半圆形均质薄片质心计算的六种解法——兼谈大学物理教师的“引导者”角色

原创 郭洪英 孙元平 物理与工程

摘 要

新高考模式下的选科与高校录取模式为大学物理教学带来了许多困难，如何在困境中对学生进行科学素养的培育是普通地方院校理工科教学面临的一大问题。本文从质心的基本定义出发，按照解决问题方法的由繁到简，为半圆形均质薄片质心的求解提供了六种解题方法，兼顾了对具有不同数学和物理基础的学生进行发散性思维训练的方式。在此基础上，探讨了新高考模式下大学物理教师在素质教育中应有的角色。

关键词 均质薄片质心；发散性思维训练；新高考

Abstract The new college entrance examination mode brings many difficulties for college physics teaching. How to cultivate students' scientific literacy is a major problem for science and engineering teaching in general local colleges. Starting from the basic definition of the center of mass, this paper provides six kinds of problem-solving methods for solving the centroid of semi-circular homogeneous sheet according to the complexity of problem-solving methods, and gives consideration to the divergent thinking training for students with different mathematical and physical foundation. On this basis, the role of college physics teachers in quality education under the new college entrance examination mode is discussed.

新高考“3+3”模式下的选科模式与高校录取政策，使地方院校理工科专业新生的物理基础参差不齐，导致了大学物理教学班学生“学习难”和教师“授课难”的困境。除了物理基础不同，导致“两难”困境的原因还在于中学和大学物理学习中所使用的数学手段的差异。中学物理用到的数学知识是初等数学原理，而大学物理则用到了高等数学中的矢量运算和微积分运算，两者相差甚远。目前，大一新生面临的困难之一就是如何将高等数学微积分初步的内容和大学物理相关知识有机融合。很多大学生普遍反映单独的物理思想可懂，单独的数学微积分运算能会，但困难的是如何根据物理思想进行数学建模并解决问题。

在大学物理课程中，连续体质心的计算是一个难点。该内容在中学物理中没有涉及，是大中物理知识脱节的一个典型案例，部分学生对该部分内容掌握欠佳。为了增强学生对物理学习的兴趣，引导学生开拓思路，加强大学物理和中学物理教学之间的联系，本文以连续体质心计算为例，具体说明如何通过问题的多种方法求解来启发学生进行自主思考，激发学习能动性和积极性，从而提升大学生的科学素养培育。

1 问题及大学物理的通常解法

如何求解一个半径为 R，质量为 m 的半圆形均质薄片的质心？这是一个二维尺度上的问题，一般教材上会根据质心的定义，利用微积分的方法分别求出质心在 x 轴和 y 轴上的位置，如方法 1 所示。

方法 1：建立如图 1 所示的直角坐标系。设薄片的质心坐标为 C（xc，yc），其面密度为 ρ，则薄片的质量为

。根据质心的定义

为了计算简单，将直角坐标积分变换为极坐标积分，其中

在均质薄片上取微元如图 1 所示，其面积为 dS（为极坐标矩形），则该微元的质量为 dm =ρ dS =ρ · dr · r dα，故

所以，半径为 R 的半圆形均质薄片质心为

。

2 其他解法

由方法 1 或质量分布的对称性可知，半圆形均质薄片的质心必定位于 y 轴某一位置，即 xC = 0。因此，以下几种关于质心的计算方法都归结为求 yC。

方法2：如图 2 所示，在均质薄片上选取矩形面元，其面积为 dS，则该面元的质量为 dm = ρ dS = ρ · dx · dy，故

方法3：如图 3 所示，在薄片上取平行于 x 轴的面元 dS，则该面元的质量为

由质心的定义可求出

方法4：如图 4 所示，在薄片上取圆心角为 dθ 的扇形面元 dS，该面元的质量为

。该扇形面元的质心 y′C，可由在扇形面元上取径向长度为 dr 的矩形面元求得，其质量为 dm′ = ρ dS′ = ρ · r dθ · dr

则该均质薄片的质心可根据定义求出为

方法5：如图 5 所示，已知半径为 r 半圆环的质心为

[1]。其中 dm = ρ dS = ρ · πr · dr，则根据质心的定义可求出

方法6：利用巴普斯定理[3]。该定理的一种表达形式提供了计算某特殊情况下物体体积的简单方法（另一种形式是用来计算面积）：平面物体在空间运动所扫过的体积等于该平面面积与平面质心经历路程的乘积，即 V =∑Vi =S ∑ΔZi，其中 ∑ΔZi 为平面物体运动中质心经历的路程，S 为平面物体的面积。

