时间晶体：构想、争议与实现

原创 郭启淏、尹璋琦 返朴

2021年11月30日， Nature刊发了谷歌量子计算机团队实现时间晶体实验的研究，将这一新领域再掀波澜。时间晶体是2012年由理论物理学家、诺贝尔物理学奖得主维尔切克提出的一种新物质形态。随着研究人员的不断深入探索，时间晶体的理论与实验均发生了巨大的改变。在理论方面，物理学家对最初提出的量子时间晶体概念进行了“围攻”，后来提出了离散时间晶体的新概念。而在实验方面，多项表明实现离散时间晶体实验遭到争议，其实验呈现方式并非与理论概念吻合。在短短不到10年间，关于时间晶体的研究在各方团队的质疑中迅速发展。在本文中，我们将见证物理学家如何突破自身局限探索人类知识的边界。

撰文 | 郭启淏（南方科技大学）、尹璋琦（北京理工大学）

前言：近年来，量子计算实验技术的发展为人类利用量子优越性加速信息处理和研究复杂量子物理系统带来了无限可能。基于超导电路和光学系统，人们已在不同问题上展示了量子计算系统对经典计算机的优越性。与此同时，在量子计算机上进行的量子模拟，为物理学家研究新奇量子物态和拓扑材料开辟了新的道路。凝聚态物理学家得以打破纸面、数值模拟乃至现有材料的限制，探索更天马行空的的物理概念。时间晶体，就是最近一个影响巨大的例子。本文将从时间晶体的来由讲起，着重介绍多体局域化保护的离散时间晶体和实验发展，及有关的激烈论战，希冀读者了解离散时间晶体理论，以及基于量子计算机的量子模拟。

2012-2015：否定之否定

时间晶体这一奇特的概念，源自诺贝尔物理学奖得主弗兰克·维尔切克（Frank Wilczek）2012年提出的一个大胆设问：是否存在一种物质，当其处于基态附近时，在时间维度上会自发出现周期性变化，就像空间晶体在空间维度上自发出现周期性重复一样。更为确切地说, 生活中常见的晶体源于众多原子发生空间连续平移对称性自发破缺，从而形成空间离散平移对称的自组织结构。与其类似，维尔切克最初定义的时间晶体，则是在一个不含时系统，其基态发生的时间连续平移对称性破缺，从而使其状态及可观测量发生周期性变化的时间自组织结构[1, 2]。

图1 时间晶体概念示意图：离子形成的魏格纳环晶体，当其处于基态时，离子依然保持转动，这一空间-时间都平移对称的体系称为空间-时间晶体。丨来源：李统藏博士、张翔教授实验组

沿着这条思路，维尔切克及其合作者分别提出了经典时间晶体和量子时间晶体的模型[1, 2]，同时加州大学伯克利分校的李统藏、张翔等人也提出了基于离子阱的量子时空晶体理论[3]。与经典时间晶体模型不同的是，量子时间晶体一问世即遭各家物理高手围攻，前有法国莱布尼茨奖得主帕特里克·布鲁诺 （Patrick Bruno），他指出维尔切克的量子时间晶体模型与李统藏等人的量子时空晶体理论在有限温情况下不能成立[4]，他称之为时间晶体的“不存在定理”；后有日本凝聚态物理理论专家渡边悠树（Haruki Watanabe）等，他们从时间维度上的长程序出发，证明了有限温平衡态情况下，只具有短程相互作用的多体物理系统，在热力学极限下不存在量子时间晶体[5]。仅仅诞生数年，时间晶体这一优美的物理模型，似乎就要被各家严谨的分析论证彻底否定了，但优美的模型总是冥冥之中被垂爱着的。尽管渡边悠树等人否定了能够在平衡态物理系统中找到量子时间晶体，但其论证无法否定受到周期性调制的非平衡态系统中量子时间晶体存在的可能性[5]。基于此，一种被称为离散时间晶体的模型被发明了出来，并在随后的几年以惊人的速度蓬勃发展。

2015-2018：走向现实

尽管破缺连续时间平移对称性的量子时间晶体模型遭遇了极多困难，但自2015年克里斯托弗·萨查（Krzysztof Sacha）第一次明确地引入离散时间对称性自发破缺这一概念以来[6]，离散时间晶体理论的发展呈现一片欣欣向荣。以诺曼·姚（Norman Y.Yao，2019年美国物理学会瓦利奖得主）、维迪卡·凯曼尼（Vedika Khemani，2020年美国物理学会瓦利奖得主）以及多米尼克·埃尔斯（Dominic V. Else）为代表的凝聚态科学家，从不同角度出发，最终完成了自旋系统中离散量子时间晶体模型的构建。

