解释城市｜城市是“摊大饼”还是“长高”其实与分形有关

视觉中国 图

城市形态千变万化，城市中的特征变量丰富多彩。在这变化之中有什么样的共性特征和相似规律呢？分形，作为一种几何工具，为我们理解城市的这些普遍规律提供了一种崭新视角，也为城市规划者和景观设计者提供了一种新思路。 

一、我们生活在一个几维的城市中？

现在学界的普遍共识是，人类文明发迹于大江大河边，比如两河流域是苏美尔文明的发源地，尼罗河孕育了古埃及文明，黄河边诞生了华夏文明。而“文明”一词英文（Civilization)即来自拉丁文civis，意为城市及其公民。因此，城市与河流有着密不可分的关系，早期城市布局或者人口集聚的走向往往沿着河流形成一条线形。因此，早期的城市雏形很可能是一个近似一维空间的线形走向。随着人口规模的增大，人类的栖息地不断扩展，城市布局逐步扩展，形成了二维平面式的拓展。当然，二维平面城市的形态也可能是多种多样的，既有如北京城那样的“方形”，也有依河而建、傍水而拥的环形。随着人口密度的提高，城市逐步向高空发展。在中世纪时，欧洲的城市就开始呈现三维的特征了。在城市中，起初是教堂，办公楼等设施开始往高处延伸，后来，便是住房越来越高，现在的工业和农业也向高处发展。三维城市发展过程中，城市的天际线逐步被打破。比如，十九世纪末，巴黎埃菲尔铁塔（324米）最高，二十世纪初，纽约帝国大厦（449米）最高，二十世纪中后期，莫斯科电视塔（540米）最高，二十一世纪，上海中心（632米）、迪拜哈利法塔（828米）等全球领先。

人口规模是迫使城市维度提升的最核心动力，既能让城市“越摊越大”，也能让城市“越长越高”。在“越摊越大”的二维延伸与“越长越高”的三维拓展之间有个临界人口。2019年，奥地利的两位城市学者Carlos Molinero和Stefan Thurner通过分析一些国家的城市布局与人口规模的关系，发现10万人的规模是城市形态的分界点。在10万人以下的城市中，人口规模增大并不影响城市高度，也就是说，10万人以下的城市可以“越摊越大”，而10万人以上的城市，人口增加会显著提升城市高度，表现出“越长越高”。比如，人口从10万提高到100万，城市建筑物的平均高度也会从2.0米提高到2.5米。 

二、城市还有其他维度吗？

除了一维、二维和三维的城市，还会有其他的城市维度吗？有没有2.5维的城市或者1.5维的街道？在欧式几何中，显然没有，因为维度只能是整数的。但是在分形的世界中，城市的维度不是整数却是可能的。比如，图1中曲线就是分形的一个简单例子，叫做Koch曲线，一条普通的线段，在每个1/3处变成折线，经过4次迭代就变成了波浪形或者海岸线的形状。现在人们知道Koch曲线的维度大概是1.26左右。1967年，著名数学家MandelBrot面对这样酷似海岸线形状的曲线，提出了一个问题《英国的海岸线有多长？》，他通过严格的数学推导，发现因为分形的存在，测量海岸线长度是一个不可能完成的事情，他把文章寄给了著名的《科学》杂志，成为了分形领域划时代的一篇论文。

图1  Koch曲线，一个简单分形的例子（笔者绘制）

回到城市这个问题上，分形跟城市有什么关系呢？为什么城市中的有些维度却是非整数的呢？这都与分形的概念有关，分形，通俗地讲，就是一个系统的局部，通过放大后，能够还原系统本来的面貌，每一个局部都是整体的缩小版，具有这样的特征就是分形。在数学上或者分形领域，把分形的这种特征称为自相似性（Self-similarity）。例如，一片树叶的每个经络放大后就是一片树叶的原貌。城市内部及整个城市体系中有很多分形现象。比如，如果我们把一个区域放大，其组织架构与一个市差不多；如果我们把一个市放大，其组织架构与一个省差不多，每一级体系中都能在其上一级或者下一级找到对应，这就是最典型的分形系统。除了组织架构，城市的地理空间有时候也呈现分形的特征，比如，前面提到的城市海岸线、城市交通网络、城市的人口分布等都具有分形的特征。这些特征背后的局部与整体都存在一定程度的相似性。比如，有学者计算了美国城市群的道路分形维度，发现，基本在2-3之间，也有学者认为，城市中景观的分形维度在0.7到1.5之间。

到这里大家可能发现，分形中的维度与我们常常说的维度有一点不同。的确如此，平时我们所说的维度多指坐标系中正交轴的数量，而分形中的维度则是从局部到整体放大的快慢程度，一个具自相似性的系统，里面自相似的局部与整体尺度相差越大，维度越高。但是两个维度在拓扑学中却都能用来表现一个系统的复杂程度，维度越高的城市，复杂性也越高。 

三、城市的分形有何用？

1898年，英国社会活动家、城市学家埃比尼泽·霍华德规划的《明日的田园城市》（Garden Cities of Tomorrow）已经初见了城市分形的身影。2021年，上海市内五个新城建设也要求成为“独立综合性节点城市”也是城市分形特征的重要体现。分形在指导城市规划和建设方面具有重要意义，正如陈彦光教授指出的：“只有采用适当的方法有效描述一个（城市）系统，才能真正理解它的运行机理”。分形不仅提供了一种描述城市维度和复杂性的工具，也提供了一种理解城市运行机理的全新视角。在城市规划、城市资源配置以及城市对外联络方面发挥着越来越重要的作用。

图2  霍华德的明日的田园城市（来自《明日的田园城市》）

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“解释城市”专栏由上海发展战略研究所戴跃华博士主持，关注城市科学发展的前沿趋势，解释城市科学以及城市中人类行为动力学的一般特征和规律，探究利用前沿城市科学理论优化城市治理的路径和方法。