哥德尔与数学自然主义

转自：丽泽哲学苑

在当代哲学中，“自然主义”是一个被广泛使用的标签。这不仅是说，它的身影遍及哲学的各个领域，如心灵哲学、科学哲学、形而上学、道德哲学等；更重要的是说，它经常被用来指称众多不同甚至对立的观点。在本文所关心的数学哲学领域中，自然主义的名目下汇聚了形形色色的本体论立场，既有实在论，也有反实在论，还有主张取消本体论问题的折中主义观点。甚至连哥德尔这样的极端柏拉图主义数学哲学家，也被与自然主义联系起来。比如，当代自然主义的著名代表之一麦蒂（P. Maddy）就明确承认，哥德尔是其自然主义思想的一个重要来源。不仅如此，更有学者指出，数学哲学中的自然主义立场大都过强，因而不应被称为“自然主义”，比较合理的是一种极弱版本的自然主义，在后一种意义上，哥德尔也可以被称为自然主义者。

库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）

哥德尔被认为是“亚里士多德以来最伟大的逻辑学家”，他对数学之本质的思考理应受到重视。另一方面，自然主义是20世纪60、70年代以来哲学界的一种主流思潮。因此，澄清哥德尔与自然主义之间的关系是一件很有意义的工作。也许更有意义的是，通过这样的澄清，我们也能够拨云见日，更好地理解数学哲学中的自然主义在表面同一性之下的差异。这些就是本文的目的。

具体来说，本文试图论证，尽管最终的数学哲学观点可能南辕北辙，数学哲学领域中的自然主义者确实都遵从一种基本的自然主义原则，即哲学自然化原则，但哥德尔无法接受这一原则。在另一方面，某些自然主义者试图推广自然主义，从这种推广的意义来说，哥德尔或许可以在一定程度上被称为自然主义者，但深入的分析表明，这种衍生的自然主义实际上与自然主义的含义相冲突，它有一个更恰当的称呼，即“哲学忝列末位（philosophy-last-if-at-all）原则”。

一

几乎可以说，当代所有的哲学自然主义者都将自己的自然主义追溯到蒯因。在数学哲学领域中，情况更是如此，这包括伯吉斯（J. P. Burgess）、麦蒂（P. Maddy）、菲尔德（H. Field）、千原（C. S. Chihara）和叶峰等。因此，要追究自然主义的基本含义，就必须回到蒯因对它的经典界定。

蒯因这样刻画他的自然主义：“摒弃第一哲学……承认是在科学本身中，而不是在某种在先的哲学中，实在被辨认和描述。”这里所谓的第一哲学是指自笛卡尔以来的一个强大传统，在该传统下，常识和科学的认识方法被认为在一种深刻的意义上是不可靠的，它需要一种更严格、更坚实的基础，而科学方法自身是不能提供这种基础的，我们必须寻求一种超科学的、第一哲学的方法。笛卡尔的“普遍怀疑”和“我思故我在”构成这个传统的开端，而斯宾诺莎和莱布尼茨的理性主义、康德和胡塞尔的先验哲学，甚至维也纳学派的逻辑实证主义和卡尔纳普的语言框架理论，都是这个传统的延续。蒯因认为，我们应当摒弃这个传统，承认科学方法就是我们认识这个世界的最好方法，它虽然是“可错的和可修正的，但却不接受任何超科学法庭的审判，也不需要超出观察和假设-演绎方法以外的任何证成”。蒯因的这一主张经常被解读成所谓的“科学自主性论题”，即科学不需要、也不应该接受超出科学方法以外的任何批评或证成。这个解读本身虽没什么大错，但它容易给人造成一种印象，即自然主义只是一种狭隘、消极的禁令，它禁止人们对科学进行哲学的批评或证成。而实际上，蒯因自然主义思想的真正重点是，科学不仅在方法论上是自主的，而且正是在科学中，“实在被辨认和描述”。换句话来说，科学绝不仅是人们用来组织、预测经验和应对自然的工具，它首先是对实在事物的描述，是我们的世界理论，能够为我们提供世界观。正是在这个意义上，蒯因断定哲学是与科学相连续的事业，它们都是对实在的追问，在方法上也没有本质的区别。由此，蒯因提出了哲学自然化的要求，认为哲学家应当信任现代科学的方法和成果，到科学那里去寻找他们以往以第一哲学的方式所讨论的问题的答案，比如本体论问题和认识论问题的答案。

