历史的回顾与漫谈——中国学者与统计物理学

以下文章来源于中国物理学会期刊网 ，作者刘寄星

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|作者：刘寄星

(中国科学院理论物理研究所)

本文选自《物理》2023年第9期

题注：2017年7月17—19日在西安陕西师范大学召开的“第四届全国统计物理与复杂系统学术会议暨海峡两岸统计物理会议”上，应组委会邀请，我为会议作了一个公众报告，以漫谈的形式回顾了中国学者与统计物理学发展的关系，听众为会议代表及众多对物理学感兴趣的师生。因报告引起了不少听众的兴趣，当时即有人建议将这个报告整理成文后发表，我以忙于译书为由而推托了。不料5年之后，又有当年的几位与会者告诉我，这个报告对青年学者和学生了解中国科学发展的历史有帮助，建议我能整理成文字发表。后又有《物理》编辑部热情邀约，盛情难却，特根据当年的PPT文件整理成文，希望能对青年同志有所裨益。

统计物理学是理论物理学的重要分支，其研究的初衷是从物质的微观结构和相互作用出发，说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的性质。19世纪中期至20世纪前期，克劳修斯(Clausius)、麦克斯韦(Maxwell)、玻尔兹曼(Boltzmann)和吉布斯(Gibbs)等人相继奠定了统计物理学的基础。

从20世纪20年代起，中国物理学家逐渐加入统计物理学的研究，并取得一定成就。本文基本上按时间先后顺序，通过若干具体事例，以漫谈的形式介绍这些前辈学者们的成就及其意义，以期纪念先贤，激发后人。

1

验证Maxwell速度分布律的两位中国实验物理学家——丁西林和葛正权

1859年Maxwell导出气体处于热力学平衡时的速度分布律，但当时无法把同一类气体分子放在一定的空间中进行实验验证。之后，随着一些新技术的发展，逐步出现了对Maxwell速度分布律的实验验证，最先是对电子，以后发展到对分子。

图1 丁西林(1893—1974)

最早对该定律进行验证的中国学者，是当时在英国伯明翰大学O. W. Richardson教授指导下学习的我国学者丁西林1)(图1)，他历时三年，改进了O. W. Richardson和W. H. Schottky在他之前进行的实验，利用热电子发射验证了Maxwell定律(Ting S L. Experiments on Electron Emission from Hot Bodies. Proceedings of the Royal Society of London，1921，A98：374—394)(图2)。

图2 丁西林验证Maxwell分布律的文章

继丁西林之后，在验证Maxwell真空分布律方面做出重要成就的我国学者是葛正权2)(图3)。

图3 葛正权(1896—1988)

随着真空技术的发展，1920年代之后，验证Maxwell分布律的研究逐步转移到分子束实验。著名德国物理学家O. Stern用银蒸气分子束实验获得银分子有着确定的速度分布的信息，但未能给出定量的结果。当时在美国加州大学伯克利分校攻读博士学位的葛正权经过近三年的艰苦努力，获得了此项定律的精确验证成果(Ko C C. The Heat of Dissociation of Bi2 Determined by the Method of Molecular Beams. J. Franklin Institute，1934，217(2)：173—199)(图4)。葛正权这篇长达26页的论文是验证Maxwell速度分布律的有名文章，曾长期被许多专著和教科书引用(比如Sears的University Physics，程守洙等著《普通物理学》，李椿等著《热学》等)。

图4 葛正权1934年的论文

丁西林和葛正权两位先辈验证Maxwell速度分布律的贡献，是我国学者对国际统计物理学发展所作贡献的最早记载，值得我们永久铭记。

2

我国统计物理学研究的两位先驱和奠基者——王竹溪和张宗燧

在统计物理学研究中最早独立提出理论而为国际学界承认的中国学者是王竹溪和张宗燧。

20世纪30年代中期，统计物理学研究重点正处在从理想气体和低温固体等准自由粒子系统转向有比较强的相互作用的合作系统，此时合金及溶体的合作现象和相变问题成为研究热点3)。王竹溪和张宗燧先生正好在此时相继投入当时统计物理研究的重镇——英国剑桥大学理论物理学教授Ralph Fowler4)的门下，在当时的这个学术研究热点上做出了突出的成绩。

王竹溪(1911—1983)(图5)，湖北公安人，1929年夏入清华大学。1933年进入清华研究院，跟周培源研究湍流理论。1935年获公费留英资格后，同年８月到剑桥大学师从Ralph Fowler 研究统计物理。

图5 王竹溪(1911—1983)

王竹溪在剑桥学习期间，先对较简单的吸附作用问题发展了一个普遍的统计理论，然后把其主要思想用到超晶格问题，推广成普遍理论，既适用于组元浓度相等，也适用于组元浓度不等的情形，而且处理的是相当普遍的一类长程相互作用，找到了计算超晶格位形配分函数的近似方法，从而在形式上给出了超晶格问题的普遍解。王竹溪的工作对贝特(Bethe)理论有明显改进，得到了与实验更接近的结果(图6)。在随后的多年中，超晶格和相变仍是王竹溪继续研究的主要问题。

图6 王竹溪的两篇具有长程相互作用的超晶格的统计理论的首页

王竹溪在剑桥期间发表了6篇论文，计为：

(1) Wang J S. On the Diffusion of Gases through Metals. Proc. Camb. Phil. Soc., 1936, 32: 657—622；

(2) Wang J S. Properties of Adsorbed Films with Repulsion Interaction. Proc. Roy. Soc., 1937, A161: 127—140；

(3) Wang J S. Statistical Theory of Superlattices with Long-Range Interaction. I. General Theory. Proceedings of the Royal Society of London, 1938,

