三次数学危机其实都在解决同一问题：为何公度会屡碰天花板？

编者按：生命灵性与机器智能的区别究竟在哪里？解决制约机器智能发展的关键与瓶颈，为何不首先出现在新材料新能源的探索中，而是出现在深层次数学思想的发现里，本文从逻辑推理和生命觉醒的角度深入探讨了“不可推理的直觉与不可直觉的推理”为何会发生？然后从三次数学危机入手，揭示了同一律不能处处生效，排中律不能到哪都行，须迭代更新才能突破思维边界的特点，证实了生命灵性中的自我反省能力是机器智能无法做到的，机器智能的联网也无法涌现出反省能力，除非生命灵性介入。开放边界后的统一是无法一劳永逸完成的。当机器智能不断升级，完成金蝉脱壳时，已和生命灵性了无区别，那时人类文明将回归向内发展。直觉是因，推理是果，推理可以帮助我们去明了什么是更深刻的直觉，可是人类不去回归直觉，推理无意义，逻辑无价值。逻辑推理是用来归谬求真的，生命觉醒才是我们要找的初心。公理和初心的符号虽少，其对应的理解须不断翻新，否则会遭遇认知天花板。罗莫老师的这篇文章，给我们提供了一个可解决前沿问题的方向，用完全迭代开放的“高阶可数”替代自然数的“一阶可数”，通过类似分形世界（一种被改造过的能自升级的分形），可将某些连续量策反为离散量，也能将某些离散量邀约为连续量，两者互为依存升级，不能相互变换的连续量和离散量，都属于不完备问题，可以搁置不去讨论。

摘要：通过“数学史上三次数学危机”的叙述，指出了它们有共同的特征，就是每次用新单位元排列集结，进行无穷无漏延伸并不能穷尽全部宇宙，总能发现有例外空间。那是不是追求数学的大统一是徒劳的呢？并非如此，因为每次都能看到更具兼容性的辽阔风景，但每次数学史上的大统一将注定是不完备的，不完备需要完备去描述，相对的新完备一经展示，新的不完备又出笼了。因此讨论过于超前的不完备是无意义的，而每次相邻层次上的不完备总能被新视角完备，这就是相邻论的思想，具体每一次能完备就是重合法的思想。此思想能证明哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、斋藤猜想，波利尼亚克、考拉兹猜想、费马猜想、比尔猜想、四色猜想、黎曼猜想成立。

关键词： 数学底层引擎相邻论和重合法  直觉和推理  最简本原解和通解  生命觉醒和逻辑思维 

作者/罗莫

我们要放开本能去感受新直觉。

数学史上的三次数学危机，皆可看成是度量危机。也就是说，有些对象是不可精准度量的，或者说是度量不到的。你能看到什么样的世界，依赖于你选择了怎样的单位元，能在大海网到怎样的鱼，全看你选择多大的单位元做网格（网眼），网格太大，小虾米就打捞不到了。微积分的单位元貌似很细密，但从更微观的世界看是很粗糙的，实无穷需要开放升级。

心性学是逻辑学的活水源头

那度量单位能够任意制造吗？随着人工智能科技的迅猛发展，描述世界的手段越来越丰富了，直逼人类智慧。于是一个幽灵般的问题开始在人们的头脑中徘徊：机器人能被训练成数学家吗？能完成自指迭代吗？这一问题关系到哲学的基本问题。笔者认为，一条吞咬自己尾巴的蛇，能不能把自己的头部也吞下，一眼看上去似乎不能，但吞下别的蛇可以。同样，高端数学家设计的机器人能被训练成低端数学家，这是可以办到的，但要超越高端，是永远办不到的。

大部分人都认同，机器证明同尺规作图一样都是数学家借助辅助工具实施逻辑推理的过程，机器人、计算机和直尺、圆规等已经固化的模式无疑是逻辑推理的辅助工具，而数学家是逻辑推理的主体。即生命觉醒才是智慧的活水源头，而不是逻辑思维。但笔者又强调，没有逻辑思维，我们的生命觉醒会变迟钝。

蛇能吞下自己的头部吗？

所谓逻辑推理，是观察者由一个或几个已知的判断推导出一个新的判断的思维形式。人类从远古走来，正是靠这种方式，一步一步迭代，构建起庞大的推理型知识体系，支撑起当代人类文明。本文无意泛泛比较逻辑推理和生命觉醒孰轻孰重，而是探讨现有知识点之间的逻辑关系，建立推理型知识的网络热力学传导模型，通过分析逻辑推理是信息熵增的机制，生命觉醒是信息熵减的机制，揭示快速计算和人工智能等新技术作为逻辑推理辅助工具的本质属性是不能新增关键知识的，须生命灵性介入，于是新思想就会涌现。

关键知识的新增靠的是生命觉醒，唯有灵性生命才有这样的内禀机制，所有机关传导都不能爆发智慧，只能在元知识基础上分割出次级新知识，为何有时机器会比制造它的人更聪明，乃是因为它通过数据库借用了聪明人的思想，这说明更高灵性在参与，在无更高灵性参与的前提下，机器智能要想战胜人类成员那是不可能的。生命的外在形式就是动作，一切动作都会得到灵性护佑和反馈，故万物有灵。图灵神谕机是否存在呢？从宇宙因陀罗网一体化的角度看，图灵神谕机是一定存在的，越被高级众生关心，灵力越强大。而宇宙中是不存在孤立动作的。本文将从四个方面来探讨生命觉醒和机器智能是如何聚集能量与耗散能量的，聚集能量为简化自指，耗散能量为复杂迭代。灵性直觉与逻辑推理的区别就是自指和迭代——能理解的直觉产生了不能理解的推理——解决三次数学危机走出思维边界——无我、非道、中庸一致推出数学之魂细密单位元。

