斜绕螺线管的磁场

原创 刘世鯤 张树甜 等 物理与工程

摘要

本文采用毕奥-萨伐尔定律，应用矢量叠加原理，推导了斜绕螺线管的磁场的理论公式。首先，对较小螺距的单匝斜绕线圈的磁场进行了定量计算，绘制了对应的磁感应线分布图像，得到类似于单匝理想圆形线圈的磁场分布，验证了推导的公式和数值计算的正确性。然后，定量计算了外接导线下的单匝和多匝斜绕螺线管的磁场分布情况，详细讨论了线圈匝数密度、密集斜绕螺线管长度对磁场分布的影响。结果发现，当匝数密度达到10 匝/mm 时，对于长度为 L=200mm 的螺线管，在 -0.3L ≤ z ≤ 0.3L 范围内，与螺线管中心处的磁场相比，幅值变化小于 4%，可看作均匀磁场。

关键词 磁场；毕奥-萨伐尔定律；斜绕螺线管

Abstract The magnetic field of an oblique winding solenoid is explored by using the Biot-Savart law and the principle of vector superposition. The quantitative numerical calculation is first performed for a single oblique winding coil having a small pitch and the corresponding magnetic induction lines are plotted, which is consistent with that of an ideal coil. Same calculations are carried out on the magnetic field of a single oblique winding coil and multi-turn coils with external lines. The influence of the number density of coils and the length of solenoid on the magnetic field are discussed in detail. Compared with the magnitude of magnetic field at center of solenoid with length L = 200mm, the variance of magnetic field at range of -0.3L ≤ z ≤ 0.3L is less than 4% which can be regarded as a uniform magnetic field, when the number density of coils is greater than 10mm-1. The results in this paper can improve the independent scientific research ability for undergraduate students and provide intuitive and clear teaching materials for theoretical and experimental teaching in college physics.

长直密绕螺线管的磁场是理工科本科生的重要教学内容之一，如程守洙版，张三慧版，马文蔚版，Jackson 版和 Halliday 版[1-5]。由于螺线管大量被用于各种电子设备中，其磁场分布一直是电磁学教学研究的一个热门问题[6-11]。但是，在实际电子元器件的应用过程中，有限长度是螺线管的一个重要特点，同时，缠绕线圈的螺距对磁场的影响是一个有必要讨论的问题。

在大学物理课程的教学中，介绍无限长直密绕螺线管的磁场时，通常是忽略线圈螺距的影响，将线圈假定为理想圆形密绕，基于不漏磁的假设将螺线管外部的磁场看作为零，再利用安培环路定理验证螺线管内部磁场均匀并求得磁场大小。对于求解有限长螺线管的磁场来说，在《大学物理》教科书中很少见到讨论，通常只给出了有限长斜绕螺线管的磁场分布示意图，未见有详细的理论推导和计算。由于螺线管边缘效应的存在，安培环路定理不再适用，利用毕奥-萨伐尔定律来计算各种有限长螺线管的磁场是常见的一种方法。文献[7]对单个环形电流的磁场进行了定量计算和可视化分析；文献[8]~文献[9]基于单个圆形电流的磁场，讨论了有限长密绕理想螺线管的磁场分布；最近，文献[10]对有限长螺线管线圈由稀疏到密绕情况给出了理论公式和数值计算求解，对于长度为 200mm 的螺线管，当线圈密度为 1000 匝/m 时，在轴向[-74mm，74mm]范围内，螺线管内磁场可看作是均匀磁场。文献[11]研究了有限长稀疏斜绕螺线管的磁场分布，发现在线圈螺距较小时，螺线管内部磁场可近似看作为均匀磁场。

考虑到大学物理课程的教学对象为低年级本科生，本文在前期工作的基础上，采用毕奥-萨伐尔定律和矢量叠加原理，首先推导了斜绕螺线管的磁场的理论公式。然后，对磁场进行了可视化研究。详细讨论了外接导线对单匝斜绕线圈的磁场的影响，并对不同匝数密度和长度的斜绕螺线管的磁场进行了讨论。

1 斜绕螺线管磁场的理论公式推导

图 1 为斜绕螺线管示意图，其中，螺线管半径为 a，长度为 L，螺线管轴线沿 z 轴放置，螺线管的中心与坐标原点 O 重合，粗实线为电流强度 I 的斜绕线圈，图中箭头表示电流方向，斜绕线圈的方程为 x =－a sinφ，y = a cosφ，z = bφ (螺距为 S = 2 πb )。利用毕奥-萨伐尔定律，可以得到电流元 I dl 在空间任意点 P ( x,y,z ) 的磁场为