A168: 56—67；

(4) Wang J S. Statistical Theory of Superlattices with Long-Range Interaction. II. The Simple Cubic Lattice and the Body-Centred Cubic Lattice. Proceedings of the Royal Society of London, 1938, A168: 68—77；

(5) Wang J S. Statistical Theory of Adsorption with Long Range Interaction. Proc. Camb. Phil. Soc., 1938, 34: 238—252；

(6) Wang J S. The Kinetics of Adsorption with Long Range Interaction. Proc. Comb. Phil. Soc., 1938, 34: 412—423。

王竹溪1938年获博士学位后旋即回国，未及回家省亲即赶赴昆明西南联大担任教授，遂有“王师母千里寻夫”的故事传出5)。王竹溪先生回国后，为推进我国的热力学和统计物理学教学和研究进行了不懈的努力，1955年被聘为中国科学院学部委员。

教学方面：他相继在西南联大、清华大学、北京大学讲授热力学和统计物理学课程，举行统计物理学讲座，持续地将他的研究生、青年教师(林家翘，应崇福，杨振宁，李荫远，梅镇岳，徐亦庄，徐锡申等)引入统计物理学研究；20世纪50年代，王竹溪撰写了我国第一部热力学和统计物理学教材。他的《热力学》和《统计物理学导论》成为我国几代人学习的教科书，至今仍在重印(图7)。

图7 王竹溪先生所著《热力学》(第一及第二版)和《统计物理学导论》封面

研究方面：他相继在超晶格相变、勒夏特列原理、高级相变、范氏气体性质、热力学系统平衡与稳定性质以及热力学在植物生理的应用方面做出了独创性的结果。

王竹溪先生是公认的我国热力学和统计物理教育和研究的开创者和奠基人。文革期间，王竹溪先生因在江西劳动感染血吸虫病，1983年因病逝世。

张宗燧(1915—1969)(图8)，浙江杭州人，1934年毕业于清华大学物理系，后留校攻读学位。1936年入英国剑桥大学随Fowler研究统计物理学，仅用两年时间，即于1938年获英国剑桥大学哲学博士学位。

图8 张宗燧(1915—1969)

张宗燧在学习期间推广Bethe的金属合金相变理论到包括次近邻格点间相互作用的贡献，明显地改进了合金有序—无序相变的Bethe理论与实验符合的程度(图9)；他通过求出合金系统的巨配分函数，证明了Bethe近似与Guggenheim等人提出的准化学近似完全等价(图10)；严格证明了Bethe假设的两个组合公式，被称作“张宗燧组合公式”，此一结果被Fowler和Guggenheim收入到他们的名著《统计热力学(Statistical Thermodynamics)》中作为第1323节(图11)。

图9 张宗燧推广Bethe理论论文的首页

图10 张宗燧导出合金系统巨配分函数论文的首页

图11 Fowler和Guggenheim名著《统计热力学》扉页及其中收入张宗燧组合公式的一节

张宗燧在剑桥期间发表了6篇论文：

(1) Chang T S. An Extension of Bethe′s Theory of Order-Disorder Transitions in Metallic Alloys. Proceedings of the Royal Society of London, 1937, A161: 546—563；

(2) Chang T S. Specific Heats of Solids due to Molecular Rotations. Proc. Comb. Phil. Soc., 1937, 33: 524；

(3) Chang T S. Superlattice Formation of the Type AB in Alloys with Applications to the Theory of Adsorption. Proc. Comb. Phil. Soc., 1938, 34:224；

(4) Chang T S. Statistical Theory of the Adsorption of Double Molecules. Proceedings of the Royal Society of London, 1939, A169: 512—531；

(5) Chang T S. The Number of Configurations in an Assembly and Cooperative Phenomena. Proc. Comb. Phil. Soc., 1939, 35: 265；

(6) Chang T S. The Number of Configurations of an Assembly with Long-Distance Order. Proceedings of the Royal Society of London, 1939, A173: 48—58。

从以上成就可见，张宗燧先生与王竹溪先生一样，是我国统计物理学研究的当之无愧的开创者和奠基人之一。

与王先生不同的是，张宗燧获博士学位后主要研究方向转向量子场论，相继在瑞士高工及哥本哈根玻尔研究所跟随泡利(Pauli)和玻尔(Bohr)从事量子场论研究，1939年回国在中央大学物理系任教。1945年经李约瑟推荐，再回英国剑桥大学，在该校讲授场论。1947年经狄拉克(Dirac)推荐去美国普林斯顿高等研究院从事研究，1948年秋回国任北京大学物理系教授。之后相继任北京师范大学教授和中国科学院数学研究所研究员，1957年被聘为中国科学院学部委员6)。值得指出的是，张宗燧先生在以量子场论为主要研究方向的同时，仍潜心研究统计物理问题，在任意浓度比的合金、多种类型的固溶体特别是多元多原子分子固溶体的统计力学方面得出重要成果。张宗燧一生潜心向学，无奈命途多舛，于文化大革命期间受迫害而去世，令人扼腕痛惜。

3

在非平衡统计物理学中做出杰出贡献的两位女物理学家——王明贞和王承书

20世纪是非平衡态统计物理迅速发展并取得广泛应用的世纪。在此一世纪中，非平衡态统计物理的内容得到极大的充实和扩展。首先，由克劳修斯(Clausius)、麦克斯韦(Maxwell)、玻尔兹曼(Boltzmann)在19世纪创立的分子动理论从仅能处理稀薄单原子气体被发展到能处理固体、液体和气体非平衡输运特性的输运理论，并广泛应用于化学、生物学和化工、航空航天、能源、环境、大气等科学技术领域；其次，布朗运动理论成为非平衡态统计物理的重要内容，使得人们不仅能够精确处理受随机环境影响体系的运动规律，而且促进了随机过程数学理论与物理学的紧密结合，在天文、化学、生物、通信、计量以及其他领域得到大量应用。