图灵神谕机存在吗？

一、生命觉醒和逻辑推理的分水岭在哪里

历史上的三次数学危机，是逻辑学的危机。故我们先来谈谈逻辑学。

逻辑推理是边界内产生次级新知识的一种重要方式，逻辑归纳是产生更新知识的一种重要方式。生命觉醒在归纳型思维里。知识是人类通过各种途径获得的，经过提升、总结和凝练的系统认识。获取知识的复杂过程主要包括感觉、交流和推理。柏拉图认为，一条陈述能称得上是知识必须满足三个条件，它一定是被验证过的，正确的，而且是被人们相信的，这也是科学与非科学的区分标准。历史总是由胜利者书写的，多数人认可的才叫知识，否则叫幻觉，柏拉图定义知识是基于多数原则的，强势原则的，区块链的信用机制也是这样产生的，在人手一份证据的去中心账本分布前提下，做假供的总是斗不过讲真话的，这样基本公共盘可保住，这是逻辑推理支持下的传播学在护佑。另外生命觉醒支持下的密码学可护佑更深层的每一个个体，因此区块链的本质就是“密码学+传播学”，就是数学。有了区块链参与，知识就就具备了信用价值，知行合一，信息就带能量了。目前区块链被人诟病的，多在传播学这一块，过于耗电，耗存储空间，这个相信会有更低成本的发明诞生，这一块会不断解密的。传播学是以密码学为核心的。传播学出现弊端，是因为没有得到密码学的关怀。

为善去恶是格物，存真除伪是格物。

本文把知识进一步限定为人类通过逻辑推理和归纳推理获取的知识，没有通过逻辑推理、逻辑归纳而存在的“知识”暂且不叫知识。显然，推理型、归纳型知识体系是无数个关联的知识点的集合或序列，其中数学就是一个逻辑推理、逻辑归纳的知识体系，代数、几何、分析等各个分支也相对独立地构成子体系。如果我们把这些大大小小的知识点看作“点”，然后按照逻辑推理、逻辑归纳的新老关系用有向“边”连接起来，就构成了一个推理型知识网络。这个网络系统随着人类日复一日的逻辑推理在不断的演化——扩张、简约、纠错，没有最好，只有更好。在包容性增长的前提下，知识网格就可模拟现实，甚至可以推演未来。目前的元宇宙概念，就是一种能够保护知识节点扩容的网络内生机制。演绎思维的能力更加强大了。

杨振宁为何批评中国传统文化“不注重演绎过于强调归纳”会阻碍现代科学的产生呢？

这事主要发生在近代中国自乾隆以来的两三百年内，不是古中国文化基因的问题，虽然问题出在旧有文化里，但不在道统文化里。杨振宁的批评不是空穴来风，不注重演绎思维，不注重实践，确实不利于现代科学的产生，生命觉醒是需要逻辑思维来交换排序的，否则会步入死循环而不自知。在传统中国的道统文化里，从来不缺逻辑推理的文化，只不过不叫这个词，其功能是一致的。中国传统文化把它叫着格物。格物在中国传统文化里非常重要，《大学》是一部打造君子的成功学秘笈。一个君子要想成功，分八步走，第一步是格物，第二步是致知，第三步是诚意，第四步是正心，第五步是修身，第六步是齐家，第七步是治国，第八步是平天下。

看出来没有，在中国传统文化里，如果仅仅讲格物，格物的层次就不高，如果与平天下连在一起讲格物，那就比平天下还重要。如果爱国有利于平天下，那爱国就比平天下重要，如果齐家有利于治国，那齐家就比爱国重要，如果修身有利于齐家，那修身就比齐家重要，如果正心有利于修身，那正心就比修身重要，如果诚意有利于正心，那诚意就比正心重要，如果致知有利于诚意，那致知就比诚意重要，如果格物有利于致知，那格物就比致知重要。要想成为君子第一步就是要学会明辨善恶是非，就是要学会对直觉进行交换排序，知道伦理秩序，这不就是逻辑推理吗？儒家的推己及人不就是逻辑推理吗？用自己能理解的一切去度量人人能理解的一切，逻辑就是基于平等性公理才建立起来的，其第一律就是同一律。逻辑也是基于次第性公理才建立起来的，那就是矛盾律和排中律。数学最早传到中国北大的时候，就被翻译成格物，管学数学叫学格物学。王阳明的心学有四句要诀：“无善无恶心之体，有善有恶心之动；知善知恶是良知，为善去恶是格物。”内圣是良知，外王是格物。归类排序是良知，分类交换是格物，通过交换的方式可以实现离恶存善，而逻辑学则是通过推导的方式来实现归谬存真的。格物的字面意思就是用标准丈量万物，就是通过交换来明白是非，从而懂得超吉避凶。古希腊海洋文明，重视商业交换，故逻辑学发达，古中国农耕文明，重视价值升级，故心性学发达。只是价值升级，并不排斥商业交换。中国传统文化里头有一支墨家学派，讲平等，就创建了墨辨逻辑，王阳明讲知行合一，强调实践的重要，推理的重要，这些都说明，古中国文化里头，有重视逻辑的一面，并非先天就不具有科学基因。