在介绍他们理论之前，我们先聊聊对称性自发破缺，它是指大自然从一个物理系统所有允许的运动方程的解中特意挑选一些性质特殊的解。此时尽管物理系统本身的拉氏量（哈密顿量）具有某些对称性，但系统运动状态及可观测量的行为却具有更小的对称性。具体到离散时间晶体而言，在周期性驱动（弗洛凯）系统中，系统哈密顿量具有以 为时间周期的离散时间平移对称性，然而，离散时间晶体的可观测量却呈现为 为周期平移对称结构（为大于1的正整数），我们称之为“倍周期”行为。不仅如此，这个“倍周期”行为是稳定的，面对多体系统的子系统热化、驱动周期的扰动、相互作用强度的扰动等，离散时间晶体总能保持其特立独行的动力学[7, 8]。

图2 离散时间晶体概念示意图：一维1/2自旋链构成的时间晶体。系统的哈密顿量具有以时间T为周期的离散时间平移对称性，使得T时间自旋链完全翻转。因此可观测量具有2T的离散时间平移对称性。丨来源：Physics World

尽管周期性驱动系统当中可能存在量子时间晶体这一猜想早在2015年就已埋下伏笔[5]，一个棘手的问题却一直横亘在该方向的科学工作者面前：带有驱动的相互作用多体自旋系统，大多服从热本征态假设，在演化过程中迅速地发生子系统热化并被加热到无限温态，以至于无法观测到稳定的离散时间平移对称性破缺现象[8, 9]。因此，长期关注可以规避量子热化的多体局域化理论的诺曼·姚[7]，研究驱动自旋系统相结构的维迪卡·凯曼尼[10]，和研究对称性保护拓扑相的多米尼克·埃尔斯[11]自然成为了这一领域的领跑者。他们都将注意力转向了一类带有多体局域化性质的驱动伊辛自旋链，单个周期T内驱动过程分为施加带有失序的自旋1/2纵场伊辛模型和与之反对易的泡利X翻转算符构成。由于该模型与一种具有马约纳拉π模的拓扑物相之间存在对应，这一模型又被称为π-自旋玻璃[8]。对于制备在直积态上的自旋链而言，我们可以发现，尽管弗洛凯演化算符具有T为周期的时间平移对称性，系统的每一个格点的磁化率，却总是在2T后才能回到初始状态，这也意味着这个系统的确发生了离散时间平移性对称性破缺。此外，该模型还具有良好的性质：除了失序的纵场伊辛模型自身对相互作用扰动的容忍外，由于涌现的Z2对称性的存在，该模型还容许在翻转算符X的强度上有一定偏差。许多工作分析了该系统的长时间动力学与热力学性质[7-13]，上述理论工作表明：一个可以实现的离散时间晶体模型似乎已经被找到。

图3 离散时间晶体实验图，离子阱、金刚石色心系统和核磁共振系统。图上层：利用激光囚禁的镱离子，金刚石中的随机杂质和磷酸二氢铵晶体。中层：离散时间晶体磁化率的动力学。下层：离散时间晶体的次频响应特征（即“倍周期”特性）。丨来源：A Brief History of Time Crystal

在实验平台上检验此理论自然就水到渠成了。如图3所示，2017-2018年两年间，来自马里兰大学的离子阱实验团队[14]、哈佛大学的金刚石色心实验团队 [15]和耶鲁大学的核磁共振量子平台团队[16]分别在《自然》、《物理评论快报》等顶尖刊物上报道了他们实现离散时间晶体并观察其 “倍周期”行为的工作。这一消息不仅使得学界振奋，大众媒体也争相报道。但是在一派热闹气氛下，学界的争议却并未停止，甚至在随后的时间里引发了更大的波澜。