20世纪40年代，我国的两位女物理学家王明贞和王承书在非平衡态统计物理学中做出了杰出贡献，她们二人的工作，分别在布朗运动和气体输运理论两个方面产生了深远的国际影响。巧合的是，与上述王先生和张先生都师从一位导师R. H. Fowler类似，指导这二位女物理学家博士论文的也是同一个人7)。

王明贞(1906—2010)(图12)，江苏苏州人，1926—1930年先入金陵女子大学后转燕京大学物理系学习，1930年毕业后继续在燕京大学物理系工作学习，1932年获燕京大学硕士学位，1932—1938年在金陵女子文理学院数理系任教。1938—1942年赴美在密歇根大学物理系作研究生，1942年获博士学位。1943—1945年在美国麻省理工学院(MIT)辐射实验室从事雷达研究。1947—1949年回国任云南大学物理系教授。1949—1952年二度赴美在Notre Dame大学从事理论物理研究。1955年归国后一直任清华大学物理系教授。

图12 青年时期(左)和老年时期(右)的王明贞

在密歇根大学学习期间，王明贞独立地从Fokker—Planck方程和Kramers方程中推导出了自由粒子和简单谐振子的布朗运动。后与导师Uhlenbeck合作，撰写了综述布朗运动理论的长篇论文(Wang M C，Uhlenbeck G E. On the Theory of Brownian Motion II. Review of Modern Physics，1945，17：323)(图13)，享誉国际。文章根据王明贞1942年在密歇根大学的博士论文的部分结果，以及他们二人1943—1945年在MIT辐射实验室理论组从事噪声分析的科学积累，总结了Uhlenbeck与Ornstein在1930年发表第一篇布朗运动理论综述8)以后的发展，集中对高斯型分布随机场中的布朗运动作了系统的分析。

图13 王明贞与 Uhlenbeck综述论文的首页

这篇文章对布朗运动理论的基本贡献在于：(1)早于他人，详尽完整地给出了耦合谐振子的布朗运动理论结果，对于噪声分析，特别是线性无源电路热噪声分析具有指导意义；(2)这篇文章第三节给出了对随机过程最为系统和完整的分类，此一分类已成为所有后续讨论的标准分类，被普遍采用。

王明贞与Uhlenbeck合作的这篇文章，据SCI引用统计表明，至今该文的引用数已达1900次以上，而且被引用随时间分布很平：从2014年至今不到10年，这篇文章已被引用296次，每年平均被引用约30次。充分说明了王明贞先生78年前发表的这一工作的科学价值。

王明贞归国后，1955—1966年在清华大学物理系讲授理论物理学，深得学生热爱和其他教师的尊敬。不料在文化大革命期间竟遭遇无妄之灾，被关押审查达5年8个月之久。好在她胸襟开阔，以坚毅之精神面对艰难，喜得长寿。晚年写出“转瞬90载”回忆长文[1]，总结了自己奋斗的一生。

王承书(1912—1994)，湖北武昌人，1934年毕业于燕京大学物理系，1934—1936年在燕京大学物理系作研究生，获硕士学位。1941年赴美，1944年获密歇根大学博士学位。后又从事两年博士后工作，曾任密歇根大学副研究员和研究员，并曾两度在普林斯顿高等研究所工作，直到1956年回国。

图14 王承书(1912—1994)

在美国期间，王承书与其导师G. E. Uhlenbeck合作完成了多篇气体动理论的重要论文[2]。其主要贡献为：

(1)用半经典方法，通过修改Boltzmann方程碰撞项，导出适用于具有内部自由度的多原子气体的修正玻尔兹曼方程；用Chapman—Enskog方法解修正方程，研究了多原子分子气体的输运性质，得出单原子分子气体所没有的新粘滞系数——体积粘滞系数，而且发现，多原子分子气体导热系数与单原子气体有显著差别(图15)；

(2)对线性化Boltzmann碰撞算子的本征函数和本征值进行了透彻研究，严格证明了Maxwell气体情况下线性化Boltzmann碰撞算子的本征函数就是索南多项式；

(3)在讨论气体中声波色散时，把计算推进到三级近似，发现Maxwell气体的“高矩声波”；

(4)对激波层厚度等高速空气动力学问题进行了开创性探索，引起大量后续研究。

图15 王承书等用修正Boltzmann方程讨论多原子分子气体输运性质文章中的两页

王承书的多数工作，在她离美回国前均以密歇根大学报告的形式存在，并未公开发表。王离美归国后，Uhlenbeck为王承书工作的出版付出了持续努力，将这些论文公开发表在他自己担任主编的Studies in Statistical Physics丛书的卷2和卷5，并著文广为介绍，使得学术界广为知晓。1994年应纯同等将其中主要部分译为中文，出版了《气体运动论——王承书论文选集》(图16)。

图16《气体运动论——王承书论文选集》封面

王承书的以上贡献得到国际同行的高度评价和持续不断引用，引发了大量后续研究，至今不绝。她和Uhlenbeck导出的多原子分子气体动理学方程，被称为王承书—Uhlenbeck方程(Wang-Chang—Uhlenbeck方程)，广泛应用于高温气体、化学流体和原子分子物理研究中，已成为国内外出版的有关输运理论专著和教材的经典篇章而长传后世。