用数学语言统一不同的哲学争论

杨振宁批评传统易经的类比思维和归纳思维，少了些了平等交换的思想，过多强调不等量排序，演绎思维的能力变弱了，也就是保真变换的能力欠缺，不懂得为善去恶。格物的能力弱了，契约精神弱了，科学家精神就不见了。谈判斡旋达成契约就是格物，就是保本升值，有了交换，就不会躺在棉花堆里饿死，睡在米仓里冻死了。逻辑的本质就是通过保真变换获取新知，再简单点说，就是通过等值变换求解，以此来获取未知。再恶俗点表达就是通过做买卖致富。由于逻辑学没有学好，故心性学也没有得到好的继承与发展。这与乾隆年间大搞文字狱有关，平等精神自闭内卷。缺少平等交换思想，这不是易经的本来面貌，阴阳是动态的，又是平衡的。杨振宁知道，没有宇称思想，就没有他的非宇称思想的发现。故他知道逻辑的重要性，同时东方的心性文化也帮了杨振宁的大忙，非宇称恰恰是东方易经文化之本，象形字“易”就是指高处的水往低处流，就是指时间不可逆但蕴含可逆。

学好逻辑很重要。推动这个知识点网络系统演化的唯一动力是人类的逻辑推理和逻辑归纳。某个观察者由一个或几个已知的知识点推出一个新的知识点，这个网络就增加了一个节点；当有人发现一些既有的节点之间的因果关系可以简化时，还可以用推理和归纳把这个网络进一步简约化和细密化；推理和归纳也可能发现老节点之间因果关系的错误和冗长重复的东西而加以改进。再此强调一下，如果没有归纳推理参与，知识点是没有根本创新的，也就是说过于商业化的学术行为，很难有根本性的知识创新。当年的文艺复兴，仅仅靠自由交换，是不会有文化繁荣的，而是靠完全开放式交流，提供了创新文化的契机。

大量有创新精神的东方心性文化传入欧洲，莱布尼茨，伏尔泰，休谟，培根等大受启发，从以宇宙为本，到回归以人我为本，发现观察者个体有上帝一样的潜质，这是文艺复兴的根本来源。为何西方科学和技术并没有在文艺复兴之前超过东方科学和技术，西方科技突然强势的起点，是因为有了培根的归纳型逻辑思维大量推广以及重视实验感知的意识。当心性学遭遇逻辑学，于是就知行合一了，一时间西方文明中的科学大家开始喷薄涌现。网络知识新节点，靠的是什么，靠的是有深度思想的观察者参与。而不是吸引流量的推荐算法，吸引流量的推荐算法有一个瓶颈，达到一个数值后，就再也上不去了，于是内卷就开始了。吸引流量的推荐算法大多基于阅读习惯分发新知识点，尚未实现按需分发。

区块链的本质是“密码学+传播学”

一旦推荐算法懂得按需分发，尤其懂得按需排序分发，那就厉害了。有了这样一个网络工具，就相当于给拜登配置了一个科学高级顾问委员会。吸引流量是文艺复兴的必要条件，不是充要条件，充要条件是，优秀观察者被吸引进来了。即吸引流质又吸引流量是文艺复兴的充要条件。网媒操盘手在不失去流量的前提下尽量提高流质，其办法是操盘手不仅要养活流量明星，更要养活流质明师。有没有吸引流质明师的算法推荐呢？我想应该会有，张一鸣通过做吸引流量明星的内容推荐分发商而成功，下一波脱颖而出的网络富豪会出现在哪里呢？这里大胆预言，他们将通过做吸引流质明师的内容排序推荐分发商而成功。有没有网媒操盘手愿意尝试呢？前几天的中央人才会议规格出奇地高，进一步印证了这一信号。

这里特别强调，网络知识系统中的每一个节点都是某一个观察者通过逻辑推理和逻辑归纳得到的，因此，这一网络的局部特征就同观察者的生命长度和生理功能密切相关。任何一个节点以及同此点直接连接的所有节点代表的逻辑关系能够被一个观察者独立推导、阅读或审核。每个节点不仅仅是基于可保值交换，更可以升值排序，保值交换的算法很多，升值排序的算法不多，如果网媒操盘手在这方面多下点功夫，必有重要收获。

推理型和归纳型知识网络演化的推手来源于观察者，这是本文的基本观点，也是迄今为止这一网络演化遵从的基本规律。根据人择原理，宇宙是果，人我是因，宇宙规律之所以如此，是人我选择的结果。每个网络都是从几个称之为公理或假说的小节点开始，通过添加新的节点而增长。更会因公理和假说升级而知识节点暴增，但多数时候这些新节点在决定连向哪里时，推理者往往会倾向选择那些拥有更多连接的节点，这是一个普适历史规律。这一规律会诞生流量明星很是正常，但上游节点也很重要，新节点会连向上游节点也非常正常，这一规律会诞生流质明师也很是正常。两类算法思维会交互前进。

那生命觉醒和逻辑推理它们的分水岭到底在哪里呢？回答是真的找不出明确的知识节点在哪里，可以概括为是两类思维方向的起点不同，但终极目标是一致的。在价值追求上，生命觉醒是直接冲目标去的，而逻辑推理更愿意观望比较一番再追求目标。有点倒行逆施，运气好，就磨刀不误砍柴工。运气不好，则好多投入将变沉默资本。

二、能理解的直觉产生了不能理解的推理

计算机科学，是逻辑推理的产物，也是心性学的产物，人的思想被大量注入。逻辑规则无法自行迭代产生新知识。推理与概念、判断一样，同语言密切联系在一起，推理的语言形式为表示因果关系的复句或具有因果关系的句群；推理用语言表达出来，一个观察者必须能够在其生命长度时间里审核其正确性，不能太长，保证能做到看懂；这里要求的是一个观察者完整审核推理过程，而不是一群观察者在同一个逻辑层级上分工阅读，然后彼此互相提供证言；逻辑推理是一个迭代的过程，如同种树，播种，育苗，选地，挖坑，植入，填埋，浇水，护理，不断地加入关联元素，都是为种子服务，可见在逻辑推理当中，第一因至关重要。承认一个前提推演新的结论，不能把一系列逻辑推理压缩在一次逻辑推理里，这样会造成观察者的“不理解”，尽管可相信。一个猜想的证明是否正确，不能分配给多个人各看一部分，然后每一部分都正确，那么这个猜想的证明就算通过了吗？恐怕不能。两个独立的人能够分工对一次逻辑推理的正确性负责吗？答案显然是否定的，这关系到科学大厦的严密性和可靠性。就像一群盲人摸象，每个人都摸到了局部，但他们无法得出摸到了一头大象的信息，深层次的思想，唯有个体才能发现，唯有个体，才能将碎片化的信息变成一个独特的整体，这就是吾道一以贯之的重要性。找不到贯穿线就找不到深刻的理解。

