关于圆周率π，你不知道的3x1x4个真相

原创 拓昭阳 果壳

昨天是 3 月 14 日。正巧等于圆周率π的前三位数字3.14，因此这一天被设为了圆周率日。世界各地的数学家和数学爱好者们欢聚一堂，歌颂赞美这个数学世界中的奇迹。

不管一个圆有多大，它的周长和直径之比总是一个固定的数，它就是π。下面有一些关于π的冷知识，我赌你知道的不超过3个。

1

π里包含了所有可能的数字组合吗？

答案是“不知道，大概吧”

虽然在《疑犯追踪》里宅总有那个著名的演讲，声称π包含了一切，也有很多由此衍生而来的段子（不要在你的硬盘上存储π，因为它侵犯了有史以来所有可能的版权，包含了全世界所有国家的所有最高机密，等等），但这一点并没有得到数学上的证明。再强调一遍，没有证明。我们明确知道π是无限不循环的，仅此而已；剩下的都是猜想。

不过还是有人开玩笑地设计了一套文件系统“πfs”，你的所有的数据都（很可能）存在π的某一个地方，所以不需要你亲自记住这些数据，只要记住这些数据在π的哪里就行了。

2

π决定了曲流河的蜿蜒程度

这是π在现实中最惊人的应用之一：一条平原上的河流，它的曲折程度——也就是河道的总长度除以源头到入海口的直线距离——随着时间推移会趋向于π。

现实中没有那么理想的河流，平原河的这个数值更可能比π稍微低一点儿。但是在数学中没有这个问题——1996年数学家Hans-Henrik Stølum在《科学》上发表论文证明了这一点。

不过这也没那么神秘，想象一下一条由许多圆弧交替拼接组成的河流，就能直觉上理解为何这个数值是π了。

图 | google

图片作者可能是blog.matthen.com

下面两张图是作者汉斯-亨里克·斯托罗姆（Hans-Henrik Stolum）用纯粹的数学公式推演出来的河流演化，可以和上图对比一下。

3

重力加速度g

差一点就是π的平方根了

你算过π的平方吗？掏出计算器算一下看看，你会发现它约等于9.87。做过高中物理题的同学可能会意识到，这和地球表面的重力加速度g——9.81m/s^2——在数值上只差一点儿啊。

其实，不但是数值上差一点儿，而且是差一点儿就分毫不差了。

π是没有单位的，所以怎么着都是这个数。但是重力加速度是有单位的，所以如果当年对标准单位定义变了，那这个数也会变。而历史上第一个“米”的定义，就恰好能让π^2和g在数值上相等。

但这算不上是巧合，1668年提出这种方案的英国人约翰·威尔金斯是根据“秒摆”来定义的。所谓秒摆就是从一头到另一头正好花费1秒的单摆（也就是周期为2秒），他把秒摆的长度定义为1米。

那么，根据单摆的周期公式 T = 2π （L/g）^1/2，T=2秒，L=1米，就立刻能够得出g=π^2 m/s^2。听起来是很方便合理的定义公式嘛。

到了1791年，法国大革命期间，法国科学院要设立一种新的度量衡——也就是今天的米制。竞争的双方，就是秒摆定义和地球周长定义。不过最终科学院选择了周长定义——把1米定义为地球子午线长度的400万分之1。这是因为，当时已经发现重力加速度在地球各个表面是不同的，所以一个秒摆换了地方就不是秒摆了。

不幸的是，这也导致今天的学生面对每道单摆题，都要多花好几个一秒去算数……

为啥老式挂钟要做得这么长？就是因为它们是设定成秒摆的，需要大约1米长的钟摆

不过按照今天的米的定义，标准重力下的秒摆长度只有 0.994 米。

4

我有一个π，我有一个e，嗯~

你说啥？

π是无理数，e也是无理数，可是我们竟然不知道π+e, π/e或者lnπ是否是无理数！只知道它们不是八次以下、所有系数都小于10^9的多项式方程的根。

事实上，很多关于π和e的看起来基本的信息，我们都不知道。当然这不是因为π和e本身有多神秘，只是因为和无理数打交道真的是很难。

π：我为什么要讲理？

但是至少我们知道，π+e和πe不可能同时是有理数。这个问题的证明留给读者作为练习（对于高中数学学得好的人而言不难）。

顺便说，π自己直到18世纪才被证明是无理数。后来的数学家提出了一些比较简单的证明，最简单的可能是 Ivan Niven 的证明（太长了，这里写不下），原则上高中数学学得好的人是可以看懂它的——如果你真的看懂了，请认真考虑报考数学专业。

i 乱入。然而看懂这幅图只能证明你没有朋友（。

5

可能是最无聊的数学论战：

π是错的吗？

圆的周长被定义为2πr，一个圆的弧度是2π，很多常见公式（比如单摆周期）都有2π，这让一些数学家认为2π才是更基本的常数。美国数学家鲍勃·帕莱建议用下面这个符号来代替2π，即圆周与半径的比值——

而另一位美国数学家麦克·哈特尔（Michael Hartl）则建立了网站 tauday.com，呼吁人们用希腊字母 τ（tau）来表示“正确的”圆周率 C/r = 6.2831853... 。哈特尔建议大家以后在写论文时，用一句“为方便起见，定义 τ = 2π ”开头，推广这一更为科学的圆周率记号。

