哥猜获证路非遥，说破人须失笑

编者按：数学证明是追求可靠来源的，判断一篇文章是否有可靠信息来源，须问良知，而良知就包括对公理的理解，如果证明命题成立的充分条件可追溯到能获公理支持，我们就说，此证明有可靠信息来源。相反被叫不醒的装睡者贴上“无可靠信息来源”的标签，恰恰是“无可靠信息来源”的表现。掩耳盗铃，用稻草人逻辑，来屏蔽真相，都是自欺欺人，杀鸡取卵的行为，用武大郎开店不想招募高个的心态，来理解世界，只能维护虚假的权威，终将失去有趣的世界。分辨到底谁在妄言科学，其实不难，就看谁在真诚解决问题谁在绝望消灭问题。比如一见有人在尝试证明未解猜想，就立马嘲笑说是科妄，理由是官科是不会干这事的，欧拉高斯希尔伯特干不成的事，你难道行！这就是典型的用绝望消灭问题的人，完全没有天下兴亡匹夫有责的心态。今推出一篇探讨哥猜证明的花絮文章以飨读者，欢迎提建设性意见，看看命题成立的充分条件是否可追溯到能获公理支持。

文/罗莫

1.哥德巴赫猜想的前世今生

每个大于4的偶数都可表示为两个素数之和，即p +q=2n（p、q为奇素数，n为大于2的正整数）。这就是著名的哥德巴赫猜想，简称哥猜“1+1”。作为数学界久未解决的大问题，应当相当深刻，大家对此陌生才是，而中国读者对它家喻户晓，只因徐迟的一篇报告文学。再加上此猜想谜底虽极难发现，谜面却极其简单，故为此而争吵的话题也就极多。

哥德巴赫

笔者思考哥猜问题多年，在学术杂志上已发表论文多篇，并收集在了笔者的论文专著《数学底层引擎相邻论和重合法》一书中，2019年末由深圳海天出版社出版发行。笔者认为，要彻底弄懂它，既要阅读专业的论文，也要阅读花絮介绍，本文便是有关哥猜证明的花絮介绍，有利于读者领悟证明。一旦领悟便可举一反三，解决很多相同的问题。但在理解领悟前，我们要做些相反的动作，即先反三再举一，需要大量列举些跟这一思想类似的事物。那我要列举的就是如何认知0和1，这个清楚了。奇偶关系的秘密就清晰了，质数合数之间的关系也就清晰了。接下来我们就先说说0和1。

 宇宙的精神力量来自序数，宇宙的物质存在来自基数。基数性质更多地体现在了几何中，序数性质更多地体现在了代数中。1是至简至繁的对象，也是至简至繁的原初。那0是什么呢？0者，囹也；0者，另也。中国古人认为，凡同音字，都有内在的关联意义。“零”的古字写作“霝”，始见于商代甲骨文，原义零碎细微，近代才引申为0。“另”是“有之外”的意思，是其它存在，并不是啥也没有。古中国与零意相同的是“无”，比古印度0，古阿拉伯0要早。把树枝扔火里的繁体無，繁体無好多树枝烧没了，变成“无”。从“有”变“无”事件，古人印象最深刻的，就是森林遇到了大火。故“无”就有“存在开始前”或“存在结束后”的意思，“无”和“0”是一种结界。针对局部已有，0它啥也不是，0是无法逃逸的“囹”，针对整体大有，0是能够逃逸的“另”，此时对象0可用另一种1作为度量单位来认知。

甲骨文“无”

数学史上的三次数学危机都是被迫对0进行重估。第一次不可公度危机。原以为线条上的点都可以用分数表达，分数之外的点都是0，不想横空冒出个就没法用b/a表示，a，b为整数，用归谬法很容易证明，如果是分数会导致2因子的个数奇偶无法区分，这是奇偶悖论，本质是有无悖论。第二次数学危机，争论微积分无穷小量到底有还是没有，结论是，静态无，动态有，其实就是争论如何理解“另”和“囹”，这是动静悖论，本质是有无悖论。第三次数学危机，争论罗素悖论，全集是不是全集中的一个子集，这是干支悖论，祖母悖论，说谎者悖论，其本质也是有无悖论。

欧拉

“另”之0作为其它有，并不是彻底没有；“囹”之0作为异于有，只能是啥也没有。0在微积分里可以做除数，选择了并不是彻底没有，0在微积分里被忽略掉，选择了是一种近似计算，极限就是选择了近似计算，是相对性啥也不是，并不是绝对性啥也不是。也就是说要承认微积分是近似计算，才能化解第二次数学危机。解决第一次数学危机，须引进新符号表达新对象，才能化解无理数不可公度危机。也就是说，执意要公度只能取近似计算。第三次数学危机的化解，也是需要引进新符号表达新对象，哥德尔证明有限的符号体系是无法表达另类新对象的，从这一点“囹之0”来说，哥德尔的证明没错。可是“另之0”的一面也就被封闭了。类比思维，近似计算，可刻画“另之0”的一面也就搁浅了，用无限开放的新符号完成精准表达更是被挤兑得无影无踪。

哥德尔

哥德尔虽然打开了一扇窗，无意中关闭了其它所有窗。包括“可开放理解公理体系”的这扇窗。哥德尔的不完备定理，选择了封闭理解公理体系，如果我们的公理体系是可递归生成新符号的，那么我们就可以用递归生成的新符号表达新对象。在罗素悖论中，通过定义新“同时”，理发师是可以一会儿给自己理发，一会儿不给自己理发，不在同时中完成相反命题就不会有悖论。这样虽然没有添加新公理，但我们可以通过高阶理解已有公理来升级已有公理，如此我们就可以实现用新符号表达新对象的意图。“彻底没有”是对0的一次认知选择，但不是唯一选择。数学要发展，就需要重估“0”，不仅可选择理解0为“彻底没有”（囹之0），还可选择理解0为“另一存在”（另之0）；不仅可选择理解“无”为“彻底荒芜”，还可选择理解“无”为“忽然觉悟”，即必有新意生成。

 把以上表达总结下，就是序数1和基数1，是表达已知世界的关键，另之0和囹之0是表达未知世界的关键。序数1是相邻论（万物有序）在已知世界中的显现，基数1是重合法（众生平等）在已知世界中的显现；另之0是相邻论在未知世界中的显现，囹之0是重合法在未知世界中的显现。以上虽不是证明猜想的文本语言，但明白这些数感思想，是可理解本文作者完成哥猜证明的密钥。我们只知道时间属于空间，却不知道空间也属于时间，属于一种先天时间，既有第四维的时间，也有第一维的时间，爱因斯坦的时空观，时间是第四维的，殊不知还有时间是第一维的时空观。以下就来回顾下哥德巴赫猜想的前世今生。

希尔伯特

 王元在南开大学的一次谈话中提到“1+1”与陈景润的“1+2”不是一回事。世界数学共同体尚未公开宣称过谁谁谁已完成证明了哥猜。但这并不等于世上真的就无人能证明哥猜了。非常幸运，笔者误打误撞叩开了哥德巴赫猜想的神秘大门。当然是否正确，就交给各位看官了。其实声称完成证明了一个猜想的人并不多，逻辑是可以自明的，因为反对逻辑还得使用逻辑，将一个错误的观点广而告之，丝毫没有意义。政治和经济发表虚假观点，尚可获利，数学证明作假则毫无用处，发表没有把握让人理解的东西，真是小概率事件。为了让更多人明白，得花时间和脑力去说服世界数学共同体充分理解哥猜证明，才能让数学发现具有社会意义。否则有识之士谁都不进行科普耕耘，哥猜获证的思想走进普罗大众的进程会非常漫长。