王承书1956年回国后，相继任中国科学院近代物理研究所研究员兼北京大学物理系教授9)，中国科学院原子能研究所聚变研究室副主任，1961年起从事铀同位素分离研究，为我国铀同位素分离理论和技术发展、战略武器的研制成功作出了特殊贡献，成为我国铀同位素分离理论的奠基人。1981年被选为中国科学院院士，1994年在北京逝世。

4

杨振宁和李政道对统计物理学的贡献(加入美国籍前)

杨振宁和李政道二位是国际知名的理论物理学家，他们二人在统计物理学方面也都做出过杰出的工作，杨振宁先生成绩更为显著。不过二人分别于1964年和1962年加入了美国国籍10)，不能再算是中国学者，所以这里只简单地介绍一下他们还是中国学者时做过的三件事，这三件事都有重要的国际影响。

图17 杨振宁(1922— )

图18 李政道(1926— )

第一件事是杨振宁关于相变的重要工作。早在西南联大时期，杨振宁得到王竹溪真传，在二元合金的有序—无序转变问题上做出了较好的工作。1946年赴美后，他花了许多时间钻研Onsager二维伊辛(Ising)模型准确解，独立完成了难度极大的关于二维Ising模型的自发磁化的论文，得到了1/8这一临界指数，有意思的是，他还启发了另一位中国物理学家在这方面的创造性工作11)。

第二件事是杨、李二人关于气液相变的工作。1937年J. E. Mayer基于将位力系数表示成分子间作用势的积分，提出了气—液相变的统计理论，得到R. Fowler，M. Born等大家的支持。不过到了1950年前后，这个理论受到实验和理论两方面的质疑。1952年，杨振宁和李政道合作完成并发表了两篇关于相变理论的论文(图19，图20)。两篇文章同时投稿和发表12)。论文通过解析延拓的方法研究了巨配分函数的解析性质，发现它的根的分布决定了状态方程和相变性质，消除了人们对于同一相互作用下可存在不同热力学相的疑惑。这两篇论文的高潮是第二篇论文中的单位圆定理，它指出吸引相互作用的格气模型的巨配分函数的零点位于某个复平面上的单位圆上。这两篇文章指出，Mayer给出的以集团积分表示的状态方程只与气态有关，解释不了气液相变，澄清了Mayer理论对气—液相变带来的争论。文章发表后引起爱因斯坦的兴趣，并专门会见了二人。

图19 杨—李关于气液相变的第一篇论文

图20 李—杨关于气液相变的第二篇论文

第三件事是有关稀薄玻色子多体系统的研究(图21)。杨振宁在1957年左右与李政道及其他合作者(黄克孙、Luttinger等)发表或完成了一系列关于稀薄玻色子多体系统的论文。他们得到的能量修正中最令人惊讶的是著名的平方根修正项，但当时无法得到实验验证。不过，这个修正项随着冷原子物理学的发展而得到了实验证实。

图21 李、杨关于量子统计力学中的多体问题系列论文第一篇的摘要

杨、李在加入美国籍后对统计物理学又有许多新的重要贡献，比如杨振宁在1967年提出Yang—Baxter方程以及1969年得到的有相互作用的量子统计模型在有限温度(T>0)的严格解等，因已超出本文范围，故不再介绍。好在这方面的情况已有不少文章论及，读者欲知其详，可参阅这些文章13)。

5

马上庚在临界现象理论中的工作

在统计物理学发展的历史上，1966年无疑是一个值得纪念的年份，因为这一年之后的不到十年间，人们对相变和临界现象的理解深入了大大的一步，这段期间，以1966年L. Kadanoff引入团块标度变换为起始，到K. Wilson引入重正化群方法达到高潮，不到十年，实验中发现的有关相变和临界现象的大量疑难问题在理论上得到了相当透彻的解决。

图22 马上庚在Review of Modern Physics发表的综述论文的前两页

在1966年左右开始的临界现象研究的热潮中，有一位青年学者十分活跃，他就是来自中国台湾的马上庚14)。1972—1975年期间，在美国加州大学任教的马上庚在重正化群理论方面做出过重要贡献。1973年他在Review of Modern Physics，Vol 45：589发表重正化群理论的第一篇综述(图22)，就1/N的展开、标度变量和维度、铁磁和自旋玻璃的临界动力学等进行了深入讨论。

图23 马上庚专著《临界现象的现代理论》的英文和中文版封面

1976年他出版了专著Modern Theory of Critical Phenomena (Benjamin / Cummens Pub. Company，1976)，现已成为这一领域的经典著作。2016年中国科学技术大学出版社出版了该书的中文译本(《临界现象的现代理论》，马红孺译，2016)(图23)。

6

“文化革命”时期开出的两朵统计物理学之花

1966年正当国际上研究相变和临界现象的热潮兴起之际，中国大陆爆发了史无前例的“无产阶级文化大革命”，这场浩劫彻底地扫荡了中国的科学和文化的各个方面，使得我国此后十年内基础研究的成果几乎荡然无存。值得庆幸的是，在这期间，我国统计物理学花园中还是开出了两朵精致的小花。

图24 郝柏林(1934—2018)

图25 于渌(1937— )

