数学到底是什么？

原创 Helen 罗博深数学

作者｜Helen

文 2821字 阅读时间约 7分钟

导语

“数学从来不是只属于天才的语言，而切切实实是这个世界本身的缩影。”

*本文作者为CMU数学系大四学生，爱数学也爱散文的Helen。

人在江湖飘，哪能不挨刀。

疫情前过年回国的时候见了一些朋友，不知道谁问了我一句：“你学数学，到底学了个什么东西啊？”

当时心里很气，巴掌还没准备好，朋友又加了一句“不是说物理的大厦将要建成了吗，数学的大厦是什么？为什么从来没听说过？”

这个问题浇灭了我的火气。

说真的，学到今天，我也不能说知道数学到底是什么东西。

逼急了，我可以说数学是描述世界的一种方式，但是仍然没有办法将数学优美地概括起来。

它太古老，太精妙了。学了20年，仍然觉得管中窥豹而已。

但是今天仍然斗胆，想和大家一起按图索骥，盲人摸象地研究一下数学索引。这个庞然大物，到底是个什么东西？

故事要从很久很久以前说起。 早在语言，文字之前，人们就能够计数了。不仅仅是人类，鸽子、狼、自然界中很多动物都有一定的计数能力。公元三千年前，埃及人发现了第一个等式。公元前两百年前，中国人发现了负数。算数渐渐发展起来，数学在这个时候是真正“关于数字的学科”。

发展到今天，数学从“数字”本身渐渐抽离。分成了应用数学和纯数学两部分。你可能常常听有人说“数学是所有理科的基础”， 这解释了应用数学的部分，许多工程学，统计学等等都要用到数学。还有人会说“数学学到最后是哲学”，这也片面地概括了纯数学的部分。

我们可以将整张地图想像成两个大部分，纯数学和应用数学。当然，这不是绝对独立的两个部分。今天的纯数学，可能明天就会因为新的问题变成了应用数学的一部分。17世纪笛卡尔命名虚数的时候，并没有想到它在流体力学中的应用。所以这张地图是与时俱进的，每天都有新的论文在发表，新的定理在产生，古老的数学随时都可能在各个领域里焕发新生。

笛卡尔

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不如我们就从纯数学开始谈起。

首先，我们概括数字的不同系统，自然数、整数、有理数、无理数。还有同等重要的属于哲学的部分，数理逻辑，用来定义最简单的逻辑关系。证明论就是其中的一部分。集合论是研究集合的数学理论，我们初中的时候就接触过。还有很简单的范畴论，研究各类集合怎样自然相关联。最后是计算理论，是计算机科学的老祖宗，早在计算机发明之前我们就开始思考的学科，最著名的计算模型应该就是图灵机了。然后我们有了数论，用来研究这些数字的性质和他们之间的关系，比如质数的性质等等，哥德巴赫猜想就是有名的数论问题。

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从数字延伸开去，我们发现了不同的结构。方程、向量、矩阵、在线性代数中学习这些结构的关系。之后是组合学，我们在组合学里接触各种各样离散的结构，像树和图这些你能够掰着手指头数清楚的结构，图论就是组合学的一部分。譬如欧拉发现的七桥问题。研究群的学科叫群论，群是一种结构，像魔方的所有可能的重新排列就是一个群。相似的分支有序理论，我们研究怎样根据特殊的规则给事物排序，比如词典排序就是很浅显的例子。关于结构系统的纯数学在这里告一段落，我们即将开始探索关于空间的数学。

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最基本的就是几何，贯穿着整个中学生涯，令人闻风丧胆。还有我们之前讲过的分形几何学，不仅在数学届出了名，更是人类生活中的艺术品。之后还有更抽象的拓扑学，研究空间中不同形状的相互转换。最著名的例子应该是莫比乌斯环，或者克莱因瓶，一只蚂蚁可以爬过正反两面而不用跨过边缘。在拓扑学家的眼里，甜甜圈和茶杯的形状是一样的。测量理论又是另一种角度，我们尝试给一些结构赋值，比如集合的大小。最后是微分几何，我们研究空间中各种形状的性质，是广义相对论现代物理学的基础。有了结构和空间，我们还想研究事物的变化。

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研究变化量最著名的工具，应该就是微积分了，我们都被求导和求积分折磨过。向量分析的本质是相似的，只不过换成了向量而已。相关概念还有动力系统，包括流体力学，钟摆的晃动等等，描述空间中的点随时间的变化。同一类别的还有混沌理论，蝴蝶效应就是典型的例子。看似不相关的两件事，经过系统的放大，可能会产生不可思议的后果。最后是复分析，研究自变量和因变量都是复数的函数。

当然，所有部分都是互相关联的。很多时候我们可以运用不同领域的定理来解决同一个问题。

那接下来让我们移步应用数学的范畴。和离散数学连接最紧密的应该是计算机科学了，计算理论，图论和数理逻辑就是计算机科学的基础。接下来不难想象，理论物理的许多问题都是用纯数学解决的，甚至很多近代数学新的分支都是根据物理问题应运而生。还有其他自然科学，也跟数学息息相关，像化学和生物、分子的模型、演化生物学、计量遗传学，这些都是数学的应用。更不用说各种各样的工程学，都需要各种各样的数学来辅助。当计算量过于庞大和不切实际的时候，我们需要用到数值分析来进行估算。接下来还有赫赫有名的博弈论，告诉我们在各种情况下应该怎么样做出最佳选择。与之相关的学科还有概率论，统计学甚至经济学等等任何需要量化的学科。

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之所以数学学科是如此庞杂和美妙绝伦是因为它是描述世界的一种方式。数学从来不是只属于天才的语言，而切切实实是这个世界本身的缩影。在数学之前，万物静默如谜；通过数学，我们能窥探到一点点万物运行的理论，这何尝不是一种幸运。

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原标题：《数学到底是什么？》

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