 数论是研究整数的学问，初等数论是纯数论，即算术数论，不要以为初等两字就比解析数论、代数数论以及几何数论浅显，它们都可以在各自的领地盖高楼，哥德巴赫猜想是纯数论问题，不是解析数论的直接领地，但不是说数学分析就不能在数论领域出活，欧拉开辟了解析数论，发现了很多精彩的数论思想。只是用代数数论、代数几何以及几何数论攻克哥猜，要比解析数论更能精准打击目标。从哪里跌倒就从哪里爬起来，才是最优化的选择。追溯哥猜原题可知它是算术数论，唯有从纯算术角度攻克哥猜才是成本最低的。 哥德巴赫，1690年出生于德国，后来定居俄国。他担任十几岁的沙皇彼得二世的家庭教师，后来担任俄国科学院院士，他与瑞士大数学家莱昂哈德﹒欧拉（1707——1783）交往甚密，两人不断相互提问和解答，许多重大问题就是两人在彼此“微信”中提出的。例如：整系数多项式的质数问题。二质数平方和的约数问题。而超级难题——哥德巴赫猜想，亦在其中。

 但也有人在早一个世纪的笛卡尔文集中发现证据，那时已有哥猜问题。只是数学界习惯于把哥德巴赫猜想的发现权归功于十八世纪德国的哥德巴赫。哥德巴赫只发现了相对较容易的三素数哥猜，二素数哥猜是欧拉在三素数哥猜的基础上发现的，而笛卡尔发现的哥猜，也是二素数哥猜。两个大数学家的数学发现都非常丰硕，用不着跟哥德巴赫抢功劳，况且该猜想确实是哥德巴赫独立发现的，欧拉的发现也是在哥德巴赫的三素数问题下诱发出来的，所以发现权归功于哥德巴赫不为过。 1742年，哥德巴赫向比他小17岁的欧拉写信，因为他考察了几十个偶数：6=3+3，8=5+3，10=5+5，100=47+53，……注意到，凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和。他问欧拉，是否所有的偶数都可以用这种形式表示？可是誉为“分析的化身”的大数学家欧拉被哥德巴赫的挑战挫败了。 

图灵

在当今计算机时代，这个猜想越来越著名，已经发现，100亿以内的偶数都是正确的。当然靠这样的暴力枚举是证明不了哥猜的。哥猜命题用方程表示即p+q=2n，它从左向右看，没有问题，所有的奇素数都是奇数，两个加起来当然都是偶数，问题是命题从右向左看，是不是每一偶数都可以分割成两个奇素数呢？一个一个枚举，符合要求，但要全部枚举完，显然不现实，它只能靠逻辑来解决。哥德巴赫猜想是对人的智力一种挑战，能否突破它是对人类自信心的考验。而哲学的匮乏是不利于从根本上解决该问题的，后文将提到，哥猜原来与阳明心学“心外无物”是同一个命题。哥德巴赫本人万万没有想到，他的问题让两百多年来的人类精英绞尽脑汁，索遍枯肠。多少代仁人志士惮精竭力的努力一次又一次地化为泡影。甚至有数学家愿意出卖灵魂来交换猜想获证。还有数学家说，假如500年后可以复活醒来，第一件最想问的问题就是，哥猜和黎曼假设解决没有。

哈代

哥德巴赫在1742年留下的千古难题，其实早在17世纪，“我思故我在”的笛卡尔就已思考过它，在18世纪，世上几乎所有的最伟大的数学家都试图证明过它，绝冠古今的德国数学家高斯玩味过它，数学之神瑞士的欧拉更是深刻地打捞过它，在法国执牛耳的拉格朗日和天才的勒让德，都是一愁莫展，束手无策。斗移星转，在整个19世纪中，爱因斯坦相对论中的数学基础的创始人德国的黎曼，集合论创立者康托尔及狄利克雷，法国的阿达马（证明素数定理），刘维尔（证明超越数的存在），也思考无果，想必伽罗瓦也琢磨过，俄国的切比雪夫，维拉格拉朵夫……一代又一代天之骄子败下阵来，人困马乏，哥德巴赫猜想仍然固如磐石，谁也奈何不得。想用自然数去次第映射素数的思想，几乎是所有数学家的想法，偏偏此路不通。

 在进入20世纪之初的1900年，德国万能的数学大师希尔伯特在巴黎召开的国际数学家大会上，提出了著名的23个尚未解决的世界难题交给了新世纪的科学家，把哥德巴赫猜想列入了第8个问题之中。由于问题的困难性，人们普遍表示悲观，德国的数学家朗道1912年认为，这是现代数学所不能企及的。其实那时的凯莱已发明线性代数，希尔伯特已将内积的思想阐释非常深刻，诺特已将抽象代数延伸到到了数学各个领域，攻克哥猜的数学工具已然成熟，只是大家没有朝“那个”方向去想，没有获得原来如此的真相。

 1920年，挪威数学家V.布朗采用逐渐靠近的方法，把哥德巴赫猜想中的两个素数改为合数，成为“不超过n个素数的乘积”，他自己首先证明了“9+9”，注意，这里的“9”不是固定的9，而是从1到9，可以是1，2，3，…，9。但不超过9，称之为“殆素数”，意思是很像素数。后来的数学沿着这样的思路，取得了一系列的进展，但距离真正拿下哥猜相距甚远。

山东大学校长潘承洞曾证明了”1+4”。中科院院士王元曾证明了“2+3”。 1966年陈景润证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和（简称“1+2”。此事被国际数学界注意后，也引起了毛泽东主席和一批中央领导的重视。使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果被誉为“陈景润定理”。这项工作还使陈景润与王元（中国科学院数学研究所长，院士），潘承洞（山东大学校长，院士）在1982年共同以“哥德巴赫猜想”的名义，获得国家自然科学一等奖。 1996年3月19日13时，陈景润院士因为帕金森氏病抢救无效离开了人世，中央政府，社会团体及新闻媒体给予了他极高的评价，几乎所有报刊和电台都进行了报道，中央领导人和人民群众自发地送了花圈，以悼念这位科学界的楷模，青年知识分子心目中的偶像。1977年作家徐迟的一篇报告文学《哥德巴赫猜想》引起了轰动，该文为迎来中国科学的春天吹响了号角，当时遭文革重创大量被打趴下的知识份子开始起身站立。很多人有哥猜情结就发轫于该文。学好数理化，走遍天下都不怕，开始在社会上流行。

陈景润1933年5月22日出生于福建省福州市，1953年毕业于厦门大学数学系，由于他对塔利问题的一个结果作了改进，受到了华罗庚教授的重视，被调到了中国科学院数学研究所工作。先担任实习研究员，助理研究员，再提升研究员。后当选为中国科学院数理学部委员“院士”。60年代，他对筛法及其有关重要问题进行研究。

陈景润

但陈景润从未声称自己证明了“1+1”，而是证明了“1+2”，是哥猜的一个弱猜想，也没有说弱猜想距离真正的哥德巴赫猜想仅有一步之遥，因为不是同一级别的问题，没有找到阶梯和度量单位，描述远近毫无意义。陈景润自认为，用他目前的工具破解不了哥猜，骑自行车上不了月亮，可见弱哥猜与哥猜原题不是一步之遥的问题。仅看文艺作品了解学术问题的人推波助澜，解读不准，误以为哥猜已获破解或接近破解。这完全不是陈景润想要窃取荣誉，而是舆论强加于他的。 陈景润定理的“1+2”结果，通俗地说是指：对于任给一个大偶数，那么总可以找到奇素数p1和奇素数p2或两素数构成的奇合数p2·p3，使得下列等式成立：n=p1+p2·p3（合数中的两因子或可仅取一个）。