其一为于渌、郝柏林15)的“连续相变临界指数的骨架图展开”一文(《物理学报》(1975年5月)24卷第3期，187—199页)(图26)。

图26 于渌、郝柏林题为“连续相变临界指数的骨架图展开”文章中的两页

这篇文章是我国大陆学者在连续相变重正化群理论发展初期的唯一贡献16)。1975年美国物理学会曾组织一个固体物理代表团到中国访问，调查、了解文革期间物理研究和教学的实际情况，代表团中包括了John Bardeen等4位诺贝尔奖获得者。在代表团的正式总结报告中，高度评价这个工作：“物理所磁学组的理论学家向我们描述了相当复杂、有想象力的连续相变临界指数计算，用的是重正化群和图解分析法，与西方及苏联当代最先进的研究类似。……我们看到中国多数固体理论学家关注经典及半经典唯象理论，这项研究是引人注目的例外。”关于这篇文章的产生过程，于渌有一篇文章作了饶有兴趣的回忆[4]，大家不妨一读。

其二为郝柏林与两位数学家联合发表的“三维晶格统计模型的一种封闭的近似解”(《物理学报》(1978年1月)27卷第1期，47—62页)(图27)。

图27 郝柏林等“三维晶格统计模型的一种封闭的近似解”一文中的三页

自L. Onsager于1944年发表长方格子上二维Ising模型的准确解并证明其确实存在相变，树立起统计物理学发展史上的一个里程碑以来，一直有人试图解决或宣称解决了三维Ising模型的准确解问题。然而据我所知，迄今为止没有一个是真正成功的17)。

在尝试过求解三维Ising模型的众多人物中，郝柏林可能属于少数没有完全空手而归者。文化大革命初期郝柏林在比较二维Ising模型解法的基础上，提出一种以四元数做转移概率的三维无规行走模型，其严格解可以回到正确的二维Ising模型。经过他多年努力，并与许以超、石赫两位数学家合作，得出了三维Ising模型的一个封闭近似解。

1970年代末，王竹溪先生曾用三个半天，在他主持的讨论班上讲述二维Ising模型的Onsager和Kaufmann解。王先生最后说，关于三维模型的最好结果是郝柏林得到的18)。

郝柏林和于渌之所以能在文革期间仍然做出较好的工作，验证了一句老话：“机会是留给有准备的人的”。原来，从1959年开始，在中国科学院物理研究所理论室聚集起来一批对理论物理特别是对凝聚态和统计物理学有浓厚兴趣的青年学者，形成了所谓“陈春先学派”19)，郝柏林和于渌都是这个学派的成员。在文革之前，他们都已在统计物理和凝聚态理论方面有了较好的理论准备。尤其是郝柏林，在苏联科学院物理问题研究所随阿布里科索夫(Abrikosov)做研究生期间，于1962年翻译了Abrikosov等三人合著的《统计物理学中的量子场论方法》一书，1963年由科学出版社出版(图28)，进一步加强了自己对统计物理的理解和对场论方法的掌握。故而当机会出现时，他们才有可能做出这些成果。

图28 郝柏林翻译的《统计物理学中的量子场论方法》中文版(1963，2014)封面

7

黄祖洽对输运理论的贡献

在运用和发展统计物理学的我国理论物理学家中，黄祖洽先生无疑是杰出的一位20)。黄祖洽在长期科研实践中运用和发展了输运理论，主要表现在：

图29 黄祖洽(1924—2014)

(1)1954年给出中子输运理论中无限长黑圆柱情形下的米尔恩(Milne)问题的球谐函数展开近似解。l955年底至1956年中参加接受苏联援助我国重水反应堆的理论设计时，结合反应堆结构复杂的实际情况，认真考虑了非均匀性对堆中中子输运的影响，发现苏联提供的设计中所给出的临界尺寸数据有误并在该反应堆启动时的临界实验中得到了证实。

(2)在1960—1965年开展氢弹预研时，考虑到对象是一个在极高温度下起核反应的，包含轻核、重核、电子、中子和光子等粒子的混合系统，不能沿用通常气体分子运动论中使用的Boltzmann方程，而必须加以推广，使方程中能正确反映粒子间有可能起各种反应的事实。1961年在《关于起反应的粒子混合系统的运动论》一文中写出包含多体相互作用和反应的广义运动论方程组。并在此基础上导出了带中子的辐射流体力学方程和反应动力学方程组。后者是核弹理论研究中经常用到的重要方程组之一21)。

(3)1982年以后，黄祖洽指导博士研究生丁鄂江对稀薄气体的非平衡输运和弛豫过程进行了研究。发现在与速度变量相应的傅氏空间中，Boltzmann方程可以通过奇异扰动方法求解，而且在所得对小克努森(Knudsen)数的展开式中，可消去久期项，从而解决了Boltzmann方程求解时久期项难以消去这一历史难题。另外，该方法在各级近似中都导致纳维—斯托克斯(Navier—Stokes)流体力学方程组，而不会引到物理意义上有问题的Burnett方程。原则上可利用这一方法去研究非平衡系统随时间的弛豫行为(图30)。

图30 黄祖洽、丁鄂江关于Boltzmann方程的奇异扰动解法的系列文章

黄祖洽在输运理论方面的贡献，系统总结在他的以下两本专著中：

黄祖洽：《核反应堆动力学基础》(第一版，原子能出版社，1983年；第二版，北京大学出版社，2007年，2014年)和黄祖洽、丁鄂江：《输运理论》(科学出版社，1987年第一版，2008年第二版)(图31)。

图31 黄祖洽两本专著《核反应堆动力学基础》和《输运理论》第二版的封面

8

中国科学院理论物理研究所“四人帮”的闭路格林函数研究

文革结束后，中国理论物理学家立足于国内，对统计物理学的发展做出了一项重要的贡献——闭路格林函数方法研究。这项研究把J. Schwinger在1961年建议、后来由L. Keldysh、R. Mills加以发展的闭路格林函数框架，发展成一套完整且实用的、可以统一处理平衡和非平衡统计物理问题的方法，引起了国际同行的广泛关注。