具体到数学哲学的问题，蒯因（以及普特南）认为，既然在科学理论中，我们不可避免地要指称集合、函数等数学对象，我们就应当接受它们的存在，就像接受苹果和电子等物理对象的存在一样。不能仅仅因为数学对象看起来与普通物理对象颇为不同，甚至有点古怪，就拒斥它们，这种双重标准的做法违背自然主义的精神，是对科学的一种不诚实态度。

蒯因从自然主义走向数学实在论的这一论证，就是著名的不可或缺性论证。它影响巨大，甚至在一定程度上主导了20世纪70年代之后的数学哲学。但应该说，蒯因之后的大部分自然主义者都对这个论证有异议。他们或者试图证明数学对象在科学中并不是不可或缺的，或者拒斥该论证隐含的另外两个前提（之一或全部），即蒯因的本体论承诺标准和确证整体论。这些人中有一些是数学反实在论的明确支持者，如菲尔德、千原和叶峰。他们接受蒯因自然主义的基本原则，即认可科学的世界观地位，主张在现代科学提供的世界图景下思考哲学问题。但他们认为，根据现代科学对世界的描述，像数学对象这种超时空、非因果的抽象对象理应被排除在我们的本体论之外。

自然主义反实在论者的这种想法肇始于贝纳塞拉夫（P. Benacerraf）。后者首先以明确、尖锐的形式指出了数学柏拉图主义必然面临的一个难题，即解释生活在时空和因果关系中的人类如何能够认识抽象的数学对象。在自然主义的视野下看，这个难题尤其突出。因为，根据现代科学的描述，人类这种动物是地球上物质演化的一个自然结果；人类认知主体无非就是人类的大脑（以及身体），它是由亿万神经细胞构成的一个复杂的物理-化学系统；人类认知过程是人类大脑（以及身体）与环境互动的一个物理过程。如是观之，作为人类大脑与环境互动的一个结果，数学知识如何可能是关于抽象对象的客观真理？关于抽象对象的认识论问题似乎令人绝望。

蒯因自己曾明确地谈到，自然主义要求认识论的自然化，把认识论当作“心理学的一章”：

自然主义并不拒斥认识论，而是把它融入经验心理学。科学本身告诉我们，我们关于世界的信息限于我们体表所受的刺激，而认识论问题就变成了这样一个科学内部的问题：我们人类这种动物是如何从这样有限的信息出发，最终达到科学的？我们的科学的认识论学家追求这种探究……进化和自然选择毫无疑问会在该说明中扮演一定的角色，并且如果他发现有需要，他也会毫不犹豫地使用物理学。

同时，蒯因又是数学实在论者，他似乎从未认为抽象对象会对自然化的认识论构成挑战。主要的原因或许在于，他主张一种关于科学确证的整体论。根据后者，数学（至少在经验科学中得到应用的那部分）和经验科学作为一个整体得到观察经验的确证，数学对象和电子之类的理论物理对象具有相似的认识论地位。整体论就像是一个魔法，似乎能够轻易地回避认识论难题。蒯因之后的很多自然主义者都对确证整体论提出了批评，考虑到本文的篇幅和目的，在这里我不展开讨论。不过，在第三节，我会简短地回到这个问题，指出整体论对认识论问题的回避是一个幻象。

以上我们勾勒了蒯因自然主义的基本思想，以及从这种自然主义出发来解释数学时的两条截然不同的道路。其中一条注重数学在经验科学中的可应用性，力图将数学对象解释成经验科学的理论实体；另一条则强调经验科学所描绘的人类认知图景，由此质疑数学是否能够提供关于抽象对象的知识，并力图为数学提供一种反实在论的说明。它们都接受哲学自然化的原则，倡导站在现代科学提供的世界图景中思考哲学问题，这是哲学自然主义的基本含义。

现在我们回到一开始提出的问题：哥德尔能接受如上意义的自然主义吗？答案似乎明显是否定的。作为一位在逻辑、数学和物理学等领域都做出过杰出贡献的智者，哥德尔当然不敌视一般意义上的科学，但对科学的友好态度远远不足以使得他接受哲学自然化的纲领。事实上，众所周知，哥德尔怀有一些与现代科学的世界图景格格不入的深沉信念，例如对上帝和独立于大脑的心灵的信念。在哥德尔看来，无论是科学的现有认识成果还是它的方法，在本质上都是有缺陷的、不完备的，它们遗漏了实在的重要方面。对于应该如何做哲学，他更倾向于莱布尼茨、康德和胡塞尔等人所代表的那种反自然主义道路，追求一种“发自于科学之外的”而非自然化的哲学。