 陈景润定理在数论中依然是很有意义的，不象某些人所批评的那样，中国数学界在搞偶像造假。英国的数学家哈代和李特尔伍德将命题从另一角度进行简化，将偶数n表示成若干个素数之和，n=p1+p2+p3+......+pn，从1930年到1976年把80万个素数逼近到6个素数。作出努力的有苏联，德国，意大利，美国和中国的科学家，但这并不是哥德巴赫猜想，因为素数个数只有是2时才是哥德巴赫猜想。但也不是劳而无功，以此可以窥探到一些素数性质，有利于找到新的思路。事实上，从加项数逼近比从因子数逼近要有意义得多。哥猜问题的本质是加性数论，所有的高级运算都是从初级运算出发的，因此高级运算的特征，都浓缩在加法运算中，数学家每次对加法有新的认知，数学发展就会向前迈进一大步。 

黎曼

2. 哥德巴赫猜想的完美证明

凡事知其然，就一定能知其所以然。像这样的哥猜悬案，探索了几百年而无果的，只有费马猜想有的一拼，它们均出自十七至十八世纪的法国。哥猜之所以名气大，一是题面简单，小学生都能看懂，二是关心过它的数学家多，十八世纪以来几乎一流的数学家都思考过它，三是问题根本，它跟很多命题相关，哥猜若解决，一大堆丢潘图问题就都能迎刃而解了。

 可是名气大，是把双刃剑，即吸引了数学家去关心它，但也把一些高端数学人士吓走了。有些数学教授就公开说，若有数学爱好者向我提交哥猜这样的论文，我是不会看的，别的论文我会接过来审读。为何会有这样的消极态度呢？因为碰到的大都是把命题变弱的哥猜论文，如陈景润的1+2，自称把哥猜原题拿下的很少。数学家都不想耽误时间，于是就分成了两大派，一是，知其难而退的人，会谢绝审读这样的论文，自己也不会花时间去研究；二是，知其难而想解决问题的人，因为自己没解决，故常会轻视同行的研究，尤其是社会地位不及自己的，更是不屑一顾，有这样的稿件过来都会弃之纸篓。这是正常的选择，避开做小概率事件，跟学术道德无关。这个是有先例的，连柯西和高斯这样的数学大成就者，一样把伽罗瓦能开创现代数学的群论文章，看也不看就当垃圾处理。因此哥猜名气大，并没有催生出金蛋来。

 好的数学思想，要走科普的道路，我们寄希望于好学的数学工作者，有朝一日能看懂，寻找大咖认可极其困难。假如伽罗瓦的文章不是被好友发在三流的刊物上，刘维尔就无法发现到它，现代数学的产生就要推迟百年。佩雷尔曼当年证明庞加莱猜想的论文也是发在预印本上，然后才被数学共同体接受的，也都是第一时间不能找到同行权威认可，不得不走曲折传播的道路。有意思的是数学发现者几乎都不约而同地选择了，顺其自然的科普方式，先让有缘人去阅读它，说不定哪天就能让数学大家看见。即便数学大咖没看见，有同行看懂就行。因此去中心化的思想是伟大的，它能让新生事物有一席之地，并能获得包容性成长。如今哥猜证明出来了，但仅在小范围内科普。

 本文作者通过化约偶数分割方程，经数乘逆运算或叉乘逆运算得到不可约整系数多项式方程，可知奇数互素解集是偶数分割方程的本原解；经点乘逆运算得到无合数整系数多项式方程，可知素数基础解系是偶数分割方程的简单本原解。由于可表偶数的定义表达就是简单本原解，故与可表偶数互补关系的例外偶数就一定是空集，从而证明了二元加法运算在可表偶数上封闭。由于此引理获证，可多米诺骨牌式地解决哥德巴赫猜想、斋藤猜想、孪生素数猜想、波利尼亚克猜想、莫德尔猜想、费马猜想、比尔猜想、abc猜想、奥波曼猜想和黎曼猜想等难题。

 如何将证明可以向大众讲清楚呢？这么说吧，只要数学史学到希尔伯特那就可以理解哥猜证明了，哥猜是希尔伯特向新世纪的数学家提出的23个数学难题中的第八个问题，其实用希尔伯特的数学思想就足以证明哥猜。真是解铃还须系铃人啊。希尔伯特要是能醒来看到哥猜证明，会扑哧一笑的，原来数学家一直在骑驴找驴呢！希尔伯特的内积思想太伟大了，后文将用此思想解决哥猜。

 所有的两奇素数相加都可以得到偶数，这个没问题，所有不小于8的偶数都能分割成两个不同的奇素数，这个就不好说，万一有一例外呢？好吧，那就假设有例外偶数是不能用两不同奇素数成功分割的。现在好了，所有不小于8的偶数就分成了两大部分，一是能够用两不同奇素数相加之和（或相减之差）表达的偶数，叫可表偶数，另一就是不能如此表达的，叫例外偶数。它们的并集是不小于8的全集偶数（先只讨论加法可表偶数，减法亦同，后文省略）。而小于8的偶数我们单个讨论，6可以3+3获得，但非不同的奇素数，4可以2+2获得，也非不同的奇素数，且还是偶素数，2可以1+1获得，但1即不是素数也不是合数。所以我们仅从8开始讨论所有偶数。

 各位看官，注意到没有，咱不是避重就轻改头换面去证明哥猜弱猜想，然后由农村包围城市。咱是反过来，避轻就重，打不赢连长，就挑战营长，打不赢营长，就挑战团长。欧拉型的哥猜不好证明，咱就去证明比欧拉型哥猜更根本的问题。而互素型哥猜，就比欧拉型哥猜根本得多，欧拉型哥猜对两素数是否相同，不限制，互素型哥猜必须两素数是不一样的，显然难度加大了，互素型哥猜成立，欧拉型哥猜就成立，但欧拉型哥猜成立，互素型哥猜未必成立。就像1+1与1+2一样不是一回事，但1+1成立，1+2就成立，反之则推不出。本文证明，是直奔互素型哥猜而去的。

 所有不小于8的偶数都可以至少用一对不同的奇素数之和表示，这就好比用偶数表示人类的这一代所有成员，那么每个人类成员都可以找到自己相匹配的上一代用奇素数表示的一对父母，当然还可以找到更多的养父养父。每个不小于8的偶数都有一对共轭差最小且不为0的奇素数对，这就好比人类成员都有对应的上一代父母。证明哥猜，就相当于证明人类每个成员都有一对父母，即单亲繁殖和多亲繁殖是不存在的。如果真有单亲繁殖，一定是隐性包含了血缘双亲，如果真有多亲繁殖，一定是隐性包含了养父养母和双亲，即无父无母的生命是找不到的，证明哥猜就是证明这个思想，就是证明例外偶数是空集，即所有不小于8的偶数都是可表偶数。

 证明例外偶数是空集的思想，就是证明心外无物，就是证明没有父母就没有人类，就是证明没有内涵就没有外延。凡价值对象经区块链保证都能成为比特币，这一点没问题，是不是所有的比特币都是由区块链点对点生成的呢？哥猜就是要证明，脱离区块链点对点生成的比特币是不存在的。凡有价值的对象皆有底层映射。你想不效忠底层映射都不行，因为机器信用会帮助你效忠。没有点对点私密支持的合约是不存在的。

 用数学语言表达就是，“二元加法运算在可表偶数上封闭”。该命题可用偶数分割方程的素数基础解系和通解之间的内积运算获得证明。尤其是可表偶数和例外偶数与素数基础解系之间存在着一荣俱荣一损俱损的紧密关联。可表偶数与例外偶数的互补定义，决定了例外偶数无素数基础解系，例外偶数的通解也就成了空集。而可表偶数就责无旁贷地囊括了全集偶数的通解，从而证明了可表偶数的数乘封闭，即二元加法运算在可表偶数上不存在数域扩张和数域缩减。

 该引理获证，可解决哥德巴赫猜想、斋藤猜想、孪生素数猜想、波利尼亚克猜想、莫德尔猜想、比尔猜想、abc猜想、奥波曼猜想和黎曼猜想等难题。现证明如下：

 2.1.把任意整数分割为两个不同整数的三元方程化约为互素方程.

