北大数院教授袁新意2022年英才班演讲：把握数学思想

【编者按】10月15日，2022年北京大学数学英才班举行导师见面会，英才班导师代表袁新意教授发言。袁新意教授在演讲中表示，学得太多、选课太多并不是一个好现象。“看到有些同学学得比较快，你也不要慌张，闻道有先后，人这一生是很长的。”而“数学的所有内容都来自于定义，当你足够熟悉定义，最终会变成你的直觉”。对数学有着深厚兴趣、在数学领域有突出特长且有志于从事数学研究的98名同学加入了北大本届数学英才班。以下是袁新意教授演讲的全文：

2022年北京大学数学英才班导师袁新意教授

各位领导，各位老师，各位同学：

大家好！我很荣幸作为导师代表在这里发言。我发言的主要听众是同学们，因为你们是今天会议的主角。我想给同学们提三点建议，每一个建议有一个关键词。这些建议是我20年前在这里学习时所经历过的，有方法或思想上的挣扎，同时也是一些经验的分享。

第一个关键词是理想，也就是将来你想要干什么。英才班的宗旨是希望培养数学家或者与数学相关的研究人才，但我认为即使你将来从事的不是数学研究，是与数学相关的杰出工作，甚至是跟数学无关的杰出工作，那你依然非常成功，那也依然是英才班的成功。

现在的你们或许还没有想过未来要做什么，但当你在大二或大三的时候，就会去思考：我到底要不要做数学？要不要做纯数学？要不要做应用数学？也会思考是否要转行投身计算机、经济、金融或者其他的行业。这是大部分人的必经之路，我也有过这样的挣扎。如果你碰到了这个阶段，请不要慌张。可以跟同学交流，跟学长交流，也可以找老师交流。

对此，我的建议是：如果你不知道将来要做什么，没法树立一个十年左右的长远目标，那么你可以树立一个短期的目标。比如：未来两年你要干什么？毕业的时候你想干什么？是去业界工作，出国深造，还是留在国内读研？如果读研，那么读哪个方向的研究生？这种短期目标是比较容易树立的，你的心里也比较容易清楚自己的短期目标是什么。树立好短期目标之后，就为短期目标而努力，这样就不会荒废时光。如果你非常迷茫，不知道要干什么，就很有可能荒废了。大学4年稍纵即逝，如果因为迷茫导致整日玩游戏浪费时间，等到保研或是申请出国时发现自己的GPA很糟糕，那是非常可惜的。所以，树立短期目标并为之奋斗非常重要，等到这个短期目标达成时再树立下一个短期目标，直到你清楚自己的长期目标是什么。

第二个关键词是踏实，也就是学习上的踏实。北大数院有着优良的学风，老师们倍感欣慰，大家在学习方面积极向上，甚至有点内卷。但是学得太多、选课太多并不是一个好现象。低年级的同学选高年级课程和研究生课程；高年级的同学选研究生课程和前沿讨论班。这样选的东西太多，成绩单上的课程太多，甚至还有很多不在成绩单上的课程。结果导致精力和时间不足，每一门课都没学好。连一些基础性的课程都没有学好，更别说那些高级课程了。对此，我给大家建议是，选课时要量力而为。我们会赞成你在低年级时选高年级的课，但是你需要自己确定自己是否真正把低年级的内容弄懂了，是否把高级课程的先修课程内化于心了，这样你们才能选高级课程。上台阶需要一步一步地走，无论快慢，都得一步一步地攀登。

数院的同学们都非常有天赋，但是不管怎样，总是有些人比其他人向前迈得更早，迈得更快。每个年级都有几个明星学生，他们有能力，也有自己的计划，学了很多高级的课程，这是好事。但是其他同学没有必要去效仿和攀比，每个人的背景、品味和特点都是不同的，效仿和攀比可能会导致跟不上。切忌盲目跟风，耽误自己的时间和精力，最后可能会因没学好而对自己的能力丧失了信心。看到有些同学学得比较快，你也不要慌张，闻道有先后，人这一生是很长的。

第三个关键词是思想，即数学中的思想。中学数学的主旋律是刷题，而刷题的目的是为了解题时解得更快更准，从而在考试或竞赛中得高分。但学习高等数学的时候，同学们要改变这个习惯。高等数学更重视的不是解题技巧，而是思想，至少学习的一开始更重要的是把握数学思想。

学习时不要忙着做题，而应该在看到定义的时候，先想一想这个定义的背后到底说了什么，把抽象的数学定义背后的原理转化为自己直觉中的东西。数学的所有内容都来自于定义，当你足够熟悉定义，最终会变成你的直觉。例如，在理解数学分析里极限的定义时，你需要仔细地推敲epsilon-delta语言，直到最后熟悉了，直觉中认同这个语言是“无限接近”的同义词。当然，这个转变的过程可能需要通过做适量的习题达到。你可以尝试在学每一门课时，例如复变、实变、抽代时问问自己：最重要的定义是什么？每一门课里重要的定义只有几个，把这些定义以及背后的数学逻辑严格地记下来，最后把它转化成你的直觉。

之后再问一下自己最重要的定理是什么？定理和定义同样重要，很多时候定义是为定理服务的。这里不是问定理怎么证，而是问定理的陈述是什么？多想一想定理的条件是什么，结果是什么？先不要着急去看它的证明，定理的证明有时对你理解定理有意义，有时候却没有意义，需要你自己去分辨。看了定义和定理之后再看推论，推论通常会体现定理的重要性，用定理证明推论通常如砍瓜切菜般地愉悦。推论的证明要看看，定理的证明选择性地看。引理最后看，因为引理通常是为证明定理服务的，所以通常是最不重要的。而且引理看起来可能是最痛苦的，有时候条件很麻烦，结果也很麻烦，整个逻辑可能会绕很久，所以放到最后看。在定理和引理之间还有命题，命题比引理稍重要一点，有时候会帮助你理解定义和定理。当你把这些都理清后，就可以思考是否能把一门课的内容都串联起来，300页的书能还原出几页的知识点就可以了。先把最重要的定义默写下来，再把最重要的定理和推论都默写下来，试图把它连成一串，把逻辑关系用一个图来表示。这样，你在思想上就把握了这门课。

好的，我就分享到这里，谢谢大家。

（本文首发于北京大学数学科学学院微信公众号，原标题为《导师代表袁新意教授在2022年英才班导师见面会上的发言》，澎湃科技获授权刊发。）