其中，dl =－a cosφ dφi－a sinφ dφj + b dφk。电流元 I dl 到点 P 的位移 R = r－r′ = ( x + a sinφ ) i + ( y-－a cosφ ) j + ( z－bφ ) k，将 dl × R 矢量叉乘结果代入式(1)，积分可得到螺线管在点 P 的磁场 B，R 为位移矢量 R 的模。在直角坐标系三个分量分别为

对于实际的螺线管，螺线管端口处存在有外接直导线，如图 1 所示。应用矢量叠加原理，外接导线的磁场与螺线管的磁场相加即可求得总磁场。在本文计算中，螺线管半径为 a = 20mm，电流为 I = 1A。

2 斜绕螺线管的磁场

为验证公式(3)推导的正确性，我们定量计算了单匝斜绕载流导线圈的磁场，螺线管的螺距为 S = 1mm，如图 2(a) 所示。由于螺距相对导线圈直径较小，得到的磁场分布与文献[10]中的理想圆形导线圈类似。首先，磁感应线关于中轴线近似对称分布，在螺线管中轴线位置，磁感应线近似为一根自下而上的直线。其次，靠近螺线管导线位置的磁感应线密度比远离导线处位置的密度高，并且在导线附近的磁感应线为闭合曲线。

为进一步观察外接导线对实际斜绕螺线管的磁场的影响，我们计算了在外接导线长度为 250mm 情况下的磁场，如图 2(b) 所示。显然，外接导线对中轴线处的磁场影响较小，仍然是自下而上的磁场。但对于其他空间的磁场来说，虽然磁场仍然近似是左右对称分布，但是，在靠近斜绕导线附近，类似图 2(a) 中的封闭圆形的磁感应线消失，磁感应线向导线处收敛，呈现一种中间细两端粗的“腰鼓状”的分布。

图 3 给出的是不同匝数情况下的螺线管的磁场分布，其中，螺线管长度固定为 L=200mm，螺距与螺线管长度的关系为 S = L / N，N = 3、7 和 15。外接导线长度为 250mm。首先，当线圈匝数较少时，如图 3(a) 所示，N = 3，此时线圈螺距较大、匝数密度为稀疏情况，磁感应线在线圈之间呈现出了的周期性“波浪式”的扭曲状分布，尤其是在靠近螺线管管壁处，部分磁感应线甚至“溢出”了螺线管，出现漏磁现象。当线圈匝数增大时，如图 3(b) 所示，N = 7，即线圈数密度增加的情况下，螺线管中轴线附近磁感应线呈直线状分布，表明螺线管中轴线附近的磁场趋于均匀分布。在靠近螺线管管壁处，磁感应线分布于螺线管内侧，与图 3(a) 中对应地方的磁感应线相比，磁感应线起伏的幅度明显减小。当线圈匝数继续增加时，如图 3(c) 所示，N = 15，靠近螺线管壁处的磁感应线的起伏消失，螺线管内部的磁感应线趋于平行直线状。

图 4 给出了对应图 3 中三种匝数情况下两个轴向位置的磁场分布情况。由图 4(a) 可以看出，在螺线管内部，中轴线 ( 0，0，z ) 处的磁场分量 Bz 和螺线管的匝数无关，接近一个固定值。图 4(b) 给出的是磁场分量 Bz 在轴线 ( 0.5R，0，z ) 处的分布情况，当线圈匝数很小时，如 N = 3，磁场分量 Bz 出现了与匝数相等的峰值数；当线圈匝数增加时，如 N = 7，同样出现了 7 次峰值，但磁场的起伏明显减小；当线圈匝数继续增加时，如 N = 15，螺线管内的磁场分量 Bz 起伏继续减小，接近一个固定值，几乎和中轴线的磁场相等，这意味着螺线管内部磁场接近均匀磁场，与图 3 中磁场分布图相一致。

图 5 给出了对应图 3 中三种匝数情况下，z = 0 处平面内的磁场分量 Bz 在径向上随 x 的变化情况。从图 5 可以看出，当线圈匝数较少时，如 N = 3，Bz 呈单峰分布，峰值位于中轴线 x = 0 处；当线圈匝数增加时，如 N = 7 时，Bz 在中轴线附近形成一个平台，在 z 方向上形成均匀磁场；当线圈匝数继续增加时，如 N = 15 时，Bz 值相等的平台宽度继续增加，接近与螺线管的直径。而且，当 x > a 时，磁场迅速减小，接近于零，这说明螺线管内部磁场逐渐趋于均匀磁场，这与图 3 和图 4 中的结果相吻合。

