别中伯克森悖论的“招”：从企业规模之争谈起

“船大压风浪”，但“船小好调头”。就经济效益而言，究竟是大企业更好还是小企业更好？学术界对此并无定论。总结起来，主要存在如下两种观点：

观点一认为，大企业的经济效益更好。其理论基础，就是所谓的“规模经济”：随着企业规模的扩大，先进设备得以应用，专业分工更加明晰，分摊到每个产品上的固定成本越来越少，这些因素均会导致产品平均成本下降。

观点二认为，小企业的经济效益更好。其理论基础自然是所谓的“规模不经济”：随着企业规模的扩大，管理层次增多，需引入更多的激励与监督机制，结果不仅增加了管理费用，而且导致企业决策变得更迟缓。

截然相反的两种观点孰对孰错？显然要靠证据说话。最近，笔者评阅了一篇研究企业规模与经济效益关系的学术论文。基于某家商业银行历年的贷款客户数据，论文作者发现：企业规模越大，经济效益越低，两者呈现出负相关关系。这一研究结果被作者冠为“企业经济效益的‘规模诅咒’”，令人印象深刻。

那么，“规模诅咒”的研究结果是否很“靠谱”呢？鉴于样本数据量相当大，答案似乎是肯定的。但笔者却认为，此研究结果或许只是一个统计学谬误。理由是，即便企业规模与经济效益在理论上没有任何关系，基于作者所利用的样本数据，我们仍有很大机会观察到，两者将呈现出负相关关系。

为便于进行具体的解释，在此我们不妨设想这样一种场景：一个商业银行依据两种条件向企业授信，其中条件一是企业经济效益好，条件二是企业能够提供足够多的抵押品，而企业要获得贷款，须至少满足两个条件之一。

样本数据中的企业均为银行的贷款客户，根据上述场景就意味着：这些企业要么经济效益好，要么具有较大规模从而能够提供足够多的抵押品，要么既具有好的经济效益也具有较大的规模。

现在，我们首先考察样本数据中的小规模企业。既然有资格获得贷款，这些小规模企业的经济效益一定不错。我们再考察样本数据中的大规模企业。假设企业规模与经济效益在理论上无任何关系，那么平均而言，这些大规模企业的经济效益会处于中等水平。当然，根据上述银行授信条件，大规模企业的经济效益无论处于何种水平，均不会影响这些企业获得银行授信。

样本数据中的小规模企业具有好的经济效益，而大规模企业的经济效益平均而言却处于中等水平。因此，统计结果将显示：企业规模越大，经济效益通常越低。然而，这一负相关关系是虚假的——不要忘了，我们已经假设，企业规模与经济效益在理论上无任何关系！

上述统计结果，其实属于一个被称为“伯克森悖论”的统计学谬误。此悖论的产生机制其实很简单，那就是：两个事件相互独立，但若这两个独立事件会产生共同结果，则给定共同结果，这两个事件就不再相互独立了。

例如，我们假定“天下雨”与“洒水车经过”是两个独立事件，而这两个事件会产生共同结果：马路湿了。现在给定“马路湿了”，那么洒水车未经过就意味着天下雨了。反之亦然，天未下雨就意味着洒水车经过了。

在经济效益好的企业或者大规模企业才能获得贷款的例子中，企业经济效益好与企业规模大会产生共同结果：被银行授信。以银行的贷款客户数据为样本，则相当于给定了“被银行授信”这一共同结果。此时，企业具有好的经济效益与企业具有较大规模这两个事件，即便在理论上是相互独立的，我们仍会从贷款客户数据中发现两者具有关联性。

“伯克森悖论”最早起源于生物统计学家约瑟夫·伯克森在1946年的发现。工作于美国梅奥诊所的伯克森，对医院里的患者进行统计分析，结果发现：在患有糖尿病的人群中，同时患有胆囊炎的人占比较少；在未患糖尿病的人群中，患有胆囊炎的人占比较高。这似乎意味着，患上糖尿病可让病人免受胆囊炎的折磨，但从医学原理上看，这完全是无稽之谈。

伯克森敏锐地意识到，他遭遇了统计学谬误。为便于理解谬误何以产生，我们不妨设想世上只有糖尿病与胆囊炎这两种疾病。众所周知，患者并不一定会去医院看医生。但若分析对象是医院里的患者，则相当于给定了“患者去医院”这一共同结果。于是我们可推断：若患者未患糖尿病，则一定患有胆囊炎；若患者未患胆囊炎，则一定患有糖尿病。因此，即便这两种疾病在医学上毫无关系，但就医院里的患者而言，两种疾病看起来是存在关联的。

当然，世上并非只有糖尿病与胆囊炎这两种疾病，故基于对医院里患者的观察，我们仅能获得一个统计结论：糖尿病的患病率越高，胆囊炎的患病率通常越低。在医院里的患者身上，两种疾病的患病率呈现出负相关关系，当然这只是一种虚假的关系。

具有启发性的是，伯克森悖论可以解释不少日常生活现象。例如，约会中的女生经常抱怨，帅哥往往高冷，而热情有余的男生往往颜值不咋地。基于伯克森悖论的一个解释是：只要女神们定下的约会条件是，对方要么是帅哥，要么是暖男，最好既帅又暖，那么给定“已经与她们约会”这一共同结果，她们就会观察到，男生颜值越高，通常显得越高冷，即便男生的颜值高低与其是否热情本不相干。

再如，教育经济学研究已经表明，良好的家庭经济条件有利于学生取得好成绩。然而，在观察留学生这类群体时，我们经常发现“寒门出贵子”，亦即学生的家庭经济条件与其成绩往往负相关。如何解释这种现象呢？我们知道，家庭经济条件不好的学生能出国留学，多半凭着成绩好能申请到奖学金。对于那些家庭经济条件好的学生，即使成绩不太好，但只要愿意承担昂贵的学费，他们也能出国留学。根据伯克森悖论，一旦给定“已经留学”这一共同结果，我们就会在符合共同结果的群体中，亦即留学生群体中，观察到家庭经济条件较差的学生通常具有较好成绩这种现象。

还有，在接触一些公司的员工后，我们经常产生这样的印象：“技术男”往往缺乏社交能力，而社交能力强者往往在专业技术能力上表现欠佳。基于伯克森悖论的一个解释是，即便一个人的专业技术能力与社交能力在理论上没有任何关系，但若专业技术能力强与社交能力强是公司招聘员工的两个条件，而成功的应聘者至少须满足两个条件之一，则基于对公司员工的观察，我们仍会发现，一个人的专业技术能力与社交能力显得难以两全。

最后，让我们回到笔者所评阅的以“规模诅咒”为主题的这篇实证研究论文。从根源上看，这份研究之所以陷入了伯克森悖论，是因为作者利用了一个受到限制的样本。具体而言，那些规模较小同时经济效益差的企业，已被银行贷款客户数据系统性地遗漏了。实际上，任何有关伯克森悖论的现实例子，都可归因为观察结论来自于一个受到限制的样本。例如，样本或许遗漏了未去医院的患者、未入女神“法眼”的男生、未出国留学的学生、未在公司上班的人，等等。

伯克森悖论表明，对一个受到限制的样本进行观察，很容易以偏概全，产生误导性结论。因此，无论是在学术研究还是在日常生活中，我们都应警惕“眼见为实”的心态，要多想一想那些我们未看到但确实有可能发生的事情，以免中伯克森悖论的“招”。

（作者姚耀军为浙江工商大学金融学院教授）