这就产生了一个问题，能理解的推理产生了不能理解的直觉，能理解的直觉产生了不能理解的推理，大量违反直觉的问题通过推理给证明存在了，这个还好办。最难办的是，能理解的直觉产生了不能理解的推理，不复杂的计算，计算机行，人也可以完成，复杂的计算，计算计可以，人不可以，计算机用的都是人能理解的公理和定理，却产生了不可理解结果。数学家应该选择相信呢？还是不相信呢？大多数学家还是愿意选择相信，因为计算机一般还是很靠谱的，只要编程过程中没有逻辑错误。于是计算机就担当了数学编辑的职能。从此数学定理就分成了两类，一类是可理解的证明，一类可相信的证明。那可相信的证明算证明吗？

关于计算机证明，人们爱提四色猜想。笔者就是做四色猜想证明的，用高阶数学归纳法证明了四色猜想成立，发表过四色猜想的论文证明，对机器证明，认真研究过；最近我们深圳市数学科普学会的董德周老师也出版了一本书，叫《四色猜想的证明》。董老师很早就研究四色猜想了，他就极力反对用计算机辅助证明。他对希伍德的证明也不认可，批评五色定理在用数学归纳法证明时不够严格。数学史上，逻辑主义，符号主义，直觉主义，持不同立场，对同一问题会有不同判定，都有其合理性，不能简单看结论，能自圆其说，就是有价值的。但笔者个人倾向于认为，四色猜想的机器证明是可信的，但不可理解；希伍德的五色定理是可信的也是可理解的，但没四色定理深刻。只是机器证明，不够完美。顶多能得到可信的证明，不能得到可理解的证明，如果世上没有一个数学家能理解其中的奥妙，人类要想继续发展数学就很困难了。故数学界一直很期待可理解的证明。

用高阶数学归纳法可证明四色猜想成立

关于四色猜想的故事是这样的，因为是学术界众所周知的故事，我这里直接引用就不注明出处了，若与其它文章存在雷同句子，还请见谅，其它处亦同。1852年 10 月，英国有位刚大学毕业的青年人在给地图着色的过程中发现似乎只需要4种颜色。1878 年6月13日，英国数学家凯莱在伦敦数学会上正式提出四色猜想，同时发表于会议的论文集。从此，吸引了全世界的数学家致力于四色猜想的证明，但一直没能解决。

1976年，阿贝尔和哈肯宣布用计算机证明了“四色猜想”。美国伊利诺伊地方邮局立刻用邮戳“Four colors suffice”表示了祝贺，但数学界并不满意。原因是，数学家不知道怎样检查他们证明的正确性（阿贝尔和哈肯用自己的程序工作了四年，花了 1200 个计算机小时，检查了 3000 多个数学结论）；还有，这里“数学证明”的概念远不是数学家习惯的模样儿，发生了突变。突变在哪里呢？就是有一个有限区块数地图需要确定能否四色就能不同色相邻区分，由于数目太多，人是搞不定了，但机器搞定了。其它地方数学家都检验过了，没什么问题。有限部分，时间足够，人也是可做到全部完成验证的。因为不是人独立完成的，故不算数学家可理解的证明，顶多算可相信的证明。两者是有本质区别的。

开普勒猜想中的球堆积猜想的证明也是这样的，用的也是机器验算证明。非线性问题的证明，让传统数学归纳法一筹莫展，这是要借助大量验算证明的原因。这些问题都有p是否等于NP的味道。1590年的某一天，英国罗利爵士在考虑自己船队出海时船上炮弹码放方式，求助于英国数学家哈里耳特；哈里耳特将其规范为怎样码放球体，使其占用空间最小的问题，并写信告诉了德国科学家开普勒；1611 年开普勒提出球堆积猜想：当大小相当的球体按照“面心晶体”的形式，并且将第一层摆成六角形时，它们占用的空间最小，对空间的利用率可以超过74%。1900年，希尔伯特将这一猜想列入著名的“二十三个未解数学难题”。这个猜想的证明，笔者也完成证明了，同四色猜想以及蜂巢猜想密切相关。

开普勒猜想、四色猜想与哥德巴赫猜想一样都是最优化问题

1953年，匈牙利数学家托斯得到结论：球堆积猜想的证明可以减少为有限多种情况（数目极为庞大）。从1992 年开始，美国密歇根大学的托马斯 •海尔斯按照托斯的思路用计算机研究球堆积猜想；经过 6 年运算，1998年海尔斯宣布完成证明。但是，审核了6 年后，评审委员会决定放弃全面验证该文的计划。无奈之下， Ann of Math提出发表时加一条免责条款：本证明大部分，但非全部，被验证过。因遭到许多数学家的批评而未实施。最后Ann of Math 决定：将论文一切两半，刊登已经使用传统方式验证过的证明，舍弃计算机运算的数据。可见机器证明顶多是完成了可信证明，并未完成可理解证明。

