中国羽毛球队曾如何用“田忌赛马”的智慧打败印尼？

田忌赛马的博弈对局存在一个（混合策略）均衡，就是双方都会以相同的概率选择每种赛马出场顺序。如果双方都采纳这个均衡策略，每六场比赛，齐王大概能赢五场，而田忌大概只能赢一场。

田忌赛马是一个家喻户晓的故事。齐国大将田忌和齐王赛马，每方派出上等马、中等马和劣等马各一匹，同等级的马各赛一局，采用三局两胜的规则判定双方胜负。田忌的三匹马各自都略逊于齐王同等级的马，因此田忌在比赛中通常以零比三的结局告负。田忌的门客孙膑出了一条计策，用田忌的劣等马对阵齐王的上等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的中等马对阵齐王的劣等马，最终田忌以两胜一负的结果赢了齐王。

不难看出，孙膑建议采用的赛马顺序其实是唯一能让田忌取胜的策略，使用其他任何一种排序都无法战胜齐王。可以这么说，史书上记载的田忌赛马的故事，田忌之所以能赢齐王，是因为他率先意识到更多的排序对阵选择并采用了对付齐王的最优应对策略。

最近几年网上有不少文章质疑田忌的这种以劣等马替换上等马的做法破坏了游戏规则，违反契约精神，甚至上升到中国人的“劣根性”而加以抨击。问题是，一个合理的游戏规则应该建立在可以明确验证的信息之上。例如，女子轻量级跆拳道比赛只允许体重59-63公斤的女性参加，这里的性别和体重是很容易验证的信息。但赛马的品级不是可以轻易验证的信息，通常只有马的主人才了解，以这一难以验证的信息作为比赛规则本身就未必很合理。就算在原定为劣等马的比赛中出现了一匹明显跑得更快的马，对手也难以举证说明这匹马不是劣等马。我们认为，孙膑的智慧在于洞察到了比赛规则中可以灵活掌握之处，利用它制定出最优的应对策略，进而在处于全面劣势的情况下赢得了比赛。

田忌赛马这个故事所展现出的智慧两千多年来不断启示着后人，被广为应用。例如，在某些体育比赛中，一个有经验的教练通过巧妙的排兵布阵，适当地选择队员的上场顺序，有可能让自己的队伍战胜一个总体实力更强的对手。1986年男子羽毛球汤姆斯杯中国对印尼的决赛就是一个例子。面对实力更强的印尼队，中国队教练侯加昌排出了出乎对手意料的出场顺序。前两场单打比赛中与对方1:1打平。第三场的单打，中国队派出了防守型选手熊国宝对阵印尼名将林水镜，意在消耗对手的体力，使其在最后一轮的双打比赛中处于下风。熊国宝不负众望，不仅在体力上拖垮了对手，还爆冷赢得比赛。剩下的两场双打比赛印尼选手的总体实力其实都略占优势。这时，中国队再施妙计，在第四场双打中通过主动让球的方式快速输掉了比赛，使得林水镜只有短暂的休息就不得不参加最后一场双打比赛。中国队最终以3:2的结果赢得了整场比赛的胜利，可以说是活学活用田忌赛马智慧的一个经典案例。就是远在英伦的英超保级弱队似乎也深谙田忌赛马的精髓。在圣诞魔鬼赛程，每个球队每周要踢2-3场比赛。保级弱队经常采用的策略是对阵强队时尽量派替补队员出阵，让主力球员得到充分休息，就是考虑到即使派主力球员上场赢面也很小。而在对阵其他球队时，则派已得到充分休息的主力球员上场，让球队赢球的几率大增。

我们回到田忌赛马的历史场景。齐王不钝，意外地输掉比赛后，想必会意识到原因所在，因而也会考虑所有的排阵可能。为简洁起见，上等马、中等马和劣等马分别记为上、中、劣。这样所有可能的赛马出场顺序就是：上中劣、上劣中、中上劣、中劣上、劣上中、劣中上（一共六个）。如果是这样的话，下一场比赛，田忌还能再次出奇制胜吗？更进一步，如果田忌和齐王他们一直比下去（按史书的说法，他们的确是经常赛马），我们能否评估一下他们各自总体上的胜率呢？