图32 郝柏林、于渌主编的《统计物理学进展》封面

鉴于文化大革命对我国物理学基础研究的冲击中统计物理和凝聚态理论的受害深重，故文革结束后的1978年在庐山召开中国物理学会年会时，几位有识之士专门组织了统计物理讨论会，讨论会中由多位在文革期间仍刻苦跟踪国际发展的学者介绍了文革以来国际统计物理学研究的进展。其中于渌介绍了重正化群在相变和临界现象理论中的应用，周光召和苏肇冰讲解了闭路格林函数方法22)，郝柏林以“统计微扰论的生成泛函”为题介绍了量子场论的有关知识，霍裕平作了非平衡态统计概述。之后由郝柏林和于渌将这些报告编辑加工，以《统计物理学进展》为书名由科学出版社出版(图32)，这本书在20世纪80年代对促进我国统计物理学的研究和教学起了积极作用。

图33 周光召(1929— )

在一定意义上，可以把此次会议看作是周光召(图33)、苏肇冰(图34)、郝柏林和于渌四人开展的长达8年的对统计物理学一项重要课题合作的起始。

图34 苏肇冰(1937— )

早在1977年11月全国科学规划会期间，原在二机部从事核武器研究的周光召就建议科学院物理所的郝柏林和于渌参加他与在二机部九所工作的苏肇冰已开始的一项研究：把量子场论用于处理平衡和非平衡统计物理的统一表述的闭路格林函数方法研究。1978年之后四人相继调入新成立的中国科学院理论物理所，这个由该所“四人帮”为主开展的“关于非平衡量子统计的闭路格林函数研究”，从1978年开始到1986年的八年中，对1960年代由Schwinger建议的闭路格林函数理论框架做了系统分析，提出了一套有效的理论表述方案，并应用于临界动力学、非线性量子输运、淬火无序系统、激光、等离子体等问题中，得到了一系列新的结果。

在理论框架方面，他们给出了一个定义在闭合时间回路上的路径积分和相应的生成泛函表述，使系统的非平衡态(或平衡态)统计信息被包含在它的有效拉氏量之中。把经典非平衡统计的动力学演化和统计涨落(关联)两个基本因素明显地推广到量子情形。他们阐明了这类闭路格林函数不仅适用于非平衡或平衡的非相对论量子多体系统，也适用于相对论场论系统。

在理论方法上，他们提出了求解序参量和统计格林函数的自洽方程组。对多时空尺度的系统，用闭路格林函数方法系统地分析了低频、长波极限下的行为，对量子系统的流体力学描述和动态临界现象有重要的应用。这个描述既充分体现了系统本身的对称性，又完整地反映了统计涨落的作用。用闭路格林函数分析了非线性量子输运过程，指出这是处理这类现象的有效方法。

图35 周光召等四人刊于Physics Report上的长篇综述的前两页

他们的这一组研究，曾总结在Physics Reports的一篇题为“平衡与非平衡系统的统一表述”的长篇综述23)中，在国内外产生了重要影响(图35)。应当说，周、苏、郝、于四人的这项研究成果是中国理论物理学家立足于国内所开展的对统计物理学的重要贡献。

9

结 语

百年以来，我国一代又一代的学者，通过向西方学习、参与研究并在国内大力传播，代代相传，逐步在统计物理学的研究中取得了一定的创造性成果。对于先辈们为国家富强所付出的艰苦努力，我们充满敬意和感激；对于他们的科学成就，我们表示景仰。

图36 物理学史巨著《20世纪物理学》及其中有关统计物理学发展历史的两章首页

然而，在讲述20世纪物理学发展历史的三卷本巨著《20世纪物理学》(图36)中，在有关热力学和统计物理发展历史的两章内提到的上百位有贡献的物理学家中，只提及了三个中国人的名字24)。百年以来，我们国家在统计物理学研究中没有出现过可以与吉布斯(Gibbs)、能斯特(Nernst)、昂萨格(Onsager)、朗道(Landau)、威尔逊(Wilson)、久保亮五、Prigogine、博戈留波夫(Bogoliubov)、乌伦贝克(Uhlenbeck)等大师级学者的工作媲美的独创性工作。完成这一光荣使命的任务，责无旁贷地落在了在座诸君以及比你们更年轻的后来者身上。正是：

先辈开路历艰难，为国争光代代传；

统计物理攀高峰，唯赖后辈众青年。

注：

1) 丁西林(1893—1974)原名丁燮林，字巽甫。江苏省泰兴人。1913年毕业于上海交通部工业专门学校(上海交通大学前身)，1914年入英国伯明翰大学攻读物理学和数学。1919年归国，历任北京大学物理系教授(1919—1926)、国立中央研究院物理研究所所长(1928—1946)，山东大学物理系教授(1947—1949)，台湾大学教务长(1948)。丁西林重视物理实验在物理教学中的作用，任北京大学物理系教授和系主任期间，对北大的物理实验室的建设贡献良多，为加强中学物理实验，他曾撰写了我国第一部初、高中物理实验课本，1935—1937年曾领导制作上千套高、初中物理实验仪器，由当时的教育部统购分发全国的中学。丁西林长期担任中央研究院物理研究所所长，在他广集人才、苦心经营下，该所从无到有，具有了相当的实验设备和研究条件，做出了一定的科研成绩。丁西林还是一位有名的剧作家，解放后任文化部副部长。