哥德尔既不会接受自然主义的含义，更不会接受上面所提到的那两条数学自然化道路中的任何一条。反实在论道路自不必说，像蒯因那样将数学吸收、同化于经验科学的做法同样不会博得哥德尔的同情。在哥德尔看来，数学对经验科学拥有独立性和（至少是）平等的地位。如果说，在经验科学中“实在被辨认和描述”，那么在数学中情况应该也是如此。事实上，在为数学柏拉图主义做辩护时，除了对各种反实在论进行反驳，哥德尔主要强调的正面理由概括说来就是数学对象对令人满意的数学系统的必要性，它与物理对象对令人满意的物理理论的必要性如出一辙。在这个意义上，哥德尔假定数学对象和假定物理对象“同等合法”，认为“有完全同样多的理由相信它们的存在”。

这里出现了一个有趣的问题：哥德尔与蒯因的一个重要分歧是，蒯因所说的“科学”指的是经验科学，甚至主要就是指自然科学，而在哥德尔那里，数学天然地就是一门科学。自然主义要求信任、尊重科学，如果科学包括了数学，如同人们通常会认为的那样，那么是不是就可以说，哥德尔是比蒯因更彻底的自然主义者？或者，这至少暗示了哥德尔可以与自然主义相联系的一面？下面，我们就来探究这一问题。

二

哥德尔数学哲学的一个显著特征是对数学实践本身的强调。一方面，哥德尔经常援引数学实践中表现出的一些特征或结果为他的哲学立场辩护，如公理和初等数学的显明性、非直谓定义、不完全性定理以及集合论中与连续统问题有关的实践；另一方面，哥德尔一再申说他的柏拉图主义立场对自己的数学工作的重要性。

哥德尔对数学实践的这种尊重与蒯因形成鲜明对比。正如我们在上一节看到的，在蒯因那里，数学完全依附于经验科学，只是作为对感觉经验的解释而具有意义，数学命题的真理性最终依赖于感觉经验的证成。蒯因的这种做法完全忽视了数学实践的实情，比如我们在数学中所感受到的那种明证性。与哥德尔的思想相对照，蒯因数学哲学的缺陷异常明显。

基于此，蒯因之后有不少自然主义者开始强调数学的自主性，并试图紧扣自然主义的基本原则本身来为这种强调做辩护。其中一个代表性的例子是伯吉斯的彻底自然主义思想。根据这种思想，像蒯因那样将数学排斥在科学部落之外，这种做法意味着“不公正的划分……贬低某些科学部门（数学的），赋予另一些（经验的）部门以特权”。蒯因的不可或缺性论证“对唯名论做出了一个重大的让步，认为只有原则上的（而非实践上的）不可或缺性，并且是关于经验科学（而非数学）的不可或缺性，才能拒斥唯名论”。这种让步实际上是一种妥协，表现出蒯因自然主义不彻底的一面。而对于一个彻底的自然主义者来说，“抽象对象对数学（及其他）科学是约定俗成的和方便的这个事实本身，就足以保证它们的存在”。在另一个地方，伯吉斯给出了数学对象存在的一个更为明确的论证，其大致内容是：数学中包含众多存在性定理，它们的真理性依赖于数学对象的存在，而专业数学家和科学家接受它们为真理；根据自然主义，不存在这样的哲学论证，其力量足以推翻数学和科学的可接受性标准或是凌驾于其上；因此，数学对象存在，唯名论是错的。

伯吉斯的上述彻底自然主义思想与哥德尔的数学哲学十分相投。哥德尔也接受经典数学是一种科学理论，它由一些真句子构成；并且，他认为抽象对象的存在性为该理论所承诺。例如，根据王浩的记录，哥德尔曾说：

对于客观主义的真正论证是这样的。我们知道许多关于自然数的一般命题是真的（2加2等于4，有无穷多的素数，等等），并且我们相信，比如说，哥德巴赫猜想是有意义的，它一定或真或假，这里没有任意约定的余地。因此，必定存在着关于自然数的客观事实。但是，这些客观事实必须指涉某种客体，它们不同于物理客体，因为（除了其他的区别）它们不随时间而变化。

哥德尔应该会同意伯吉斯所表述的那个数学自然主义原则，即不存在其力量足以推翻数学的可接受性标准的哲学论证。从哥德尔对待恶性循环原则（VCP）的态度就可以推断这一点。在指出VCP与经典数学不相容的事实之后，哥德尔评论说，他宁愿认为，这证明了VCP为假而非经典数学为假。这里，可以把VCP看作是一种来自数学之外的、沾染了某种哲学认识论标准的东西，根据数学自然主义，它不应该凌驾于数学本身的标准之上。