 所有大于3的等量连接都可以用不等量连接来优化构造。等量连接和不等量连接之间的转换关系是理解万物的枢纽。

 于是就有了素数的定义：除1和自身外不能被其它整数整除的数叫素数。虽有循环定义之嫌，但还是刻画了素数的本质。这里补充另一个更精准的定义：除用1外不能用其它整数等量分割的数叫素数。可以不等量分割的数未必是素数，素数是仅能不等量分割的数，除用1外。前者用乘法的逆运算定义，后者用加法的逆运算定义。有了对素数的更深理解，我们再来考察整数。本文的运算对象，除特别说明外，皆在整数范围内。

 有人认为哥猜表达式很怪异，素数是用来乘的，不是用来加的，而素数的新定义是加法定义的，原来素数性质也体现在加法功能中。素数是不等量分解的产物，也是不等量分割的产物。这个思想是找到素数之矿的挖掘机，有了这个思想的灵光一现，于是就产生了整数的不等量分割方程，这直接导致了哥猜的破解。

 可见如何对事物下定义对成功解决问题是多么重要。本文不是证明哥猜的学术论文，相关学术论文已发表在《深圳基础理论原创文集》（数学物理卷）（海天出版社2017年5月出版）以及其它学术杂志和预印本上。本文不是干货，是水货，允许啰哩啰唆地表达，只求读者最后能理解。带点情感表达，读者更容易明白，阅读完美的干货不容易看懂，因为辅助线都被作者完工后涂掉了，其实读者更喜欢那些不“过河拆桥”的作者，好知道每个环节的来源。而某些引理已看懂的读者自然会选择跳读。好了，现开始进入正题。

 对整数c进行不等量二元分割，便产生了较大的a与较小的b,于是有了三元方程a+b=c，分割后有四种组合，偶+偶=偶，奇+偶=奇，奇+奇=偶，偶+奇=奇，化约该方程，得到奇+奇=偶，或奇+偶=奇，移项得到奇-奇=偶，即两类情形，其中三元互素。故整数分割方程的通解就是两互素的奇数之和等于2n，或两互素的奇数之差等于2n。两个方程都能得到偶数通解和奇数通解。于是讨论偶数分割就解决了整数分割。

 也就是说，可用非1的等量分割所有的2n。若n是偶数，针对两个n通过减1加1或加减其它数，即可完成对2n的不等量分割，其中n大于3；若n是奇数，针对两个n通过减2加2或加减其它数，即可完成对2n的不等量分割，其中n大于3.总之，每个不小于8的偶数都可以用两个不同的互素奇数分割。

 以下是三元方程2n的通解表达：

p1^a1p2^a2p3^a3......pi^ai k+ q1^b1q2^b2q3^b3......qi^bik=2n（当非互素时有共因子k，2n为不小于8的全体偶数，p为素数，a为正整数）。

然后会得到三元方程2n的本原解表达：

 ap+bq=2n（即方程两边进行数乘逆运算或叉乘逆运算把上式变为不可约多项式方程，就是将整系数多项式方程约掉公因子或公因式）。

 （其中p、q为互素的奇素数，a、b为互素的自然数，n为＞3的全部自然数）

每次令第一项与2n互素，必三元互素，否则有分数，这与差值必有整数解矛盾。

故2n的分割方程其本原解全集就是本原解方程中的2n项自身，与原方程右边2n的全部解集一样，未发生数域扩张或数域缩减。

 因n与2n之间定有大于n的新素数（伯特兰定理），故每个偶数都可以分割为两个互素的奇数项相加。

 每次2n减去该新素数p所得到的奇数差值bp必与该新奇素数互素。因为新素数p与2n互素，就必与差值互素。新素数p为何会与2n互素，因为奇素数p大于n，所以2p大于2n，即p乘以任何整数也不能等于2n，故2n会与p互素。2n-p=bq，2n必与bq互素。

 总之，每一个偶数都能成功地分割为两个互素奇数之和或两个互素奇数之差。保证了原分割方程2n的本原解解集也是偶数全集。即ap+bq=2n或ap-bq=2n，其中p、q属于所有奇素数，n属于大于3的所有自然数，a、b属于所有自然数，a=1，p＞bq时，大于等于8的每个偶数2n至少各有一组互素奇数的分割解。

 本原解方程的表达虽没有唯一性，但表达本原解的全集方程具有唯一性。重要的话，不怕再啰嗦一句：不小于8的全体偶数都可以分割成互素的奇数之和。这是偶数分割方程的本原解方程，也就是说，偶数分割方程的通解方程与偶数分割方程的本原解方程，存在着一一对应的关系，偶数的通解表达式可以线性映射到偶数的本原解表达式上。

 得到这个结论是非常重要的，虽然这个结论用陈景润定理也可以推理出来，但仅在充分大的前提下推得，不像本文推得的结论，是在不小于8的偶数范围里成立的，因此本文推理得到的结论更强。这意味着每个偶数都可以分割成互素的两部分，踏上了最后能分割成两互素的奇素数之和的道路。不等量分割是从加性的角度寻找素数的方法，这个思想非常重要。

不难证明它们是同构映射关系。

 因为偶数的通解表达式映射到偶数上是同态的，偶数映射到偶数的本原解表达式上也是同态的，故偶数的通解表达式映射到偶数的本原解表达式上也是同态的。（传递性法则）

另外，偶数的本原解表达映射到偶数上是同态的，偶数映射到偶数的通解表达式上也是同态的，故偶数的本原解表达式映射到偶数的通解表达式上也是同态的。（传递性法则）

故偶数通解和偶数本原解之间是同构关系，是一荣俱荣一损俱损的。这就意味着找不到本原解就找不到通解，找不到通解就找不到相应的本原解。

 2.2.再把全集偶数2n分割得到的本原解方程化约为简单本原解方程.

 由于本原解三元方程，大家都比较熟悉，上文没有对本原解三元方程的定义加以说明，这里补充说明下，整系数三元互素的方程就是本原解三元方程，而有公因子或公因式的整系数三元方程就是通解三元方程。2.1证明了，三元通解方程与三元本原解方程是同构表达不小于8的全体偶数的。

 接下来，我们来定义两个新概念，就是简单本原解三元方程和最简本原解三元方程。先定义下简单本原解整系数三元方程，偶数的简单本原解表达式是由原来的偶数本原解表达式而来，在本原解表达式的基础上，方程左边二元多项式各元仅保留一个奇素数，方程右边单项式偶数变为可表偶数（即例外偶数是可表偶数关于不小于8的全集偶数上的补集），也就是奇素数与奇素数加减得到可表偶数的方程，叫偶数的简单本原解三元方程。再说说最简本原解三元方程，偶数的最简本原解表达式是由偶数的简单本原解表达式而来，在简单本原解表达式的基础上，方程左边二元多项式继续分解化约，最后各元仅保留一个奇素数，方程右边单项式偶数由原来的可表偶数变为仅有一个奇素数因子一个偶素数因子的可表偶数，也就是奇素数与奇素数加减得到奇素数的2倍，叫偶数的最简本原解三元方程。