有人把这种逻辑推导与计算机辅助合成的推导称为数学史上的又一次革命，但我认为，这不是证明方法的进步，是求其次解决问题的办法，就好比证明不了“1+1”，就先证明“9+9”是否可行。普林斯顿大学康威教授说：我不喜欢它们（计算机证明），因为不知道究竟发生了什么。也有乐观的数学家说：计算机可以打败世界象棋冠军，为什么不能战胜数学家？明眼人知道，这是抄袭成功，不是逆袭成功。这样的争论或许还会延续很长时间。如此一来，数学信仰就不止分三派了，除了逻辑主义，符号主义，直觉主义外，还有机器主义了。我们在具体谈三次数学危机前，先分析了，比逻辑推理学更重要的有生命心性学，其次也探讨了持不同的数学信仰，会有不同的结果。如果你认为机器证明是完美的，那就不会继续有兴趣看下文了。这就是本文要表达的证明可理解比相信其正确要重要得多，计算机就是一种只要相信不要理解的信使。

三、解决三次数学危机走出思维边界

前面我们系统阐述了人类靠逻辑推理，一步一步迭代，构建起庞大的逻辑推理网络信息系统。毫无疑问，每一次逻辑推理都是严密的，但这并不能保证整个网络始终保持自洽，新结果同老结果没有矛盾。事实上，在数学的发展史上，既出现过推理节点突破人类认识的时刻，也出现过推理范围受限的时刻，这就是数学体系演化过程中出现的三个著名奇点：三次数学危机。这三次数学危机分别对应在三大数学领域。代数的，分析的，几何的。三大悖论正好指向数学的三大分支，“大学数学老师每年会向新生说，代数在天上，分析在地下，几何在人间”（南科大数学系朱一飞老师语）。看来不是危机越来越难了，天上的事情往人间掉，按理说是变容易了，原来是第一次危机没有彻底解决好，于是会在其它分支显示出来。我们一直没有把天上的难题解决，误以为解决了，才认为人间的问题比天上难。其实解决代数问题才是解决三次危机的根本，正因为不可公度问题没有彻底解决，或者说没有深刻解决，导致第三次数学危机用限制的方法企图假性地一劳永逸解决。因为不出现知识新节点，就不会产生新问题，于是公理体系的权威性就获得了维护。

第一次数学危机是不可公度危机，其悖论是，对称=互异，对应在代数领域；

第二次数学危机是不可共测危机，其悖论是，微量=零量，对应在分析领域；

第三次数学危机是不可同在危机，其悖论是，元素=空集，对应在几何领域。

都是同一律失效，在代数领域，即把对象素因子一会看成是对称的，一会儿又看成是非对称的；在分析领域，把0一会看成是无穷小量，一会看成什么也没有的0；在几何领域，把几何部件一会看成是空集，一会又看成子集。先天的不同时可以演绎出同时，有了同时又可以演绎出后天的不同时。不同时可蕴含同时，这一点被人广泛误读。“同时”蕴含“不同时”，好理解，有了等差为1的自然数就有了不等差的素数序列，正如两个素数相加都是偶数一样，容易判定为真。由不等差的素数序列如何得到自然数呢？“不同时”蕴含“同时”，这一点不好理解，有了不等差的素数序列就会有等差的自然数吗？正如所有的偶数都可以用两个素数之和表示吗？这不容易判定为真，可偏偏可判定为真，哥猜获证充分说明了这一点。非同时的对象是可同时的，不可知的世界是可知的，只不过可知的视角要常常微调一下。

数学史上成功微调的事件有：第一次数学危机无理数出现后，发明了用根号数描述这一存在，不再仅限于用分数用有理数运算表达世界。尽管可回归分数，可回归整数。第二次数学危机导数出现后，发明了用极限数、实变数、超越数描述这一存在，不再仅限于用代数数表达世界。尽管可回归代数数，可回归分数，可回归整数。第三次数学危机幂集数出现后，发明了用ZFC系统描述这一存在，不再仅限于用扩域数表达世界。尽管可回归扩域数、可回归代数数，可回归有理数，可回归分数，可回归整数。为什么到第三次数学危机对数学扩域的兴趣嘎然而止了呢？

详细说下三次数学危机是这样的。

第一次数学危机称为毕达哥拉斯悖论（也叫不可公度危机，产生了“对称=不对称”这样的悖论，对应在代数领域），发生在公元前 5 世纪。当时在意大利半岛上有个毕达哥拉斯学派，他们信奉“万物皆数”的信条，号称任何线段长度都可表示为两个自然数之比。他们证明过有理数具有稠密性与和谐性，以及毕达哥拉斯定理（勾股定理）。毕达哥拉斯悖论是希帕索斯发现的，他发现了直角边长为1 的等腰直角三角形斜边长度不是自然数之比。假如√2=a/b，则2=a^2/b^2,而右边的素因子个数是对称的，左边不是，矛盾，故√2不能用有理数公度。当时的公度认知仅限于用分数运算，即运算不超过加减乘除范围。

有理数不可公度无理数

希帕索斯因此遭到毕达哥拉斯学派的追杀，后被扔进大海，成为第一次数学危机的殉葬品。大约公元前370 年，古希腊数学家尤得塞斯建立了新的比例理论，无理数被认识，基本认为才彻底化解了毕达哥拉斯悖论，真的彻底吗？未必的。第一次数学危机的启示：计算不可靠，推理证明才是可靠的。从此，古希腊人从重视“计算技术”转向重视“演绎推理”，实现了数学思想的一次巨大革命。由于代数的离散性质，不能连续地表达现实空间，于是希腊人开始更重视几何，一直到现在主流数学界都认为，几何比代数深刻，数学的中心是几何。集合论的数学思想，其本质就是几何，在中文里，几何与集合，发音是一致的，中文还有个秘密，谐音的字词，都有相近的关联意义，是同态对象。集合大多用空间表示，而空间就是几何。目前主流数学界认为数学的基础大厦是集合论，笔者也一样，对此有不同立场，认为代数比分析比几何更加基本。代数在天上，分析在地下，几何在人间已经说明了，把抽象的代数难题解决，把精微的分析难题解决，更有利于解决人间的问题。