不过，从另一个角度来看，哥德尔的数学哲学也有与伯吉斯的自然主义明显相悖的方面，这主要表现在哥德尔的数学认识论思想中。在哥德尔那里，作为对抽象对象的认识，数学需要一种深刻的形而上学和认识论说明，哥德尔的数学直觉学说，以及他后期试图从胡塞尔的先验现象学中所挖掘的东西，都属于此类努力。然而，如果数学自然主义旨在于强调数学的自主性，它就应当拒斥这种对第一哲学的追求，而满足于经典数学的证成方法本身。这正是伯吉斯所主张的。伯吉斯认为，假如我们的数学信念根据科学的（包括数学的）标准是证成了的，那么它们就是证成了的。质疑它们意味着要求某种超出科学证成方法之外的更高级别的证成，意味着要求为科学方法提供某种哲学的基础，这是自然化的认识论所拒斥的。对于一个彻底的自然主义者，数学是一个正当的科学分支，不存在所谓的认识论难题。

与伯吉斯持类似观点的还有麦蒂。在众多后蒯因自然主义者中，麦蒂也以强调数学的自主性著称。她系统地分析了蒯因经验主义的数学观与数学实践以及经验科学实践之间的不一致性，认为蒯因没有公正地对待数学。由此，她提出我们应当将蒯因关于经验科学自主性的原则推广到纯数学领域：

蒯因主张科学“不对任何超科学的法庭负有申辩责任，也不需要任何超出观察和假设-演绎方法之外的证成”……数学自然主义者则补充说，数学同样不对任何超数学的法庭负有申辩责任，也不需要任何超出数学证明和公理方法之外的证成。

单就以上论述来看，麦蒂和伯吉斯几无分别。他们都接受两种关于存在和真理的证成标准——经验科学标准和数学标准，并排斥为经验科学和数学寻求其自身之外的标准。然而，必须指出的是，麦蒂同时又强调要严格地区分数学本身与数学哲学，区分方法论问题与关于真理与存在的哲学问题。她最终还是与蒯因一样，承认自然科学才是真理和存在的最终裁决者。这实际上意味着，麦蒂所引入的不是两种证成标准，而是“证成”这个词语的异于传统的一种用法，即“证成”不再是“证成为真”。她所谓的科学自主性原则向数学的推广，也是变了质的“推广”。这当然与伯吉斯大异其趣。

如果抛开这后面的分歧而只截取麦蒂观点中强调数学自主性的内容，那么它与伯吉斯的观点可以自然地合并在一起，构成一种具有代表性的数学自然主义立场。该版本的自然主义与上一节所提到的那两种自然主义——蒯因式的自然主义和反实在论倾向的自然主义——都极为不同。

与伯吉斯相比，麦蒂更为明确地将其数学自主性思想与哥德尔的观点相联系。麦蒂仔细分析了哥德尔的若干文本，指出在哥德尔那里，无论是对罗素的“无类理论”与对VCP的拒斥，还是对连续统问题的有意义性的坚持（即便它被证明独立于ZFC），都是基于纯粹的数学考虑，而无须援引柏拉图主义的哲学立场。麦蒂由此总结出她的方法论原则：在就方法论问题——例如是否追求对连续统假设的判定——做决断时，不要从哲学考虑，而要从数学本身考虑。

麦蒂的分析有力地加强了哥德尔数学哲学与伯吉斯-麦蒂数学自然主义之间的亲缘关系，以至于人们甚至可能会说，按照这种理解，哥德尔简直就是一个自然主义者。但正如我在前面已经指出的，哥德尔哲学中的认识论维度却与这种自然主义格格不入。作为一种自然主义，伯吉斯-麦蒂自然主义不仅拒绝为数学寻求超出数学之外的证成，还进而认为这意味着不再有任何认识论难题，像哥德尔那样的认识论诉求乃是第一哲学的妄念。事实上，这正是这种自然主义的精妙之所在，即回避认识论难题。虽然后面我会表明，这只是一个幻象。

