过它们。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/the-quest-to-decode-the-mandelbrot-set-maths-famed-fractal-20240126/

https://abel.math.harvard.edu/archive/118r_spring_05/docs/brooksmatelski.pdf

https://d2r55xnwy6nx47.cloudfront.net/uploads/2024/01/Mandelbrot-Lede-Shorter2.mp4

https://youtu.be/u9GAnW8xFJY

https://youtu.be/6X_kEzDV5gk