支持τ的人建立了τ日（6月28日）来和π日（3月14日）分庭抗礼，每年都会在这两天相互把对方批判一番。不过显然这样的论战对大部分人来说没有意义。正如某位不可考的网友指出的，如果π是错的，τ岂不是两倍的错？

一个折衷的办法…… | xkcd.com/1292/

6

π被称为π，只有很短的历史

虽然人们知道π将近4000年，“π”作为代表圆周率的符号被人们使用却是近300年的事情。1706年，英国数学家William Jones 最先使用希腊字母π表示圆周率。π在希腊字母中排行第十六，也是希腊语“周长”的第一个字母。1737年，瑞士大数学家欧拉也开始用π表示圆周率。

所以，在此之前，他们就不能讲关于π和馅饼的冷笑话了，好可怜哦~（画外音：请问谁会有这样的需求啊）

果壳π日特供，吃货研究所出品。请找出上图中一处错误（我为什么要让强迫症好好过节呢？就不，哼~

7

π日的历史，就更短了……

最早有记录的π日庆祝活动，是1988年3月14日在美国旧金山科学探索馆一位物理学家Larry Shaw的倡议下，工作人员和游客们在探索馆的圆形空间内举行了庆祝活动，并分享了一个水果派。

2009年3月11日，美国众议院通过了一项决议，把3月14日正式确定为全国的“π日”（National Pi Day）。

8

圆周率出过歌和书（就算了）

居然还出过……月刊

听过π歌吗？不不不，我说的可不是初音未来那个精神洗礼般的长达1小时的碎碎念……

2011年，作曲家迈克尔·布雷克（Michael Blake）将圆周率的前31位数字（3.1415926535897932384626433832795...）一个个“翻译”成了音符。他利用勋伯格十二平均律中所引入的半音阶概念，将半音阶与数字一一对应，即令1=C，则3=D，5=E，6=F，依此类推。这段小小的曲子每分钟节拍数为157，恰为314的一半。

（不过本AI没有在腾讯视频上找到这段视频，所以，放另外一个钢琴版给大家听个意思吧……）

出书又是怎么回事呢？日本有个很迷的社团，出版过一本书叫做《円周率1000000桁表》，1996年就开始发售了，至今依然可以在日本亚马逊上买到。大约合人民币17元一本。

长成这样：

极具简单粗暴之美_(:з」∠)_

后来嫌不过瘾，又出了《自然常数e100万位》、《素数15万个》，以及《月刊圆周率》杂志。

你没有看错，月刊。每月连载十几万位的π……

记住这个社团的名字。

……简直有毛病(╯‵□′)╯︵┻━┻

好评连载中！想要吗？

（顺便说，这个社团在同人展上的画风也非常迷：

9

π总是在最奇怪的地方出现

比如——概率论

在几何问题中，圆周率显然很重要；但奇怪的是，π也驰骋于几何以外的其它数学领域，它在概率问题中的频繁出现让人们得以通过实验模拟估算它的值。（当然，多学一点数学，你就会发现其实也没那么奇怪了。）

比如鼎鼎有名的布丰投针问题：地板上画一系列间距为2a的平行线，将一根长度为a的针随机投向地面n次，那么针与平行线相交的概率是多少？1777年，布丰本人给出了解答——相交概率为1/π。很多人甚至依靠此实验推算π 的近似值。1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到 π 的近似值为3.1596。由投针问题引入的计算 π 的方法，不但因其奇妙而让人叫绝，而且还开创了随机数处理确定性数学问题的先河。

任意两个整数互质的概率是 6 / π^2，基于这一点，英国伯明翰阿斯顿大学的罗伯特•马修斯计算了天空中100颗亮星间的角距离，并把它们转化为100万对随机数字，其中约61%没有公因数。他得到的π值=3.12772，准确率达到了99.6%。

10

派和披萨有一个诡异的联系

——除了都很好吃之外

这是一个著名的数学笑话：“一个厚度为a，半径为z的披萨的体积是多少？”答案是：“pizza。”这个结果有时被称为披萨第二定理。当然，这只是圆柱体体积公式的一个简单外推罢了。

11

π出现在据说是最美的公式里

但其实这公式的母体才是最美的

嗯你们知道我要说什么，就是所谓的欧拉恒等式：e^iπ+1=0。

这个公式的厉害之处在于把数学里最重要的5个数——e，i，π，1和0放在了一个等式里。

但是这个公式本身的意义却很有限。它的几何意义不过是说，如果你旋转了π的弧度，那就正好转过了半个圆……

真正厉害的公式不是欧拉恒等式，而是它的母体——欧拉公式：

e^ix = cosx + isinx

欧拉恒等式只是令x=π时得到的一个特例，欧拉公式本身才应该被称为最深刻最美丽的数学公式。比如，利用这个公式可以很容易证明i的i次方是一个实数！

证明么……当然了，留作读者练习之用。（滚走）

12

最后来个实用的：如果你想背π

背到762位就可以了。

这是理查德·费曼的著名冷笑话……因为在π的762位，出现了连续6个9，所以他说，你可以背到762位，然后以“……999999，等等”来收尾。

6个9，不是666666，别背错了

作者：拓昭阳

编辑：Fangorn

3.14个AI

传说，只要在3月14日15点9分26秒到3月14日15点9分27秒之间，吃下一个完整的派，妈妈就再也不用担心你的数学成绩了

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