无论如何，我们至少可以接受如下论断：在伯吉斯-麦蒂自然主义的含义上，哥德尔在一定程度上是一个自然主义者。但另一方面，在第一节中我指出，根据自然主义的基本含义，哥德尔显然不是一个自然主义者。那么，接下来的问题是，伯吉斯-麦蒂自然主义真的符合自然主义的基本精神吗？它是否与自然主义的含义存在着潜在的冲突？如果是的话，那么，应不应该称其为自然主义就是一个很值得商榷的问题了，“作为自然主义者的哥德尔”这种提法也将变得更为不恰当或者说有误导性。下面，我们就来探讨这一问题。

三

伯吉斯-麦蒂自然主义的倡导者们从经验科学自主性的角度来解读蒯因的自然主义，并以类比的方式提出，我们应该尊重数学的自主性。他们视后者为前者的自然推广，认为唯其如此才能说是彻底地贯彻自然主义的精神。比如，麦蒂明确地说，进行这一推广的动机来自：

隐含在所有的自然主义背后的基本精神：相信任何成功的事业，无论是科学还是数学，都应该在其自身之中被理解、被评价，相信这样的事业不应受制某种来自外部的、被设定为更高的观点的批评，它也不需要这种观点的支持。

在我看来，这样一种原则，与其称之为自然主义，不如称之为“哲学第二原则”或“哲学忝列末位原则”，这样更为恰当。这个原则要求，哲学家在面对某种成功的实践时，特别是科学实践时，应保持谦卑的态度，避免以哲学的理由对该实践提出修正。经验科学和数学等自主地以自己的方法追求自己的目标，哲学的作用不是在方法论上规范和指导科学实践，而是亦步亦趋地跟在后面做一些描述性和说明性工作。与这一原则相对立的观点可称为“哲学在先原则”，它强调哲学对科学的范导性和修正作用。比如，直觉主义的数学哲学就具有明显的哲学在先意味，因为它从一些哲学的考虑出发，试图对经典数学做出修正。

我认为，无论是哲学忝列末位，还是哲学在先，它们实际上都预设了哲学与科学在目标与方法上的某种深刻的分离，而对于一个真正的自然主义者来说，这种分离乃是第一哲学的幻觉，这恰恰是我们应该予以反对的。蒯因确实强调科学的自主性，但其重点在于拒斥第一哲学传统，要求哲学的自然化，即信任科学的方法和成果，要求从科学王国的内部进行哲学的探索。按照这种想法，哲学乃是科学的同质延续，无须做忝列末位与在先的区分。无论在主题上还是在方法上，哲学和科学都是同质无别的共同事业。那种单纯从方法论自主性的角度来阐释自然主义的做法，脱离了自然主义的含义，与自然主义貌合神离。一个凸显这一点的例子是，假如我们有经验科学自然主义、数学自然主义，那么我们是不是也应该有社会学自然主义、心理学自然主义，乃至于占星学自然主义、炼金学自然主义等各种奇怪的“××自然主义”？

有人可能会反驳说，根据这种自然主义，哲学实际上就被完全取消了，只留下诸经验科学就够了。这当然是一种误解。自然化的哲学仍然有很多工作可做。对于这一点，我们在这里不做充分的讨论，而仅仅指出与本文主题相关的一个例子：在现代科学的世界图景下，抽象对象似乎没有合适的位置。在不假设它们的存在的前提下来说明数学实践的本质和数学知识的认知功能就构成了自然化哲学的一项重要任务。

谈到这个具体任务，我们可以对伯吉斯-麦蒂自然主义提出更多的批评。蒯因对科学自主性的强调并非意味着禁止一切对科学方法的批评，它只是拒斥站在科学以外——例如第一哲学——对科学方法进行批评，而来自科学内部的批评仍然是允许的。说到底，科学实践只是人类这种动物的一种活动，其本身可以以科学的方式被研究，即我们可以以科学的方式研究科学。数学实践也是如此，作为一种复杂的认知现象，它可以从经验科学来研究。来自经验科学的批评是数学家必须面对的，正如来自物理学的批评是生物学家不能不面对的一样。经验科学的研究表明，人类认知主体就是人类大脑，它是一个复杂但有穷的神经元网络，是地球上物质演化的结果。如果一个数学家坚持说，数学谈论的那些对象是客观存在的对象，数学是对它们的认识，那么他就必须面对关于抽象对象的认识论难题的挑战。伯吉斯-麦蒂自然主义拒斥一切来自数学之外的对数学的批评，以此来回避经验科学对数学的挑战，这严重超出了自然主义的含义，后者仅仅拒斥第一哲学传统，而对于来自科学王国内部的批评是完全接纳的。