 由ap-bq=2cm=2n或ap+bq=2cm=2n 可知，三元方程增广向量（p、-q，-2m）或（p、q，-2m）与向量（a，b，c）T是一对正交基，（a，b，c）T为线性无关组。故增广向量（p、-q，-2m）或（p、q，-2m）为线性相关组（其中a，b，c为所有正整数）。也可以说，2n可由素数向量组（p、-q）或（p、q）线性表示。一对正交基有可能都是线性相关的，有可能都是线性无关的，也有可能一个线性相关，一个线性无关。但2n分割方程在素数基础解系的内积分解中，向量（a，b，c）T都是正数，肯定是线性无关的，向量（p、-q，-2m）或（p、q，-2m）有正有负，且奇数加奇数是一定会等于偶数的，故存在线性相关。素数基础解系向量组（p、-q）或（p、q）是线性无关的，但素数基础解系增广向量组是线性相关的。只有基础解系增广向量组是线性相关的，才可做原方程的简单本原解方程，而基础解系的增广向量组未必都线性相关，如向量（p、-q，-2），除非p、q的奇素数域可包含单位素数1，仅限于特殊偶数4、6可用单位素数1来进行不等量分割表示，其中唯有特殊偶数2，无法完成不等量分割。

 还已知，用两素数相加所得到的偶数定义为广义可表偶数。如，2+2=4，3+3=6，3+5=8等，其中4，6，8就是广义可表偶数。这里的2为偶素数，3+3为相同的奇素数相加，以上两例皆属非互素二元相加，而3+5=8才是互素的二元相加。我们把两个不同的奇素数相加所得到的偶数，定义为狭义可表偶数，表达式是：

 p-q=2m或p+q=2m（∀奇素数p、q，且p≠q，∃正整数m≥4）；这里所说的可表偶数，一般特指两素数相加或相减所得到的可表偶数。从p-q=2m或p+q=2m可知，2m数乘c可还原等于2n，即2n的通解是2m被c数乘，2m是本原解方程、也是原方程的素数基础解系，其中p、q为奇素数，即用两素数分割可表偶数的方程就是大于6的所有偶数2n的简单本原解方程。

 由于可表偶数的定义就是可用两互素的奇素数之和或之差表示的偶数，故p-q=2m或p+q=2m就是可表偶数方程，不能用该两奇素数之和形式表达的偶数，叫例外偶数。

 也就是说，系数向量（a，b）T为（1，1）T时，可表偶数方程p-q=2m或p+q=2m就是通解方程ap-bq=2n或p+q=2m的素数基础解系方程；同样，原偶数分割方程ap-bq=2n或ap+bq=2n就是素数基础解系方程p+q=2m的通解方程。2n向量存在由素数向量组线性表示，是素数向量组的线性组合，正整数向量（a、b）为组合系数。

 为何不小于8的全集偶数一定有素数基础解系方程，即素数基础解系的增广向量线性组是线性相关的，因为奇素数加奇素素一定是偶数，该偶数至少是全集偶数的子集，而根据算术基本定理，偶数的本原解子集经数乘可还原得到不小于8的偶数全集，故一定存在素数基础解系方程。从偶数全集到偶数的子集，从偶数子集到偶数全集，在偶数分割方程中简化和还原互为逆运算。

 此时系数向量为（1，1）T，它就是2n的简单本原解方程。分量2n/c（可被c整除时）或2nc即2m可由素数基础解系向量（p、-q）或（p、q）的两个分量之差或之和表示，这就是关于2n分割方程的简单本原解定义。可见有通解就一定有本原解，有本原解就一定有简单本原解。那例外偶数作为偶数的一种，也必然存在简单本原解，即2m’c或2m’/c理应可由素数基础解系向量（p、-q）或（p、q）的两个分量之差或之和表示，同时2m’c∈2m’，2m’/c∈2m’，是例外偶数范畴中的简单本原解。

 表达偶数简单本原解（即素数基础解系）的三元方程没有唯一性，表达偶数简单本原解的三元全集方程具有唯一性；表达偶数通解的三元方程没有唯一性，表达偶数通解的三元全集方程具有唯一性。其简单本原解三元方程规定，左边两项为奇素数，右边一项为可表偶数。

根据可表偶数的定义可知，偶数分割方程的本原解方程，即所有奇素数两两互素相加所得的和2m，就是可表偶数方程。2m’为不同于可表偶数的例外偶数，那2m就是偶数2n分割方程的简单本原解。 2m’根据定义则不是。

 重要的话，不怕再啰嗦，特此声明：不小于8的全集偶数都有且必有简单本原解，经线性映射而得到。

 2.3.例外偶数2m’不存在最简本原解，无互素对之和可表2倍素数.

 根据全集偶数是一定有简单本原解的判定，可知2m’也一定存在2m’/c=p±q或2m’c=p±q，如此这般的简单本原解，其中2m’c或2m’/c必须属于2m’，因为作为任意偶数2n除以c或乘以c后得到2m是一定有简单本原解的，但2m’作为非可表偶数，没有简单本原解，其除以c或乘以c后所得到的2m’的子集也就肯定没有简单本原解。因为通解是简单本原解的充分条件，是单同态的，简单本原解是通解的必要条件,是满同态的，两者是单满射的同构关系。例外偶数作为通解没有本原解是可表偶数，也没有简单本原解是可表偶数。例外偶数的定义是，偶数中的非可表偶数，叫例外偶数，2n=2m∪2m’，2m∩2m’= Ø。思考可表偶数与例外偶数是解决哥猜问题的关键。

 其中可表偶数方程就是全集偶数方程的简单本原解方程，它的简单本原解就是素数基础解系，刻画全部偶数的奇数一般解集是原方程通解。经过数乘逆运算或叉乘逆运算化约后得到不可约多项式方程，刻画全部偶数的奇数互素解集是本原解解集；经过点积逆运算化约后得到无合数多项式方程，刻画全部偶数的素数基础解系是简单本原解解集。

 可表偶数关联定理：偶数通解解集确定的三元方程有且仅有相应数乘线性映射而确定的偶数简单本原解解集.

 莫小看这个命题，它可得到很多惊悚的结果。这个命题的证明是这样的，在三元方程a-b=c或a+b=c中，a＜b＜c，不论c是奇数还是偶数，必存在a≠b，因a=b时就会合并为非三元方程，况且前文还证明了凡等量分割皆有不等量分割的等价形式。既然c有不等量分割的通解，经化约后a、b必有不同的素因子，而有不同的素因子，就相应地有互素的本原解解集，即a-b=c或a+b=c等价于kx-ky=kz或kx+ky=kz，其中x、y、z三元互素，k为正整数，x-y=z或x-y=z就是a-b=c或a-b=c的唯一本原解方程。有本原解解集就必有简单本原解解集，因为方程每一项的合数都含素因子。于是定理“一个有通解的三元整系数方程必有简单本原解解集”就得到了证明，它的逆命题也成立，因为整数分割方程是左右同构的，化约后的本原解方程也是左右同构的，其简单本原解方程即可表偶数方程也是左右同构的，故有唯一简单本原解解集就有唯一本原解解集，有唯一简单本原解解集就有唯一通解解集。可见本原解方程与简单本原解方程是同构命题。

 进一步可知，有简单本原解解集就必有最简本原解解集，两类方程也是同构命题。因为素数基础解系的增广项可通过内积逆运算提取出奇素数因子，直到仅剩下一个奇素数因子，即素数基础解系的2w增广向量组就是最简本原解解集。于是我们得到一个推论，即可表偶数关联定理：“通解解集确定的三元整系数方程有且仅有相应数乘确定的最简本原解解集”。

