这项奥林匹克竞赛，你也许没听说过

原创 鸽灰 科学艺术研究中心

如果你不知道折纸界也有“奥运会”——国际折纸奥林匹克竞赛（International Origami Internet Olympiad），那你多半也不知晓作为其必考赛题的“镶嵌折纸”（Origami Tessellations）。它在折纸艺术的家族中确乎年轻；1970年代，首个镶嵌折纸作品才借日本数学家藤本修三（Shuzo Fujimoto）之手问世。

要弄清楚什么是镶嵌折纸，首先要了解“镶嵌”（Tessellation）。镶嵌，又常译为“密铺”（故也有少数爱好者使用“密铺折纸”一词），指全等形能不重叠、无间隙地铺满平面。上至埃舍尔赫赫有名的视错觉画作，下至街头巷尾最寻常的砖铺路面，你都能找到镶嵌的存在。

Day and Night (1938), M C Escher. 图片来自www.researchgate.net

镶嵌地砖，图片来自google

而镶嵌折纸则凭借纸张折叠形成的立体结构来实现这一点，且仅使用一张纸，不经剪裁或胶粘；部分镶嵌折纸不仅正反两面均为极富观赏性的镶嵌图形，还能任意且顺畅地展开复原，俄罗斯数学家叶卡捷琳娜·卢卡舍娃（Ekaterina Lukasheva）的折纸作品便是绝佳的例子。

Ekaterina的镶嵌折纸作品，图片来自thisiscolossal

你也许会好奇：这一以数学概念冠名的折纸，究竟是如何与数学相联系的？ 让我们从镶嵌折纸的基础开始——扭转（twist）。如同动图所展示的那样，白纸中心的正方形随着折叠转过了90°。

正方形平面扭转（Flat Twist）,图片来自Google

扭转的关键，从图1的折痕中很容易发现——以一个凸多边形为中心，自其每一边“发出”两条折叠方向相异的平行线。这组平行线与边所成的角度并不是固定的，图2中可以观察到角度对纸张重叠面积的影响。

黑色实线代表峰折，折叠方向背离折纸者；粉色虚线代表谷折，折叠方向朝向折纸者。图片来自Twists, Tilings, and Tessellations，有改动

除了折叠面积，这一角度也决定了扭转的方向（图3），以及扭转前后中心多边形转过的角度——后者是前者的两倍（图4）。事实上，中心凸多边形甚至不必是正多边形，只不过其中所牵涉的几何学计算不那么优雅罢了。

图片来自Twists, Tilings, and Tessellations，有改动

单单是作为基础的扭转似乎已经花样不少；而当扭转被镶嵌理论组合起来，通向无穷可能性的大门豁然洞开。将扭转用其中心多边形的相似形框起来，它便成为了一只“晶胞”，可以在平面上无限地拼接（图5、6）。虽说是“晶胞”，但其实这些小单元并不完全相同，其内部亦存在着周期性的“手性”变化——以保证折痕的连续。

图片来自Twists, Tilings, and Tessellations，有改动

剥去扭转的细节，仅观察这些人为添加的橙色边界，百年前徘徊于伊斯兰建筑的几何学“幽灵”——镶嵌问题——再次浮现于折纸艺术（图7）。简单的正多边形经过一番似也不如何复杂的镶嵌，其扭转而成的镶嵌折纸却令人眼花缭乱，理想几何形抽象而迷人的韵律盘桓其间（图8、图9）。

图片来自Twists, Tilings, and Tessellations，有改动

镶嵌折纸不仅是艺术，也不仅是几何学的具象；它在工程领域的应用可能仍在挑战人们的想象。美国物理学家、折纸艺术家罗伯特·朗（Robert Lang）曾说：“折纸最重要的一大属性是：一旦我们研究并理解了纸张折叠和展开的方式，便可以将这些方式应用于与纸张截然不同的事物上。”

TWO-LAYER SEVEN-FOLD WEAVE, Robert Lang. 图片来自https://langorigami.com

罗伯特于1988年加入美国航空航天局，在2001年辞职，决定将所有的时间奉献给折纸——但这并未使他与工程隔绝。2015年，加州劳伦斯利弗莫尔国家实验室的长投射式望远镜进入了测试阶段；其设计顾问便是罗伯特。这种望远镜的光学镜片非常的薄，但同时又非常大——其主透镜直径可达100米。

如何将它装入接近于圆柱形的航天载具？实验室的工程师从过往文献中了解到日本卫星曾搭载基于折纸的折叠式太阳能电池板，于是顺藤摸瓜找到了曾研究计算折纸的罗伯特。

罗伯特在合作的数月间尝试将几种不同的折纸结构应用于望远镜，最终敲定了“伞”式——它镜像对称，以保持稳定自旋；它的折叠状态适于在火箭运输；它可扩展，其部件均可大规模生产……最重要的是，它的展开方式一定使你感到熟悉。

图片来自Origami in Space: BYU-designed solar arrays inspired by origami

就像罗伯特·朗在演讲结尾时指出的那样：一种新型心脏支架受启发自纸折球、而安全气囊展开算法来自于研究纸折昆虫的数学理论，“这样的事在数学和科学中常常发生。当你运用数学纯粹是为了美学价值或创造美的时候，其结果却在现实世界中也具有应用价值。这听起来也许很奇怪——折纸或有一日将救人一命。”

折纸仍然在蓬勃地发展着，镶嵌折纸亦方兴未艾；科学与艺术必仍在这一方纸上交辉。

Reference:

Gjerde, Eric, Origami Tessellations: Awe-Inspiring Geometric Designs

Lang, Robert J., Twists, Tilings, and Tessellations: Mathematical Methods for Geometric Origami

https://kusudama.me

https://langorigami.com

https://www.ted.com/talks/robert_lang_the_math_and_magic_of_origami

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