首先，我们可以推定双方都不太可能坚持用一个固定的排序（博弈论上的术语就是“单纯策略”）。原因很简单，就是一旦让对方注意到了，对方总能想到最佳的应对顺序而取胜。比如说，如果齐王坚持用“中上劣”，田忌可以用“上劣中”应对而取胜；反之，如果田忌坚持用“上劣中”，则齐王可以用除了“中上劣”之外的任何其它出场顺序取胜。简单的验证可以揭示，田忌赛马的博弈对局不存在任何一对互为最优反应的单纯策略：给定任何一对排序，输的一方总能找到新的排序反败为胜。

存在一对互为最优反应的策略在博弈论分析中至关重要。只有当已经互为最优反应时，对局中的各方才不会有动机单方面去改变或调整策略。正因为这个原因，互为最优反应的策略也为我们提供了对博弈结果比较可靠的预测依据。在博弈论分析中，一对互为最优反应的策略被称为纳什均衡（Nash Equilibrium，对，纳什就是电影《美丽心灵》的主人公，1994年经济学诺贝尔奖三位得主之一）。

回到田忌赛马，上面的分析排除了单纯策略（纳什）均衡的存在。那有没有其它的均衡呢？答案只能从混合策略中找。混合策略，简单地说，就是按一定的概率来选择一些单纯策略。可以证明，田忌赛马的博弈对局存在一个（混合策略）均衡，就是双方都会以相同的概率选择每个单纯策略（每个单纯策略或排序被选中的概率为1/6）。如果双方都采纳这个均衡策略，可以验证，每一场赛马，齐王和田忌应各有5/6和1/6的取胜概率；换一句话讲，每六场比赛，齐王大概能赢五场，而田忌大概只能赢一场。

仔细想想，这个结论其实很直观。大家小时候应该都玩过石头剪刀布的游戏。在这个游戏里，均衡就是以相同的概率（1/3）出石头、剪刀和布。你我双方都这么玩，各自的胜率就都是1/2。两个教训：第一，坚持用一种单纯策略（石头、剪刀或布）不会是好主意；第二，随机选择石头、剪刀和布的概率一定得大致相同。偏离太多，比如说，你用高于1/2的频率出石头，我注意到后就可以通过大大提高出布的频率来提高胜机。其实只要想通了石头剪刀布的游戏怎么玩，也就差不多能想通田忌赛马的奥秘了。主要的区别是，在石头剪刀布的游戏你我是完全对称的，在均衡中谁也占不了谁的便宜；而在田忌赛马的对局，博弈双方“实力”明显不对称，所以在均衡（当齐王跟田忌具有同等的“理性（Rationality）”时），田忌的胜率应远比齐王低。这也是为什么田忌赢了是意外，为人津津乐道二千年。

最后一个问题是关于均衡的唯一性。除了上面描述的均衡，田忌赛马的博弈还有别的均衡吗？有点烦琐但可以验证，上面描述的混合策略均衡是田忌赛马对局里唯一的均衡。因为均衡的唯一性，对博弈各方采用策略的预测也是确定的，那就是，博弈各方都会以同等概率随机选择每一种赛马排序。

假设田忌赛马存在多个均衡，我们又该如何预测赛马的结果？这个问题其实是博弈论分析的一个软肋。如果存在多个均衡，究竟哪一个均衡，能在所有的均衡中“脱颖而出”，成为博弈各方的选择呢？由于不确定性，多个均衡的存在往往会使得博弈分析的预测能力大打折扣。

下面这个笑话说的就是多均衡的“麻烦”。有两个好朋友经常逃课，马上要考试了才意识到什么都还没准备好，急中生智想出一招，临考前给教授发出一封电子邮件，说是路上轮胎爆了，没法赶到学校考试。教授也不多问，改日补考，两人被安顿到不同的教室。打开卷子，第一道题，5分，出奇的简单，很快就答完了。翻过第二页，第二道题，95分，差点没晕过去，问的是“爆了的是哪只轮胎？”

教授设置的这个考“局”其实有四个均衡，分别对应着四个轮胎。只要两个学生答的是同一个轮胎（协调到同一个“均衡”），95分应该就到手了，教授应该也不会去为难他们。问题是两个难兄难弟被隔离在不同的教室，无法沟通，只能靠蒙。分别瞎蒙，都蒙对同一个轮胎的概率能有几何？扯远了，还是田忌赛马省事，只有一个均衡。

本文发表于微信订阅号“经济学漫谈”（微信号：TalkEcon)，原标题为《从田忌赛马谈起》，澎湃新闻经授权转载。作者叶立新为斯坦福大学经济学博士，现任俄亥俄州立大学经济系教授，作者毛亮为北京大学经济学博士，现任深圳大学经济学院讲师。