借用该定理求体积的表达形式，我们可以反过来求解平面物体的质心位置。设均质薄片的质心 C 位于 y 轴上，其距圆心 O 的距离为 yC，如图 6 所示。以半圆盘直边（即 x 轴）为轴旋转 360° 可得一球体，体积为

；质心在旋转过程中经历的路程为 2πyC，半圆盘面积为

。根据巴普斯定理可写出方程

解得

。

3 解法的比较及大学教师的角色思考

一题多解在处理物理问题中很常见，例如转动惯量、功、电场强度和磁感应强度的计算等，正所谓“条条大路通罗马”。从前面的求解过程可以看出：前五种方法是根据质心的定义，通过选取不同的基本质量元，来简化问题求解过程中的微积分计算；第六种方法直接抛弃了质心定义法计算过程中的繁杂微积分运算，巧妙地借用了数学上求某种特殊情形下物体体积的方法，利用巴普斯定理间接求解平面物体的质心，该方法一般作为中学物理竞赛的拓展内容。

方法 1 和方法 2 为大学物理课本上的常见解法：建立直角坐标系或将直角坐标系转换为极坐标系，利用双重积分进行问题求解。其中方法 1 为大学物理课本上的常见解法：通过坐标系的变换，利用极坐标系和双重积分进行问题求解。根据质心的定义，质量元在极坐标系中表达为 dm = ρ · dr · r dα。该方法物理图像清晰，学生可以借助高等数学教材上类似例题进行计算，理解起来比较轻松，但计算过程稍显繁琐。

方法 2 在直角坐标系中选取了矩形面元，质量元表达为 dm = ρ dS = ρ · dx · dy。这种方法符合学生从高中获得的经验，有利于知识的衔接，但是计算过程仍然涉及了双重积分。

方法 3 直接在直角坐标系中利用对称性，将薄片沿平行于 x 轴方向分割成无数面元，将质量元表达为

。该方法将质心的计算转换成单重积分，简化了计算过程。

方法 4 考虑了圆的基本分割单元的利用，将面元取为扇形，把质量元表达为

。但这种方法需要先求出面元的质心位置 y′C，需要继续在扇形面元上取一个矩形面元。虽然该方法思路比较简洁，且两次计算均只用到了单重积分，但计算过程仍显繁琐。

方法 5 对上一种方法进行了简化，直接利用课本上半圆环的质心结论，选取任意半径半圆环为面元，将质量元表达为 dm = ρ · πr · dr。该方法进一步简化了数学计算过程，将物理思想呈现的更加明朗，深化了对质心概念的理解。

方法 6 规避了高等数学的微积分，根据巴普斯定理，直接利用初等数学求解。计算过程简洁，技巧性更强，即使是没有学过高等数学的中学生也能轻松掌握。巴普斯定理通常是被作为高中物理竞赛需要掌握的内容，但该方法对于没参加高中物理竞赛的大学生来说，仍然很简单。用此解法处理问题，可起到拓展知识面的作用。

本文给出的关于半圆形均质薄片质心的六种解法，每种方法都有其优点。只要认真思考，即使学生的数学与物理基础不同，也能得到准确的解答并可悟出：不同方法的选取能影响到解决问题的难易程度——这种多角度发散思维的训练正是大学素质教育的核心之一。高中的应试教育通常使学生只是被动地接受教师的观点，缺少主动的思考能力；加上大学物理课程的授课进度通常很快，学生的自主思维能力通常会受到一定的限制。大学物理课程是一门很好的提升学生科学素养的通识课，只要用心去观察、思考，看似繁杂纷乱的问题，总能理出头绪。一般来说，物理思维倾向于问题的最简解法，但教师不应只是为学生提供这种最简思维，而应该对学生怎样获得这种思维进行合适的引导。在授课过程中，教师需要根据学生的基础和理解程度，适当地引导学生从多角度分析思考问题，培养学生发散思维和独立思考的能力，带领他们寻找解决问题的最简方法。因此，在大学素质教育过程中，教师不但要成为课程的组织者、讲授者[4]，而且应该成为课程的研究者[5]和引导者。

4 结语

目前，普通高校理工科专业入学新生的物理基础差别较大，为了做好对学生发散性思维能力的培养训练，大学物理的任课教师应该认真研究教材，深入研究授课内容，立足学生已经掌握的知识（如高中物理、高等数学知识等），对课程的各主要知识点从多角度来进行思考并准备授课教案；在中心内容讲述清楚的基础上，兼顾考虑不同基础学生的思维方式，多角度对学生进行知识理解能力的启发与培育，引导学生逐步建立科学的思维方法，努力做好教育引导者的角色。一个好的大学物理教师，应该通过两个学期的大学物理课程教学，引导学生脱离高中的思维模式，掌握科学研究、创新、实践所需要的物理思维，使大学教育真正成为素质教育。

参考文献

[1]张三慧. 大学基础物理学上册[M]. 6版. 北京: 清华大学出版社, 2017: 60.