 整数分割方程各项都有素因子就可进行点积逆运算，得到一组含素数基础解系增广向量的正交基，当该增广向量含一个负偶数分量时，必线性相关，就能得到素数基础解系方程，而素数基础解系为最大线性无关。即 x-y=z或 x+y=z等价于rp-sq=t2w或rp+sq=t2w，其中p、q、w三元互素，r、s、t为正整数，且p、q皆为所有奇素数，2m为可表偶数，即里头的偶数可以二元分割出所有的奇素数，p-q=2m或p+q=2m就是x-y=z或x+y=z的简单本原解方程。当m仅为奇素数w时，存在p-q=2w或p+q=2w就是x-y=z或x+y=z的最简本原解方程。（p,-q）也叫原偶数分割方程的素数基础解系。有了最简本原解方程，就可以反过来探知可表偶数的更多性质。

 因为根据算术基本定理，通解必是各元最简本原解的数乘组合以及内积组合，或者说是叉乘或点乘的组合，叉乘包含纯量数乘，由于乘法须满足交换律和结合律，故数乘、叉乘和点乘仅在各组相乘素因子定义域的交集范围里才成立，比如说最简本原解中w范围里不允许有的素数，数乘t中也不能含有。在最简本原解方程的基础上通过点乘就可得到简单本原解方程，即可表偶数方程。

 通过可表偶数方程p-q=2m或p+q=2m的定义可知左边包含所有的奇素数，右边是否全部包含所有奇素数因子，还暂时无法判定，从左到右的素数域还只知是同态关系。简单本原解方程的更多性质是通过最简本原解方程的性质来获悉的。

 从最简本原解方程可得到，素数基础解系2倍的素数增广项，继而推论出，素数基础解系方程p-q=2w或p+q=2w中，w一定包含了所有的奇素数。

 我们已经证得所有偶数集2n定能可穷分类为可表偶数与可表偶数的数乘两部分，因为偶数分割方程右边偶数部分的简单本原解解集2m≠｛2，4，6，2n+1｝，所以简单本原解2m无论乘以多少非1的自然数都无法获得2w。而根据简单本原解的推理结论2n=2cm，除非2m的数乘2cm，其中c为单位素数1时，2w是2n的子集；c取非1时2w不存在，故2w∈2m，w就一定包含了所有的奇素数因子和偶素数因子以及单位素数因子,否则2n就不能囊括所有偶数，由此证明了所有的2w都不是靠2m与非1数乘所获得的数。这就证明了可表偶数方程p-q=2m或p+q=2m（p、q为奇素数，m大于3）中的左右奇素数因子域不仅是单同态关系，还是同构关系，因为可表偶数2m中2p囊括了所有的奇素数因子。由此我们知道简单本原解方程中的各元数乘和点乘值域可取奇素数因子全集以及偶素数2来获取通解。这一结论很重要，因为方程的化约和还原运算都是在交换律和结合律的前提下进行的，如果无法判断方程左右的素因子域，通解与最简本原解之间通过系数的解集变换就无法进行下去。

 无最简本原解，即无素数基础解系2w增广向量组（p、-q、-2w）或（p、q、-2w），也就无简单本原解2m增广向量组（p、-q、-2m）或（p、q、-2m）和本原解z增广向量组（x、-y、-z）或（x、y、-z），也就无通解c增广向量组（a、-b、-c）或（a、b、-c）。可见素数基础解系是偶数分割方程获得全部通解的必要条件。定理“偶数通解解集确定的三元整系数方程有且仅有相应线性映射确定的偶数最简本原解解集”获证。

 2.4.例外偶数2m’的简单本原解解集是空集，其通解解集也是空集.

 有了以上概念，就可以理解以下关键证明了。既然例外偶数2m’是自定义选择了怎么也没有简单本原解，它通过内积逆运算也就无法获得唯一最简本原解，即形如方程p+q=2w或p-q=2w的解集，就是最简本原解，其中p、q、w皆为奇素数全集,它的数乘也就自然没有简单本原解，即形如可表偶数定义方程p+q=2m或p-q=2m的解集,就是简单本原解，其中三元皆含奇素数因子全集。例外偶数的最简本原解、简单本原解以及本原解也就依次不存在。既然例外偶数的本原解不存在，那么例外偶数的通解也就不存在。而一旦有解，就会与例外偶数的定义发生矛盾。既然例外偶数2m’没有简单本原解，2m’≠ p-q，或者2m’≠ p+q，那么例外偶数的原分割方程也就没任何解。因为原方程所有解都是简单本原解（素数基础解系）的数乘或内积，最简本原解是空集，它的数乘或内积也必是空集，例外偶数的通解必是空集。

 由于以上是重要证明，不妨反复解读，用多种理解表达下。凡不小于8的全集偶数，根据算术基本定理都有唯一表达的素因子积，而可用两奇素数之和表示的可表偶数一定是全集偶数的子集（含假子集），因此可表偶数的数乘就能获得不小于8的全集偶数（由于乘法满足交换律和结合律，故须确定可表偶数的素因子域才可进行相应的数乘，否则会带来主观扩域。反过来从全集偶数约掉数乘纯量得到可表偶数则容易判定出纯量素因子值域，因为全集偶数显然含所有素因子）。

 由于2.3已证，两奇素数相加所得到的和包含所有的素因子，故数乘的纯量值域可以是所有自然数，在可表偶数所允许的素数域中添加素因子就足以还原得到全集偶数，于是可表偶数的数乘与不小于8的全集偶数是同构的。而根据例外偶数的定义，它不在可表偶数中，又须在全集偶数中，而全集偶数除了可表偶数，就是可表偶数的数乘，那例外偶数就在可表偶数的数乘中。

 由于例外偶数在可表偶数中是空集，例外偶数只能通过空集的数乘而获得同构映射，于是例外偶数的子集数乘无论如何都还是空集，而不小于8的所有偶数都是可以通过可表偶数的子集数乘获得偶数全集的（不是所有的子集数乘都能得到全集偶数的）。例外偶数也须如此，例外偶数要想获得该类型全集偶数，除了用相应的可表偶数该类型子集进行数乘，别无选择，而例外偶数在可表偶数中仅为空集，空集的数乘还是空集，故可表偶数与不小于8的全集偶数同构。

 因p+q-2m=0(p、q为所有的奇素数，2m为可表偶数，m大于3）；且ap+qb-2mc=0（p、q为所有的奇素数，2m为可表偶数，a、b为含所有奇素数因子的奇数、c为含所有素数的整数，m大于3（以上两组的证明，见上文2.1至2.4）。故，素数向量组（p，q，-2m）与系数向量组（a、b、c）是偶数分割方程的一对正交基，也就是说多项式函数f（p,q,2m）=p+q-2m通过向量组（a、b、c）线性映射到多项式函数f（p,q,2m）=ap+qb-2mc必有0点解。

所以，可表偶数是一定能够通过数乘获得不小于8的全集偶数的。而可表偶数的数乘2mc除可表偶数2m外，所剩数乘部分则为例外偶数。根据定义，由于例外偶数在可表偶数上是空集，故其数乘部分仍是空集。故可表偶数的数乘皆为可表偶数。因例外偶数也是偶数中的一种，也应可分成两类偶数，一类为可表偶数，一类为可表偶数的数乘。所以如果有例外偶数，则一定能在可表偶数的数乘中获取，如果没有则例外偶数只能为空集。可见例外偶数是因为没有简单本原解而导致没有通解的。

 偶数的简单本原解方程表达虽没有唯一性，但表达简单本原解的全集方程具有唯一性。重要的话，不怕再啰嗦一句：不小于8的可表偶数都可以分割成互素的奇素数之和或之差。这是偶数分割方程中的简单本原解方程，也就是说，偶数分割方程的通解方程与偶数分割方程的简单本原解方程，存在着一一对应的关系，偶数的通解表达式可以线性映射到偶数的简单本原解表达式上。