2) 葛正权(1896—1988)，字秉衡，别号葛蠡，浙江省东阳县人。1920年毕业于南京高等师范学校。之后在本校工科与厦门大学物理系任助教。1929年赴美，1930年获美国南加州大学物理学硕士，1933年在加州大学伯克利分校获物理学博士学位。1934—1938年任武汉大学教授。全国全面抗战爆发后，他投笔从戎，担任国民政府航空委员会第一气体制造所所长，后任制氧总厂厂长，抗战胜利后任国民政府国防科学研究发展厅设计处处长兼雷达研究所所长。1949年在中共地下党及国民党革命委员会支持下，拒绝执行伪国防部将该所迁台的命令，带领雷达研究所起义，将该所及所属数百台雷达车完整地留给人民，使我军有了第一批防空雷达设备。1951年后任第二军医大学数理教研室主任。

3) 1934年曼彻斯特大学的W. Bragg和E. Williams利用平均场概念，给出了二元合金的有序—无序相变的结果。1935年正在英国躲避纳粹迫害的Hans Bethe考虑了近邻相互作用后，改进了这一结果，称为Bethe近似或Bethe理论。之后Gugenheim和Fowler又提出了准化学近似，使得当时的剑桥大学物理系成为研究这一类前沿热点问题的中心。

4) Sir Ralph Howard Fowler(1889—1944)，著名理论物理学家，在热力学、量子理论和天体物理研究中有重要贡献，1925年被选入英国皇家学会，1932年起任剑桥大学卡文迪什实验室理论物理主持人，1942年封爵。著有《统计力学》和《统计热力学》(与Gugenheim合著)。他所创立的学派包括了三位诺贝尔奖获得者和15位皇家学会会员。他的学生中包括赫赫有名的量子力学创立者之一Paul Dirac。

5) 王竹溪回国后久不归家，远在中日交战区域湖北公安老家的夫人涂福玉女士不惧危险、不远千里、历尽险阻，独自一人前往云南昆明寻夫，终得团圆。详见：王正行. 严谨与简洁之美：王竹溪一生的物理追求. 北京大学出版社，2008。

6)张宗燧先生是我国量子场论研究的奠基人和开拓者，他在量子场论形式体系的建立特别是高阶微商、高自旋粒子的量子场论等研究方面独有创见，取得多项当时国际先进水平的成果。40—60年代在场论的数学形式、洛伦兹群的表示、重正化理论、色散关系、层子模型等方面作了大量研究，取得多项重要成果。

7)她们的博士论文导师都是荷兰物理学家乌伦贝克(G. E. Uhlenbeck)(1900—1988)，Uhlenbeck因在师从P. Ehrenfest从事光谱学研究时期与同学S. A. Goudsmit于1925年一起提出电子自旋而名著于学界。他是对20世纪物理学发展有杰出贡献的物理学家，被人称为“没有得过诺贝尔奖的诺贝尔奖获得者”。Uhlenbeck一生以作为Ehrenfest的学生和Boltzmann的徒孙为荣，在统计物理特别是动理论和布朗运动理论方面有重大贡献，对推动Boltzmann开辟的气体动理论发展起了特别重要的作用。

8) Uhlenbeck G E，Ornstein L S. On the Theory of the Brownian Motion. Phys. Rev.，1930，36：823。

9) 王先生晚年还兼任了清华大学和大连理工大学的兼职教授。

10) 李政道1962年入美国籍。杨振宁1964年入美国籍，2015年放弃了美国国籍恢复了中国国籍。

11) 杨振宁的此一工作为Yang C N. The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Model. Phys. Rev.，1952，85：808，他曾建议当时在美国留学的中国学者张承修研究长方形格子上的二维Ising模型，使得张得出关于临界指数普适性的概念。杨曾在天津南开大学的一次讲演中说：“在1951年我写出了伊辛模型的方晶格的磁化以后，过了一年我到西雅图华盛顿州立大学去访问，那里有个研究生，即张承修教授，现在武汉。我对他说，你也许可以把我年前的工作推广到一个长方型的晶格做同一计算，这个计算也很复杂，不过方晶格计算用过的方法都可以搬来，只是要改一改。这样他计算了几个月，把结果得出来，文章非常有意思的是，在他的文章的尾巴上加了一段话，指出在二维空间中方晶格和长方形晶格得出同一β值的结果，都是1/8，也许具有普适性，我相信这是历史上第一次在文章上有这样的观念”[3]。

12) 他们的这两篇文章为：Yang C N，Lee T D. Phys. Rev.，1952，87：404及Lee T D，Yang C N. Phys. Rev.，1952，87：410。注意第一篇和第二篇论文作者姓名排序是颠倒过来的。

13) 比如：施郁. 物理学之美：杨振宁的13项重要科学贡献. 物理，2014，43：57—62；葛墨林. 杨振宁先生的物理成就. 物理，2021，50：598—609；以及杨振宁本人就他研究统计物理体会的一篇谈话记录[3]。

14)马上庚(1940—1983)，浙江平阳县人，1940年生于重庆，其父为国民党中央日报社社长马星野，1949年随父去台，1958年留学美国，1966年获博士学位。后在加州大学圣地亚哥分校任教，1983年逝世，仅享年43岁。马上庚后来入了美国籍，成为华裔美国物理学家，此处所述的他的成就，主要是他还是中国人时取得的成绩。

15) 郝柏林(1934—2018)，河北正定人，中国科学院院士，理论物理学家，在凝聚态理论、统计物理学、非线性科学和理论生命科学方面有成就，曾任中国科学院理论物理所所长；于渌(1937— )，江苏镇江人，中国科学院院士，理论物理学家，在凝聚态理论方面有成就，曾任意大利国际理论物理中心凝聚态理论组负责人。