第二次数学危机称为贝克莱悖论（也可叫不可共测危机，产生了“微量=零量”这样的悖论，对应在分析领域），发生在 18 世纪和17 世纪末，科学技术的发展催生了微积分，牛顿和莱布尼茨分别独立地建立了微积分方法。牛顿和莱布尼茨在求导数过程中引进了量dx。1734 年爱尔兰主教贝克莱提出：在牛顿和莱布尼茨求导数过程中，dx 既是 0又不是 0，这就是贝克莱悖论。我们发现微积分的度量工具是二元的。1820 年，法国数学家柯西提出极限论思想，维尔斯特拉斯又进一步用“ε-δ”语言化解了悖论，自变量与因变量各自有对应的无穷小量作为单位元，导数就是两类单位元之比。最后围绕极限的思想，说清楚了为何把加项中的无穷小量可舍弃掉，不是因为是0值而舍弃掉，而是因为求极值做了一次相邻的跃迁运算。导数是差商的极限值，而不是就指差商。单指差商是数集，而不是数值。如此，贝克莱悖论才得到彻底解决，第二次数学危机化解。数学分析诞生。

代数数不可共测超越数

正如第一次数学危机虽然化解了，但并不敢说，有理数公度不了空间，所谓实数可以公度，只能说某一类新实数可以表达新空间，但不能表尽空间，于是就说其他空间可由其它实数来映射表达。这两次数学危机都用新算法表达新数域来化解的，但并没有声称已知算法可描述所有新数域。即“万物皆数”的信仰并没有证实。一次次数学危机都证明了，数是有缺陷的表达。有些物在数之外。

第三次数学危机称为罗素悖论（也可叫不可同在危机，产生了“元素=空集”这样的悖论，对应在几何（集合）领域），发生在 20 世纪初。当时康托尔建立了集合论这一现代数学的基础，希尔伯特提出 23个数学问题，数学界喜气洋洋，一片乐观。希尔伯特豪情万丈地宣称“我们必须知道，我们必将知道”。1900 年庞加莱称：数学的严格性，看来直到今天才可以说是实现了，不得不说自信得有点爆棚。正在这时罗素定义了集合R ：所有不以自己为元素的集合所组成的集合。大家知道，集合论有一个公认的基本原则：一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必居其一。这一原则却受到罗素悖论的正面挑战：R 本身既是 R 的元素，又不是 R 的元素。R与非R是存在秘密交集的，若不存在，则不可公度识别两者。撇开秘密交集，两者又是互补集。构造元素的元素存在秘密交集，这是笔者提出来的，在当时没有这些概念。不存在秘密交集的元素不存在互补集。

元素不可与集合同在，实数集与它的幂集不同“势”。

罗素把这一发现写信告诉了德国数学家弗雷格。弗雷格说：一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于在他的工作即将结束时，其基础却崩塌了，罗素先生的一封信正好把弗雷格置于这个境地。罗素悖论引发了第三次数学危机。仅为他人服务的人能不能为自己服务，这就是一个没有秘密交集的互补集，将无法构造出来。一经构造出来，就要设置秘密交集，比如可令它人的思想和自己的思想存在秘密交集，有了这个秘密交集，就可描述如何服务他人的思想和自己的思想。此是后话。

为了解决罗素悖论，演化出逻辑主义、形式主义、直觉主义等数学学派，产生了集合论的公理化。主要思想都是对集合加以限制，排除悖论，保留所有有价值的东西。庞加莱说：我们建造了一个围栏来放养羊群，以防止它们被狼侵害，但我们不知道在围栏中是否已经有狼。不得不说，庞加莱的数感极其强大。用限制的方法排除悖论，是有隐含危机的，不如坦诚地把不能统一的数学区域给表示出来，新统一的区域又在哪里。

从三次数学危机解决的途径可见，前两次解决方案使得数学知识网络系统增加了节点，而第三次却是限制这个网络系统的扩张。也就是说前两次遇到新出格的数就添加新算法，第三次则是遇到出格数，就砍掉新算法，不让出格数存在。由此可见，这个网络的自然扩张不仅有奇点，而且有边界。我们知道所谓边界黑洞，也是另一视角的奇点。其实第三次数学危机，也是可以通过增加节点来解决的。如果那样，就可以把某些超越数策反到代数数中来，扩张新的数域。但目前没有数学家这么做，可见限制性解决悖论有其弊端，用武大郎开店的方法保护权威，数学发展是容易内卷的。如今的教育领域的“学科双减”，以及经济领域的“拉闸限电”，都是为了反同质化，反内卷化。其实最应该反内卷的是数学基础理论领域。一旦纯数学内卷，各学科就会全面内卷化。

分形世界

为何数学三次危机后就找不出第四次危机了呢？那是不是数学已经非常自洽完美了。三次后再上不去，人们是有依据的，比如空间只有三维，三维以上无法直觉。运算也分三大类，加减为一类，乘除为一类，乘方开方为一类，然后就再也找不到新运算，其它都是这三类的不同排列组合，第一次危机跟开方运算有关，产生了无理数；第二次危机跟除法运算有关，0不能做除数，添加了无穷小量做除数，产生超越数；第三次危机跟减法运算有关，仅不给自己剪发的人剪发可为自己剪发吗？排除了根基谈枝叶到底行不行呢？肯定不行。