根据上述的理论推导和数值计算可知，随着线圈匝数密度的增加，斜绕螺线管内部的磁场逐渐趋于均匀，为进一步研究长度对密集斜绕螺线管的磁场的影响，螺线管长度分别选为 L=10、80 和 200mm，半径固定为 a = 20mm，匝数密度为10 匝/mm，外接导线长度为 250mm，得到了如图 6 所示 y = 0 处平面内的磁场分布。由于斜绕线圈的密度足够大时，外接导线对螺线管的磁场的影响基本可以忽略，我们得到了与文献[10]中理想密绕螺线管类似的磁场分布图，螺线管内部和外部磁场的分布呈左右轴对称分布。如图 6(a) 所示，当螺线管长度为 L= 10mm 时，磁场的空间分布与图 2(a) 中的单匝斜绕线圈产生的磁场近似，此时外接导线对螺线管内部区域的磁场的影响减小，磁场关于中轴线对称。当螺线管长度逐渐增长时，如图 6(b) 所示，靠近螺线管内、外管壁处的磁场不再出现如图 3 中的波浪形分布，与理想螺线管产生的磁场的分布类似，磁感应线逐渐区域平行；当螺线管长度相对直径较大时，如图 6(c) 所示，L = 200mm，螺线管中心轴的磁感应线更加趋于平行，此时的密集斜绕螺线管与文献[10]中的理想密绕螺线管的磁场分布类似。

图 7 给出了对应图 6 中螺线管的磁场 Bz 在中轴线上的定量分布图。当螺线管长度为 L = 10mm 时，由于螺线管较短，导致整个磁场的分布出现类似单峰形状的分布；当螺线管长度为 L = 80mm 时，随着螺线管的长度的增长，中心轴线上的均匀磁场存在的区域逐渐展宽；当螺线管的长度为 L = 200mm 时，磁场幅值随 z 的变化如表 1 所示，其中，螺线管中心 z = 0 处的磁场幅值为 BO = 616.12Gs。从表 1 中可见，在 -0.3L ≤ z ≤0.3L 范围内，与螺线管中心处磁场相比，幅值变化小于 4%，螺线管内部的磁场可以近似看作为均匀磁场。

可以验证，当螺线管长度不断增大时，磁场将继续向螺线管内部分布而外部磁场减小，这与文献[10]报道的理想螺线管的磁场分布相吻合，此时密集斜绕螺线管内部的磁场可以近似为均匀磁场。

3 结语

本文利用毕奥-萨伐尔定律和矢量叠加原理推导了斜绕螺线管的磁场空间分布的理论公式，通过数值积分计算得到了不同匝数密度下的斜绕螺线管的磁场并对数值结果行了可视化研究。结果发现，在螺距较小的情况下，单匝螺线管与理想圆形线圈产生的磁场类似；当外接导线时，对单匝线圈的磁场的影响较大。但是，增加斜绕螺线管的匝数密度和螺线管的长度，外接导线对螺线管磁场的影响逐渐减小。当匝数密度达到 10 匝/mm 时，对于长度为 200mm 的螺线管，在 -0.3L ≤ z ≤ 0.3L 范围内，与螺线管中心处磁场相比，幅值变化小于 4%，磁场可视为均匀磁场。本文的研究结果可以为培养本科生独立的科研能力、拓展大学物理和大学物理实验教学提供直观清晰的素材。

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基金项目：国家自然科学基金（批准号:11574153），教育部高等学校物理学类专业教学指导委员会基金（JZW-21-JW-03）。

通讯作者：黄德财，男，南京理工大学副教授，主要从事计算物理和大学物理等物理教学科研工作，研究方向为颗粒物质、非线性物理和功能纳米材料，hdc@njust.edu.cn。

引文格式: 刘世鯤, 张树甜, 孙敏, 等. 斜绕螺线管的磁场[J]. 物理与工程, 2022, 32(6): 66-70.

Cite this article: LIU S K, ZHANG S T, SUN M, et al. Magnetic field of an oblique winding solenoid[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(6): 66-70. (in Chinese)

END

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