2018-2021: 风波再起

离散时间晶体实验出现后，最主要的质疑是：这些被制造出来的离散时间晶体，是否真的是性质良好、永不热化的多体局域化时间晶体，还是其中掺杂了其他的动力学机制[8]？

金刚石色心实验与核磁共振实验存在的问题最为突出。在金刚石色心实验中，尽管具有较强的失序，但是其相互作用形式——三维长程偶极相互作用——与多体局域化并不相容。实验组也承认这是一种最终还会热化的“临界时间晶体” [17]。核磁共振实验则完全没有失序，因此不属于多体局域化保护的离散时间晶体。维迪卡·凯曼尼与其博士导师希瓦吉·桑迪提出，核磁共振版本的时间晶体基于一种被称为“预热化”的机制[8, 9]。在预热化系统中由于存在一些对称性和准守恒可观测量[9, 18-20]，其热化过程将会被抑制，因此提供了可以观察离散时间晶体行为的窗口时间。但预热化系统存在种种限制，比如预热化机制只能保护一些接近系统基态的低温态的动力学，只能保护系统在指数时间内不完全热化等，较之近乎永不热化的多体局域化系统仍显平庸。打个比方来说，如果说多体局域化系统是度过天劫永生不灭的金仙，那预热化系统只算是刚刚结出元婴，比一般量子系统活得长些而已。维迪卡·凯曼尼与希瓦吉·桑迪还提出了检验预热化离散时间晶体性质的方案。其中不少论断被马里兰大学的离子阱实验团队在预热化离散时间晶体的实验中证实，该工作随后发表在《科学》杂志上[20]。笔者也与中国科学技术大学朱晓波老师团队，在超导系统上完成了类似的弗洛凯预热化机制的实验 [21]。

随后，争论的焦点就转移到了离子阱版本的离散时间晶体上，由于具有失序和多体局域化相容的相互作用形式，该工作曾被一度认为是首个多体局域化离散时间晶体工作。但是由于该实验的模型在数值试验中展现出初态依赖性，以及实验中自旋链长度较短（只有10个），支持多体局域化的证据并不充分。2021年9月1日，维迪卡·凯曼尼等人正式向诺曼·姚等人发难[22]，从有效哈密顿量形式、尺寸效应和边界条件等数个问题质疑姚等人的理论模型。维迪卡·凯曼尼等人指出，此前离子阱上的实验虽然具有多体局域化必需的失序，但是其单格点上的失序并不能在弗洛凯动力学中扮演阻止其热化的角色。他们通过对两周期演化算符分析，发现可以通过反对易关系精确地消除有效哈密顿量中的失序，因此该系统在演化过程中并不能产生弗洛凯多体局域化的效果[8, 22]。因此，离子阱上的实验也可以被视作一个预热化机制保护的离散时间晶体。维迪卡·凯曼尼等人也列出了他们数值结果，根据离子阱上的实验设计，该离散时间晶体并不能遍历所有直积态，对于一些高温态，系统会在数十个弗洛凯周期中迅速热化，令人无法观察到稳定的离散时间晶体动力学。此外，由于有限尺寸和边界效应的存在，该实验还存在一些漏洞。维迪卡·凯曼尼等人还指出了在诺曼·姚等人模型基础上实现多体局域化离散时间晶体的条件，即相互作用强度也须具有较大的失序，这样才不会出现有效哈密顿量中没有失序的情况。

两周后的9月15日，诺曼·姚等人做出了回应[23]，他们把维迪卡·凯曼尼等人的模型称为KMS（Khemani-Moessner-Sondhi）模型，将自己的模型称为YPPV（Yao-Potter-Potirniche-Vishwanath）模型。诺曼·姚等人通过数值实验展示了对于足够小的可积性破坏横场，他们的系统确实可以使任意直积态保持振荡。但是诺曼·姚等人也承认，对一些“捣蛋”的初态，他们模型的周期性振荡振幅会比较小。进一步地，通过有限尺寸的外推和对边界条件的分析，姚等人坚持他们的观点，他们的离散时间晶体实验并不是仅仅由于预热化效应所造成的，而是确实是具有量子多体效应参与的。在2021年早些时期，诺曼·姚等人在金刚石色心系统上又设计了一种多体局域化离散时间晶体的实验[24]，实验现象显示无初态依赖，并且能够维持800个弗洛凯周期以上，较离子阱的实验更具有说服力。

综合上述质疑与答复，笔者认为，诺曼·姚等人的模型并没有完全展示真正的多体局域化离散时间晶体行为，但是众多现象也显示了此系统的确有一部分量子多体效应参与。这场学术角斗谁赢谁输，还没有到可以下定论的时候。