16) 文章产生的背景是：1971年林彪事件后，在周总理要求下召开了十年动乱期间唯一的一次全国科技会议，之后郝柏林得以应邀参加加拿大物理学会的年会，听取了M. Fisher有关重正化群和ε展开的邀请报告，回国后他和于渌认真钻研了Wilson关于重正化群的论文，经艰苦努力，与于渌一起采用场论中的骨架图方法算出了有关临界指数的高阶项。文章于1973年成文，1975年才在刚复刊的《物理学报》发表。

17) 郝柏林同志曾在一篇实名博客[5]中描述过有关历史：“年青的Luttinger曾写信给Onsager，想用他的方法求解三维问题，作为博士论文。Onsager回信说，用我的方法解决三维伊辛模型的可能性等于零。1950年代初，在一次国际会议上有人写出了三维问题的‘解’。一位统计物理学家立即从座位上跳起来说，那不可能是对的。同一时期有流言盛传，说一位年青的英国人解决了三维问题。直到Onsager专程去了一趟英国，传言才销声匿迹。那位年青人叫John Maddox。他在失望之余，放弃物理，改做科学记者，最终成功地担任了许多年《自然》杂志的主编。退休前后，英国女王赐封Sir头衔。1985年Maddox访问北京，笔者当面核对了这段历史。1978年曾经传闻，理论物理尖子之一，苏联的Polyakov解决了三维问题，但不久就烟消云散，Polyakov转去做量子引力。”十几年前英国的一个杂志上曾刊登了中国某学者解决三维Ising模型准确解的论文，但很快就被该领域专家M. Fisher和伍法岳指出其错误。

18) 可惜王先生的话没有书面记录，只留在一部分讨论班参加者的记忆中。

19) 陈春先(1934—2004)，四川成都人，理论物理学家，1959年从苏联莫斯科大学物理系毕业后到中国科学院物理研究所工作，他因在苏联时期即随从博戈留波夫院士研究超导理论和统计物理，在苏联著名物理刊物JETP上发表过研究论文，故回国后团结起一批青年物理学家，这批人中包括陈春先、陈式刚、霍裕平、郝柏林，他们在吃不饱肚子的1960年在物理所大楼顶上的电梯间旁边的小屋里讨论非平衡统计物理的基本问题，1961年，于渌从苏联回来，也进入了这个集体。到1966年“文化大革命”前夕，在国内固体理论和统计物理领域发表的文章数量中，陈春先有过“三分天下有其二”的乐观估计。国内物理界曾戏称他们是“陈春先学派”(据郝柏林回忆，这个名称是北京大学的赵凯华先生起的)。这个集体的成员，除了1980年就下海创办民营企业的陈春先外，都先后在不同单位当选为中国科学院院士。

20) 黄祖洽(1924—2014)，湖南长沙人。1944年入西南联合大学，1948年毕业，先师从钱三强学习核乳胶制作，后随彭桓武研究理论物理，1950年获清华大学硕士学位并入中国科学院近代物理研究所，相继从事中子输运、核反应堆理论以及原子弹和氢弹的预先研究和设计，在我国核武器研究中立有特殊功勋。1980年核武器研究任务完成后，转入教育战线，任北京师范大学教授，1980年被选为中国科学院学部委员。

21) 在氢弹预研时期，黄祖洽还撰写了《关于高温高压热核反应系统中的中子输运方程》、《关于中子在高温轻介质中的输运》、《高速运动介质中中子输运的新处理方法》、《中子输运对介质流体力学运动的影响》等一系列有关动理学理论的创造性论文[6]。

22) 周光召，湖南长沙人，1929年出生，理论物理学家，中国科学院院士，在量子场论和统计物理学研究中有重要成就，在我国核武器研究中立有大功，曾担任中国科学院理论物理研究所所长，中国科学院院长。苏肇冰，江苏苏州人，1937年出生，理论物理学家，中国科学院院士，在凝聚态理论方面有成就，曾担任中国科学院理论物理研究所所长。

23) 这篇综述文章长达131页：Zhou K C，Su Z B，Hao B L，Yu L. Equilibrium and Non-equilibrium formalisms made unified. Physics Reports，1985，118(1/2)：1—131。2000年，发布SCI统计的科学信息研究所(ISI)曾给这篇文章颁发了1981—1989年间的经典引文奖。

24) 在该书第七章7.5.7节讲述气体凝聚的统计力学历史时，提到了杨振宁和李政道关于格气模型的几个严格定理[7]，在该书第八章8.2.2节讲述布朗运动和克拉默斯(Kramers)方程历史时提到了王明贞与Uhlenbeck那篇有名的文章[8]。

参考文献

[1] 王明贞. 物理，2006，35(3)：174

[2] 应纯同，张存镇 译. 气体运动论——王承书论文选集. 北京：原子能出版社，1994

[3] 杨振宁 著，张奠宙 译 . 我对统计力学和多体问题的研究经验《杨振宁文集》(下). 上海：华东师范大学出版社，1998. pp. 654—666

[4] 于渌. 物理，2014，43：403

[5] 郝柏林. 伊辛(Ising)模型背后的故事. 2007年5月4日科学网实名博客

[6] 陈雁 . 惮思求火种，深情寄木铎——黄祖洽传 . 北京：中国科学技术出版社，上海交通大学出版社，2017. pp. 224—225

[7] Brown L M，Pais A，Pipard B 主编，刘寄星 主译 . 20 世纪物理学(第一卷).北京：科学出版社，2014，p.466

[8] Brown L M，Pais A，Pipard B 主编，刘寄星 主译 . 20 世纪物理学(第一卷).北京：科学出版社，2014，p.511

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