[2]芬尼. 托马斯微积分[M]. 10版. 叶其孝, 王耀东, 唐兢, 译. 北京: 高等教育出版社, 2003.

[3]程稼夫. 中学物理奥林匹克竞赛物理教程——力学篇[M]. 2版. 安徽: 中国科技大学出版社, 2014.

[4]余文森. 论大学课堂教学的三个“应然”[J]. 中国大学教学, 2018(4): 43-47+65.

YU W S. Discussing on the three “should be” in college classroom teaching[J]. China University Teaching, 2018(4): 43-47+65. (in Chinese)

[5]周雨青. 球壳质心位置的另一种解法——兼谈研究性教学的元素选择[J]. 物理与工程, 2020, 30(4): 20-22.

ZHOU Y Q. Another solution to the position of the spherical shell's center of mass—Concurrently discussing the choice of elements of research teaching[J]. Physics and Engineering, 2020, 30(4): 20-22. (in Chinese)

基金项目: 烟台大学教学改革研究项目（编号：jyxm2021005)。

作者简介: 郭洪英，女，烟台大学副教授，主要从事大学物理教学工作，研究方向为半导体材料的光电性质，guohy@ytu.edu.cn。

引文格式: 郭洪英, 孙元平. 半圆形均质薄片质心计算的六种解法——兼谈大学物理教师的"引导者"角色[J]. 物理与工程, 2022, 32(1): 116-119.

Cite this article: GUO H Y, SUN Y P. Six solutions for centroid calculation of semicircle homogeneous sheet—On the role of college physics teachers as guider[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(1): 116-119. (in Chinese)

END

更多精彩文章请点击下面“蓝字”标题查看：

对麦克斯韦方程组拓展的评论王青教授：深入理解“拓展的麦克斯韦方程组”——2.0版王青教授：理解王中林院士“拓展的麦克斯韦方程组”“碰瓷”麦克斯韦：伽利略协变和洛伦兹协变电磁场论趣谈热点：运动介质洛伦兹协变电磁理论2021年《物理与工程》优秀论文、优秀审稿专家、优秀青年学者名单王青教授：源自苏格拉底的问题驱动式教育——在互动中共同学习和成长读后感：教育中的现实和远方王青教授：昨晚（6月9日），清华电动力学期末考试朱邦芬院士：“减负”误区及我国科学教育面临的挑战《物理与工程》2021年第6期目录乐永康：新冠肺炎疫情防控下美国物理实验教学及中美情况对比顾牡：对于重新制定的《非物理类理工学科大学物理课程教学基本要求》的认识和体会朱邦芬院士：从基础科学班到清华学堂物理班朱邦芬院士：对培养一流拔尖创新人才的思考李学潜教授：物理是一种文化李学潜教授：如何帮助物理系学生迈过从高三到大一这个坎穆良柱：物理课程思政教育的核心是科学认知能力培养穆良柱：什么是物理及物理文化？穆良柱：什么是ETA物理认知模型穆良柱：什么是ETA物理教学法吴国祯教授：我的国外研究生经历印象——应清华大学物理系“基科班20年·学堂班10年纪念活动”而写

陈佳洱，赵凯华，王殖东：面向21世纪，急待重建我国的工科物理教育王亚愚教授：清华物理系本科人才培养理念与实践葛惟昆教授：关于中外人才培养的几点思考安宇教授：为什么传统的课堂讲授模式需要改变安宇教授：其实教学就是积累的过程刘玉鑫教授：关于本科生物理基础课程教学和教材编著的一些思考沈乾若：重创理科教育的美加课程改革Henderson C：美国研究基金支持下的物理教育研究及其对高等物理教育的影响《物理与工程》期刊是专注于物理教育教学研究的学术期刊，是中国科技核心期刊，1981年创刊，欢迎踊跃投稿，期刊投审稿采编平台：

http://gkwl.cbpt.cnki.net

欢迎关注

《物理与工程》微信公众号

原标题：《半圆形均质薄片质心计算的六种解法——兼谈大学物理教师的“引导者”角色》

阅读原文