 不难证明通解和简单本原解之间是同构映射关系(用算术基本定理证明或用可表偶数关联定理证明)。

 因为偶数的通解表达式线性映射到偶数本原解表达式上是同态的，偶数本原解表达式线性映射到可表偶数的数乘上也是同态的，可表偶数的数乘线性映射到所有2倍奇素数的数乘上也是同态的，2倍奇素数的数乘线性映射到偶数的简单本原解表达式上也是同态的，故偶数的通解表达式线性映射到偶数的简单本原解表达式上也是同态的（传递性法则）。

 另外，偶数的简单本原解表达线性映射到可表偶数上是同态的，可表偶数线性映射到可表偶数的数乘上是同态的（由于例外偶数是可表偶数的数乘子集，根据例外偶数的定义，它在可表偶数上是空集，故它在可表偶数的数乘上也就一定是空集），可表偶数的数乘线性映射到偶数上是同态的，偶数线性映射到偶数的通解表达式上也是同态的，故偶数的简单本原解表达式线性映射到偶数的通解表达式上也是同态的（传递性法则）。

 故偶数通解和偶数简单本原解之间是同构关系，是一荣俱荣一损俱损的。这就意味着找不到简单本原解就找不到通解，找不到通解就找不到相应的简单本原解。

 如果例外偶数2m’没有简单本原解，2m≠p-q，或者2m≠p+q，根据定理“经数乘和内积变换，通解解集确定的三元整系数方程有且仅有相应确定的简单本原解解集”，那么例外偶数的原方程也就没任何解。例外偶数横竖是空集，根据定义，p+q=2m或p-q=2m为可表偶数，可得同构等式2n =2m∪2m’=2m∪Ø，故2n =2m。于是可证2n=p-q或2n=p+q为左右同构等式，其中n＞3，m＞3、p、q互素且为所有奇素数。于是哥德巴赫猜想和斋藤猜想获证。

 把以上证明的步骤换一种描述就是：

 不小于8的全集偶数皆可分割为一对互素的奇素数之和（偶数分割本原解三元方程）。故不小于8的全集偶数就一定有最简本原解三元方程。因为本原解方程三元互素，在满足结合律和交换律的前提下，方程右边偶数项必有含所有奇素数域的一个素因子，方程左边的两奇数项也必各含所有奇素数域的一个素因子，所以必有素数基础解系方程p+q=2w（p、q、w为任意奇素数）。如果w不为任意奇素数，2w的数乘亦无法还原得到不小于8的全集偶数，因为在偶数最简本原解不小于8的基础上，任意数乘都会得到多个素因子数或多个2因子数，这样通项就会有无数偶数漏项，矛盾，故p+q=2w是全集偶数分割可得到的最简本原解三元方程，三元一定各含所有奇素数因子域，也就必有匹配的正交基增广线性组与之线性相关，可还原得到偶数分割本原解三元方程。

 我们定义含所有奇素数域的两个不同奇素数相加所得到的全部偶数为可表偶数2m，显然2w为可表偶数的子集，于是m就含所有素数因子域，包括偶素数。可表偶数2m是2w的数乘得到的，它是例外偶数2m'关于全集偶数的补集。根据例外偶数2m'的定义，它是不能用两奇素数之和表达的偶数。故它不含2w，所以有关它的数乘就是空集。

 既然所有的偶数及各种类型偶数都必有最简本原解2w,不小于8的全集偶数及各种类型偶数由最简本原解偶数2w或2w的数乘无漏构成，也可以说，由可表偶数2m或可表偶数2m的数乘无漏构成。所有的偶数都必须能这样分割和分类，类型偶数是从最简本原解上分类的，例外偶数也概莫能外。可是例外偶数根据此规则，由于在可表偶数上是空集，在最简本原解上也必是空集，只能是空集的数乘还是空集。因为例外偶数是空集，所以可表偶数就等价于不小于8的全集偶数。于是互素型哥猜就获证，补上特例，欧拉型哥猜也就获证。如果用两奇素数之差定义可表偶数，一样成立，于是斋藤猜想获证。

 除了可表偶数的数乘封闭外，其实还可以从另一角度即可表偶数的二元加法封闭，以此来证明例外偶数是空集。

 在可表偶数加可表偶数的本原解方程a+b=c中，无穷素数因子项进行三元分配，根据鸽笼原理，必有一因子项，在持续新增素数，可设置在a、b某一项中，根据本原解方程互素关系，c中的素数因子就不可能大于a、b中的较大素数因子，而方程每次a中的最大素因子皆小于b和c中的最大素因子。把较大素数因子设置在c中也一样。

 由于a、b囊括了所有的奇素数因子（前文已证），我们可合理构造b解集为持续新增素数的连续素因子项Πpi（i=1到n），且从p1到pn的素数因子都每次密集无漏到场，a解集则不需要，那么a、c的素数因子就在pi（i<k）内，a是c-Πpi所得到的数，又因为b、c每次若互素则互域，b、c解集之间若互域则同素，三元之间从生成元上看，没交互同域过一回，必有一方解集始终没有同域，所以c就没法获得素数pi（i≥1）因子。另外，c-Πpi、Πpi本原解无法互素，也就是a、b无法互素。即

Πpi（i=1到n）+p（i+1） = c（其中的素因子除2外皆大于p（i+1））；

与可表偶数互域的c中例外偶数根据定义可知非本原解，也非最简本原解，故构造它的素因子必与左边的素因子值首先互域，而最简本原解方程每次互域时都不会产生公共素因子，故累计与密集递增的素因子项也不会有公共素因子，满足传递性无限互素。

 c中例外偶数的本原解若真存在的话，减去Πpi是一定有互素的差值解的，但一次互素解都没有。c中例外偶数的素因子要么总被b中的连续素因子所囊括，这与本原解方程性质矛盾，要么与可表偶数中的所有素因子完全重合，没有例外性，故解集a、b与解集c若互域则同素是假命题。把新增素数设置在c中也一样，同理可证明，c-Πpi 、Πpi 无法互素，也就是a、b无法互素。a中的素因子在b中的连续素因子中，且a、b不能获得所有的奇素数。这与条件要求矛盾，故左右互域时，c为素数因子空集。

 故方程若左右互域则左右互素是真命题。这就导致了例外偶数是空集，哥猜得证。

例外偶数是可表偶数的补集，通常理解为彼此独立，其反直觉的是，它还必须是可表偶数的数乘，它还必须满足可表偶数的二元加法运算，正是因为在这一点上有主和次的紧密牵扯，不等量分割才给万物之间留下了秩序关联。

 另外，笔者还通过其它角度对哥德巴赫猜想完成了更精准的证明。

“三元方程互异解集基底互素”命题：在三元方程中存在同构型、同态型、互素型三类解集关系。

“同构型”三元方程解集基底互素定理（1）：在 a+b=c 的本原解三元方程中，如果a解集与b解集互异但素因子同构（非素因子全集），那么第二对a与c和第三对b与c解集互异必基底互素。

“同态型”三元方程解集基底互素定理（2）：在 a+b=c 的本原解三元方程中，如果a解集与b解集素因子同态，且第二对a与c解集同态，则第三对b与c解集互异必基底互素。

“互素型”三元方程解集基底互素定理（3）：在 a+b=c 的本原解三元方程中，如果a与b解集彼此有不共素因子，且b与a解集彼此有不共素因子，那么第三对b与c解集互异必基底互素或因子同构。

通过以上分析，可严格地得到哥猜证明。根据三元方程解集性质，可判定(Uai,Uci)非基底互素的假设是不真的。故c中增添新素因子是每个a和b的基底素因子补元不断筛查所剩的交集。根据定义，2m与c是互异集，方程两边约掉2，{m}∩{c/2}=Ø）。在此前提下，就会导出偶数分割方程的一个重要性质。2m+2=c，2m为可表偶数，见后文定义并证明可表偶数蕴含所有素因子。这里预告下证明思路，再完成一个可表偶数蕴含所有素因子的引理证明，哥猜即获证（详细证明见学术论文）。