假如开方运算不可逆非交换，那会怎样呢？于是四元数就出来了。假如除法运算不可逆非交换，那会怎样呢？不可化简的繁分数就出来了。假如减法运算不可逆非交换，那会怎样呢？于是系统树就出来了。易经所描述的对象就是这样的数。

三次数学危机说明了，前两次用扩域的方法是可以解决部分问题的，但不能解决核心问题，所有未知区域是否可公度问题一直没解决，只是可公度新空间，第三次想来个总解决，表达了一次公度是不能刻画未知区域的。也就是说普世价值一旦有标准，普世价值便不存在。到此没有继续往前走，其实无数次迭代公度那些不断升级的新空集还是可行的。

不完备定理被很多人理解成了可不作为的借口。这真冤枉了哥德尔。比如有人就认为黎曼猜想不可证明。

如果不可证，那说明黎曼猜想在皮亚诺公理体系内不能判定真假。该结论说明猜想可以直接当公理用，在对立的时空情形下真伪命题可以分别成立。希尔伯特（以及康托尔）相信 CH 的回答是肯定的，有连续统存在；而哥德尔和科恩则倾向于拒绝 CH。不可判定问题，说明该问题的定义域处于非有效区分状态，选择不同情形会有不同结果。而哥猜、黎猜、孪猜的运算对象是清晰的，同不可判定问题不一样。

实数不可数假设又用可数做唯一度量工具，这就切断了公平具有开放性，认为可数不能处处有效，公平仅是一次有限选择，针对有限的实无穷才可完成一一映射。康托尔持实无穷立场，但不是彻底的实无穷。多阶无穷的延续也是实无穷的，分形世界也是实无穷的，康托尔的实无穷没有向此开放。同样潜无穷也没有向外向内彻底开放，没有包容实无穷，导致各说各话，数学发展面临内卷。

无限开放的“高阶可数”指的是不可用常规方式认知无穷，各种势一旦可比较则都属于可认知的无穷。用可数无穷去量化未兼容可数的不可数无穷，必会出现子虚乌有的现象，罗素悖论已经说明了这一点。本来希尔伯特是很笃信凡确定的问题都有确定的解答的，这下好了，被康托尔套牢了，希尔伯特相当消沉，那时数学界未意识到抛弃了根基谈区分必会无解。其实不同无穷皆有可数性质，这才是最彻底的实无穷观。而高阶实无穷不是一次极限能抵达的，须与潜无穷合作把一阶实无穷拯救出来。自然数的幂集不可数证明，是基于其中一类假设，还存在别的假设，也能深刻表达自然数的幂集思想。

自然数与很多类型的实数都是可数的以及高阶可数的（可数分形），能用可数来度量不同数集的势只能是等价势，两个等价势之间当然没有其它势的数集，自然数的幂集仍然是高阶可数的，连续统是正确的，故连续统存在能升级为公理，两等价势之间没有其它势；实数中存在不可数无穷，故存在不可数实数，由于存在不可数实数，所以它同自然数的势是不相等的，相邻势之间没有其它势。在一阶可数的前提下会有这样的情形，如果不可数不许蕴含一阶可数，那这样的情形就不存在，按康托尔的定义，是不会出现能比较的两相邻势的。康托尔的连续统假设属于不确定问题，当然是不可证真也是不可证伪的。

就好比问“是先有鸡还是先有蛋”，这个就是属于不可证真也不可证伪的问题，既然鸡和蛋都有源头，那鸡和蛋一定有共同的源头，这个共同的源头一定不是鸡也不是蛋，我们可把它叫野鸡野蛋，如果产生鸡蛋和鸡的源头是野鸡，定义这只野鸡为第一只鸡，那就可得到“先有鸡”，如果产生鸡蛋和鸡的源头是野蛋，定义这只野蛋为第一只鸡蛋，那就可得到“先有蛋”。如果问题的背景中尚未有确定的定义，就属于未确定问题，这样的问题尚未构成明确的问题故可以不做回答，或回答这是未确定问题。哥德尔和科恩就是这样回答康托尔的。那进行新定义回答康托尔的数学家有没有呢？笔者自己就在做这件事，笔者的一些朋友也在做这件事。都在开放定义康托尔的关于“可数”的定义。在潜无穷潜无漏的时空里，不存在关于可数的封顶定义。可从中摘取实无穷实无漏时空来进行关于可数的相对定义。

哥德尔和科恩持潜无穷立场，不存在一劳永逸的可知，须用新的方式认知新知。因此自然数与连续统的势可以不同，会存在0势的间隔或其它势的间隔，但不能用等阶的可数定义来量化。故在此情形下“连续统不存在”也能升级为公理。总之脱离自然数的扩域集都是不存在的。仅为人民服务的人能否为自己服务（罗素悖论），回答是不能，也不能为人民服务。也就是说，不能用常规的实无穷一网打尽潜无穷，这是哥德尔立场；但升级的实无穷还是可以在潜无穷中刻画某些被升级定义的实无穷的。区分无穷不能仅用是否一阶可数来区分，要问须用几阶可数来区分。彻底的不可数问题，属于不可知问题，因不能用具体对象提出，故问题无意义，属于非确定问题。希尔伯特的自信可以找回，是否存在都能推出，明确的问题定有明确的解答。而不明确的问题完全可搁置，或者尝试明确化。黎曼猜想是非常明确的问题，故定有明确的解答。目前数学界持潜无穷立场的没有超越持实无穷立场的，一旦超越，不完备定理就可更名为超完备定理，届时新公理是可以通过旧公理的局限性不断升级产生的。数学发展再也不怕碰到天花板了？能碰到，那就意味着存在突破性发展的机遇。