要更好地理解自然主义，更一般性地思考这个问题是有必要的，即我们必须搞清楚，根据自然主义，认识论是一门什么样的学科，它的任务是什么。我们曾谈到，确立整体论似乎可以回避认识论难题。而另一方面，伯吉斯-麦蒂数学自然主义的一个要点也是对认识论难题的一种轻巧的回避。然而，依我之见，这些魔法般的回避都是幻像。因为，与第一哲学传统中的认识论不同，自然化认识论的主旨在于描述人类认知的因果过程和机制，而不是进行认知证成或科学确证。

传统认识论宣称，我们的经验科学是可疑的，应当予以悬置；如果要恢复对它们的信心，需要某种第一哲学为之提供更为坚实的基础。构建这个基础的方法不再是经验科学的方法，而是某种第一哲学的方法，例如先验哲学的方法。相比之下，自然化认识论的任务则不是证成科学，因为，根据自然主义，科学方法即是我们认识这个世界最好的方法。自然化认识论要探究的问题是，人类这种动物是如何从简单的知觉观察一步一步地走向精致复杂的科学理论的。这里的“人类这种动物”显然不是指什么形而上的主体或先验自我，更不是一个虚空的点或无内容的占位符号，而是一个有着复杂的内在结构、可以由科学来加以探究的对象。它可以由生理学、心理学、进化生物学、脑神经科学、认知科学、语言学、社会学等经验科学来加以描述。自然化认识论的任务就是要回答，如此这般被描述的动物是如何获得对其所生活的世界的知识的，例如，它如何认识到远处山丘的高度，如何认识到光合作用的机制，如何认识到亚原子粒子的性质，等等。在对人类认识事物的实际过程进行这样的研究和描述时，自然化认识论者所运用的方法本身属于经验科学的方法，而不是超出经验科学方法范围的所谓第一哲学方法，特别是，他们可以充分利用已有的科学知识。实际上，自然化认识论对人的认知活动的研究，如同生理学对人的消化和营养系统的研究一样，是广义心理学的一部分，对于经验科学的其他分支，它并不具有任何本质上的优先性。尤其应当注意的是，它不可能是对经验科学方法的一般性或是总体性证成，因为那样会陷入循环论证。

不过，虽然自然化认识论具有显著的描述性特征，这并不意味着它完全没有规范性的方面：“与普遍的信念相反……认识论的某种规范性方面不因转向自然主义而消失。”“我们对世界的思考依然要遵循规范和训条，只是它们源自我们所习得的科学本身。例如，科学成果告诉我们的一个事实是……关于世界的信息只能通过作用于我们的神经末梢到达我们，这一发现具有规范性力量。它能够警示我们，因为它与关于心灵感应和第六感洞察的那些说法不相容。随着科学的发展进步，这些规范还会发生改变。例如，自艾萨克·牛顿爵士以降，我们不再像以往那样对超距作用充满怀疑了。”也就是说，与第一哲学认识论相似，自然化认识论也可能划定某种可知与不可知之间的界限，只是这种划界不像第一哲学那样一劳永逸，而总是试探性的和片段式的。

以上所陈述的自然化认识论意味着，即使接受确证整体论，仍然可以提出有意义的关于抽象对象的认识论难题。类似地，即使接受数学内部的公理以及证明方法对于证成数学命题是充分的，我们仍然要说明人类大脑是如何达到对抽象对象的认识的，或者说，为何大脑的数学信念确实是关于抽象对象的。伯吉斯-麦蒂数学自然主义单纯从证成的角度来理解认识论问题，以为将数学认作科学王国的一员并应用科学自主性原则，认识论难题就会自动消失，此乃对自然化认识论的严重误解，因而也是对自然主义之含义亦即哲学自然化原则的悖离。

我们回到哥德尔与自然主义之关系的问题。我们在第一节已经看到，从自然主义的含义来看，哥德尔绝对不是一个自然主义者。而按照第二节的分析，从伯吉斯-麦蒂自然主义的意义上来说，哥德尔可在一定限度内被称作一个自然主义者。但即使从这个意义来说，“在一定限度内”的限制是不可去掉的。事实上，对哥德尔所表现出来的那种对数学实践的尊重精神，有一个更为恰当的称呼，即王浩所说的“实质事实主义”，它也是哥德尔本人比较认可的一个称呼。不过，这里更为重要的是，按照我们的分析，伯吉斯-麦蒂自然主义并不符合自然主义的含义，称之为自然主义，只会引发对自然主义的混乱认知。

原标题：《哥德尔与数学自然主义》

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