 3.哥德巴赫猜想的延伸意义

 数学的魅力在于它能给人带来思想的自由。数学的本质是自由，这是康托尔说的话。假如一个问题的解决不能带来一系列同类问题的解决，我们就不会为一个孤证而搜肠刮肚；假如一个问题的解决丝毫不能引起人类的审美愉悦，我们就不会继续探索；假如这个问题对我们探索未知世界毫无帮助，我们就会认为它没有价值；假如这件事情不能唤醒良知和志向以及希望，就无法验证。假如这件事情不能给个人幸福追求带来能量，就不值得依靠。数学的无用，只因它超级有用，如果是真的无用，早已弃之如敝履。

 如果一个猜想仅仅是个会下金蛋的母鸡，专刺激数学新工具的产生，本身命题没有多大意义，那么这个猜想也不会有多大的挑战性。好的数学猜想，一定是一个通往新领域的桥梁，只有把猜想变成了定理了，才能畅通无阻地进入新领域开拓。哥猜问题的解决可以多米诺骨牌式地解决一大堆丢潘图数论问题。

 哥猜获证绝非孤证，尤其是互素型哥猜，它可证明系列数论猜想.因为偶数的相邻差值为2，故可得到斋藤猜想的推论：(p1-p3)-(p4-p2)=2有匹配的无穷组。我们还可以证明存在无穷组素数其间隔差为定值2w，用反证法来证明。如果间隔差可列的每类素数对都是有限组的，那么差值2,差值4，差值6，……差值2k的素数对将在某个定值后不再出现，这就意味着充分大后继素数将分布在无穷大之外，也就是说超大素数是不存在的，这同欧几里德已证明素数有无穷个相矛盾。故“间隔差可列的每类素数对都是有限组的”这个命题是不真的，因此必有差值为某一定值的素数对是拥有无限组的，这个定值可取2w。

 根据2n=p-q的推论，必有(p1-p3)-(p4-p2)=2（从相邻偶数关系推理而来），现已知(p1-p3)=2w拥有无穷组，那么与之匹配的间隔差值的差值等于2的素数对(p4-p2)就一定也拥有无穷组，否则就不能产生无穷无漏的后继偶数。由此可得(p4-p2)=2w-2也必有无穷组，将这个运算迭代运行下去，必将得到(p4-p2)=2有无穷组。于是孪生素数猜想获证。以上也同时证明了2n中所有定值2w作为素数间隔的素数对都各有无穷组，而这正是波利尼亚克猜想。

 即根据斋藤猜想获证，孪生素数猜想和波利尼亚克猜想皆相应成立。当然它还可以证明更多的数论猜想，作者将另文阐述。比如随着哥德巴赫猜想、斋藤猜想，孪生素数猜想、波利尼亚克猜想的破解，abc猜想会迎刃而解，黎曼假设也就找到了可以解结的线头。而黎曼假设则有上千个推论等着黎曼假设成立而成立，否则会全部垮塌。可见哥猜成立的意义有多么重要。

 还记得核函数核空间吗？对，就是那个支持向量机，它可是人工智能里最重要的底层数学思想，多项式的线性变换，都可以找到单值量的数乘来对应表示，核函数还没有将数学的底层思想讲透，而深入到素数基础解系中的哥猜，可以进一步将核函数的秘密挖掘得更深，将为人工智能探索到更深刻的数学基础。本文证明的关键是，在偶数不等量分割方程中，三元方程的通解和简单本原解之间存在着同构映射关联。而例外偶数根据定义，不存在简单本原解，故例外偶数方程的通解解集为空集。因为凡偶数皆能不等量二元分割，而最后定有以素数基础解系为解集的简单本原解，简单本原解为空集，则通解就为空集，例外偶数为空集的秘密原来在此。

 哥德巴赫猜想发现了一个趋于简洁的优美世界，是通往最优化选择的桥梁，人们持久地爱好它，是因为如果没有这种简单，人们就会丧失对更深刻问题的信念——因为复杂是来自对简单的有序理解。假如哥德巴赫猜想是错误的，它将限制我们的观察能力。使我们难以跨越一些问题并无法欣赏。一个问题把它无序的一面强加给我们的内心生活，就会使我们的感受趋向丑陋，引起自卑和伤感。如果复杂世界不能连接简单，人类的孤独就会变成绝望。

 素数具有一种神秘的气质，素数给人们一种永不妥协的自我超越色彩，有一种神圣不可侵犯的孤独和高贵。当哥德巴赫猜想变成定理，我们可以看到上帝的大智大慧，上天的巧妙安排，乘法是加法的重叠，而哥德巴赫猜想却用加法将乘性概括。在这隐晦的命题之中有着深奥的知识。它改变了人们对数的看法：原来加法也可以筛选素数，它找到了大数分解和大数分割殊途同归的路径，乘法的轮郭凭直观就可以从加法那里一目了然。哥德巴赫猜想体现了一种探索机能，加法和乘法都是数量的堆积，但乘法是对加法的平等性延伸，加法对乘性的控制却体现了两种不同的要求，那是一种次地性延伸。前者通过感受空间可以理解，后者则要求领悟时间而获得灵感。它似乎同人性和哲学以及宗教更近些。

 激动人心的东西总是出人意料的，它即是直觉的，又是反直觉的。常识以为偶数的范围更广，两奇素数相加的范围窄，事实上，两奇素数相加所能获得的数的区分性远远不是偶数所能比拟的。哥猜的世界能让我们一次又一次地吃惊。

 据数感反应特别敏锐的人描述，素数在直觉冥想中光感强烈，被称之为是君子数，是整数中的贵族。有一种质数禅，就以17年这一质数周期来选择繁殖年，据说这样可以躲过天敌。素数充满了玄妙，它能把复杂的事物说得简单明了，也能把简单明了的事物变得复杂。前者靠直觉和洞察，后者靠联想和推理。素数是性感的，是妩媚的女王，素数是刚强的，是振臂一呼的将军。对哥德巴赫猜想的探究是因为它直接涉及到素数的性质，对素数本质的认识是因为这个意义深远，尤其是互素性的哥德巴赫猜想，远比欧拉型的哥德巴赫猜想深刻的多，素数的2倍都可以用素数自己加自己获得，模糊了通过偶数挖掘素数的线索，而互素型哥猜，显然难度加大，然而它的用处极大，它为寻找后继素数提供了可能。就目前来说，基本能将新增素数控制在三级后继素数的范围里，素数构造方程对寻找新增素数将会越来越有效。素数是涉及它物的（其他命题的），超越自身的，向外传递的，有超越自我的意义，是一种持续不断的命题产生的源泉。由此推出哥德巴赫猜想的更深远意义。以往的数学家，研究一个数学对象，喜欢先研究有关它的普遍公式，然后才能确定该对象的数学位置。

 而完成哥猜的证明，是一个分水岭，因为素数这个具有生命灵性的对象，同以往的所有的数学对象都不同，它不可能用有限的多项式完成一劳永逸的表达，于是它就不可能有相应的普遍通项公式；但不能因为此，人类就不能用思想捕捉到它的本质。素数构造方程仍然是存在的，它是一个可持续的迭代递归函数，通过它我们可以捕捉到后继素数。用普遍通项公式抓住事物本质的数学时代已经过去了，用持续迭代递归公式抓住事物本质的数学时代来临。普世性让位传世性的哲学思想将开始冲撞我们的认知。最后感慨之余赋诗一首：“数星数月数尽沙，思古思今思念它。哥猜确已被破解，不信可去问欧拉”。

                                                                                  2017.1.18 于深圳原稿

                                                                                  2023.6.12 于深圳修改