利用数字量子模拟中制造多体局域化时间晶体

其实在2020年6月，维迪卡·凯曼尼和希瓦吉·桑迪等人已在预印本网站arXiv上挂出来，他们打算在谷歌超导量子处理器悬铃木上实现多体局域化离散时间晶体的方案[25]。一年以后，谷歌团队以KMS模型为基础实现了离散时间晶体，2021年11月30日《自然》杂志在线发表此工作[26]。该实验相较之前的所有离散时间晶体方案来说具有很大的进步。

首先是自旋链的长度：谷歌团队使用了链状的20个超导比特实现时间晶体，从而真正进入了量子多体系统区域，使得尺寸效应和边界效应的影响足够小。其次，完全使用数字量子模拟来实现多体局域化时间晶体的哈密顿量，即完全使用量子门电路“拼”出来想要的哈密顿量。这比之前使用量子比特之间原生相互作用的类比量子模拟方案，具有更大的可操控性，但是其实现更为困难。在谷歌的实验中，他们使用单比特门和两比特的费米子模拟门来实现多体局域化时间晶体的哈密顿量。为避免预热化机制的干扰，谷歌团队对完全极化的初态，尼尔态以及随机的二进制字符串态都进行了实验。实验结果显示，他们的系统不仅展示出了离散时间晶体的“倍周期”动力学，也确实满足弗洛凯多体局域化不依赖于初态的特性。此外，他们还测量一个新的可观测量——自旋玻璃序参量[25, 26]，这个序参量的随着系统尺寸的行为展示了其确实满足 -自旋玻璃特性。因此该实验从方案设计上的确是目前最为满足多体局域化离散时间晶体要求的。利用辅助比特测量自旋时间关联函数的方法也较之前的实验更严谨。

图4 谷歌时间晶体实验示意图。(a)：制造离散时间晶体的过程，将系统初态制备到二进制字符串态。通过数字量子模拟方法，用量子门电路模拟离散时间晶体的哈密顿量，并在结束时读取其Pauli-z算符的期望。(b)：对于不同初态和失序取平均的离散时间晶体动力学。(c)：热化系统的行为和多体局域化离散时间晶体行为的对比。(d)：通过回声线路进行降噪后获得的无退相干影响的离散时间晶体动力学。丨来源：谷歌离散时间晶体预印本Observation of Time-Crystalline Eigenstate Order on a Quantum Processor

该实验也展示出谷歌超导量子计算团队优秀的技术能力。在实验前，谷歌团队对费米子模拟门进行了精细地交叉熵基准测试和弗洛凯校对。并且在实验后通过回声线路进行降噪处理，极大降低了实验中超导量子比特退相干带来影响，使得实验数据更为漂亮。需要指出的是，我国量子计算实验团队也做出了自己的贡献——北京量子信息科学研究院于海峰团队在超导比特系统上，通过类比量子模拟成功实现了基于YPPV模型的离散时间晶体[27]；浙江大学王浩华团队实现了一类基于对称性保护拓扑态的边界时间晶体[28]。除此之外，还有不少离散时间晶体模型等待进一步发掘，诸如经典预热化离散时间晶体[29, 30]、基于元胞自动机的离散时间晶体[31]， 等等。离散时间晶体从奇思妙想一步步演变为严谨周密的物理模型，对量子模拟和新颖量子物质领域影响巨大，并促使凝聚态理论物理学家和量子物理实验科学家联起手来，探索更多有趣的人造物态。

未来可期

2021年9月，诺曼·姚、维迪卡·凯曼尼、多米尼克·埃尔斯和渡边悠树四位理论科学家共同获得“科学突破奖”，标志着离散时间晶体这一新领域获得了更广泛的认可。2021年底，谷歌量子计算团队所实现的离散时间晶体实验，被美国物理学会（APS）Physics和英国物理学会（IOP）Physics World评为年度物理学突破之一。对离散时间晶体的研究，刷新了人们对了周期性驱动系统、多体局域化、预热化以及量子热化过程等领域的理解，并促使更多不同领域的科研工作者投身其中。从离散时间晶体的发展过程可以看出，科学探索在大多数时候都不是一番风顺的，需要否定之否定，以及学术上针锋相对的论战。在科学探索中，有创见的错误比平庸的正确更有价值，因为错误中可能孕育着新的思想。时间晶体正好赶上了量子计算技术突飞猛进，才得以在短时间内获得迅猛发展而非被埋没。这引发我们深思：理论和实验应当如何看待彼此，应该如何合作，才能推动一个科学领域不断前行？

参考文献

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原标题：《时间晶体: 构想、争议与实现》

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