四、无我、非道、中庸一致推出数学之魂细密单位元

三次数学危机印证了没有通项公式可以描述无限宇宙，刻画一根线条上的无漏点集也不能用通项公式做到。怎样刻画描述都是有漏的。古中国的心性学佛道儒早就明了哥德尔不完备定理的这一认知，有言语道断之说，有道可道非常道之说，有左右不依的中庸之说，皆表达了世界是不可公度的，又是可以权且公度的，两者之间要相互超越，不可滞留，一执着就产生偏见了。可见心性学给三次数学危机提供了绝妙的解决方案。那就是用“不易变易简易”的细密单位元来迭代度量世界，不再用一劳永逸的公度来理解世界了。素数就没有通项公式，但迭代公式还是有的。自指不断更新选择细密单位元，是设计高级机器智能的出路。

万物皆数的信条不但是可以相信的，还是可以理解的。只是该数，即是离散量，又是连续量，撇下离散量的连续量是不存在的，撇下连续量的离散量也是不存在的，两者任何一方都不能在发展的路径上滞留，否则新悖论就诞生。从此悖论只是新旧数学的纽带和桥梁，不会阻碍数学发展。不可逆非交换算法是数学扩域的根本原因，同样数学会持续扩域的规律也决定了不可逆非交换算法必会产生。素数是无穷无漏的，单位元也是无穷无漏的。有不同的单位元就有不同的新数域。每次新对象新算法也会遭遇天花板，也就好理解了，每次单位元的更深刻变革，就是一次破我执，数学就是在这种的无我的谦卑中前进的。

道可道非常道，如同素数没有通项公式可表达但可不断迭代表达。

从负数、分数、到虚数，是可逆运算带来的，而不可逆运算，将带来高阶负数，高阶分数，高阶虚数（如四元数和八元数），数域不会停止扩张。

升级单位元的思想可以解决数学界遗留下来的大问题，比如说三大古典数学难题，费马猜想，四色猜想，哥德巴赫猜想。怀尔斯证明费马猜想用到了高阶数学归纳法，这就是单位元升级的结果。四色猜想的证明不能在已着色好的基础上推进，一阶数学归纳法证明不了四色猜想，也要用到高阶数学归纳法证明。哥德巴赫猜想表面看是线性问题，其实也是非线性问题，因为素数将加性和乘性连在了一起。根据例外偶数无二项式素数单位元的思想，可证明例外偶数是空集，从而证明了所有偶数都是可表偶数，即能用两素数之和表达的偶数。

例外偶数的定义是，其中，p、q为互异的奇素数，m、h、n为所有正整数，2m=p+q，2h≠p+q，2m∪2h=2n，2m∩2h=Փ，则2h为例外偶数。根据例外偶数的定义，再加上已知二项式素数单位元的线性映射能得到所有偶数（2mk=ap+bq），所有偶数都能完成不等量互素分割（三元方程互素定理笔者已证，见其它澎湃新闻中），而互素方程又必有二元素数基础解系，即用来线性映射的二项式素数单位元，那么无二项式素数单位元，则其线性映射必为空集。故例外偶数是空集。这是最简洁证明。

另外通过互异互素思想也能证明哥猜成立。可表偶数2m=p+q，龙头例外偶数2h=2m+2，h=m+1，故h和m必每次互素，即h同m1互素互异，说明h在其它m的相邻数中，这就要求同其它m互素互异，即同时还要与m2互素互异，同时还要与m3互素互异……，故h不仅与m是每次互素的，而且还是累积互素的。再加上已经证明，m是蕴含所有素因子的（可表偶数蕴含所有素因子定理笔者已证，见其它澎湃新闻中）。于是可推得h要同所有的素因子互素互异，这就表明h是空集，2h是空集，龙头例外偶数是空集，那全部例外偶数也就是空集。

例外偶数是空集的思想，和罗素悖论是一致的，仅为他人服务的人可为自己服务吗？换句话说，为人民服务（不为自己）可行吗？所谓送人玫瑰必手有余香，完全迷失自我的超级服务是不存在的，例外偶数的定义决定了它是不存在的。无我是因为定有真我，空性是因为存在妙有， 一个确定元素表面不可能同时在两个互补集合中，但秘密元素一定能同时在两个互补集合中（量子纠缠的数学解释），这个思想至关重要，它是能解决很多悖论的关键。正如老子所说，天地不仁以万物为刍狗，圣人不仁以百姓为刍狗，有次第的爱必密含平等的爱，平等的爱又密含次第的爱，两者交互发展。万物享受最低服务是无分别的，能照顾所有底层生命那就是圣人，圣人视自己就是底层生命，能照顾所有底层动作那就是天地，天地视自己为底层动作，万物皆数，周易即算，周易就是所有的变化。这就是哥猜能获证的哲学背景。刍狗为草扎的狗，引申为小狗小生命小动作。

总能找到更细密的单位元刻画新空间；但不能一劳永逸地用固定模式刻画所有空间

侦探片中刑警常常通过没有作案时间和空间来排除嫌疑，但是对于密室杀人案和闭环杀人案，一定要进行空间扩域和时段延长来审视。本原解方程解决不了的问题，可用最简本原解方程来解决。不可公度新空间可解决，变成可公度，但变成不可公度所有空间仍不可一劳永逸解决。不可共测新空间可解决，变成可共测，但变成不可共测所有空间仍不可一劳永逸解决。不可同在新空间可解决，变成可同在，但变成不可同在所有空间仍不可一劳永逸解决。数学之魂就是总能找到更细密的单位元刻画新空间；但不能一劳永逸地用固定模式刻画所有空间。前者常规的矛盾律，排中律会失效；后者常规的同一律会失效。（文/罗莫）