SAT数学题乌龙事件，牵出史上一次大型神仙打架

原创 Helen 罗博深数学

作者 | Helen

文 3691字 阅读时间约 7分钟

数学史上真正的王炸事件，看完后的罗数君已经惊掉下巴！先从回顾80年代的这次SAT乌龙事件开始吧！

1982年，一道SAT数学题出错，引发了SAT历史上最严重的乌龙事件。

出卷方美国大学理事会（College Board）在考后声明，这道题出卷方给出的答案是错的。五个选项中，没有一个正确选项。

纽约时报1982年5月25日也对这次高考数学题出错事件进行了报道。

当年三十万考生中只有三个考生做对了这道选择题。除了那三人，所有人的分数都被扣回去了。

如果你是当年的考生，你能成为这十万分之一吗？

不如先来看看这道题目。原题如下。

Circle A has 1/3 the radius of circle B. Circle A rolls around circle B until it turns to its starting position. How many revolutions of circle A are there in total?

(a) 3/2

(b) 3

(c) 6

(d) 9/2

(e) 9

这个问题翻译过来是说：

圆A的半径是圆B的三分之一，如果我们让小圆绕大圆转一圈（就像月亮绕太阳）回到原点。小圆会自转几圈？

直觉告诉我们答案应该是3。

因为大圆周长是小圆的3倍，小圆自转3圈的距离应该刚好是大圆的周长。

当然了，直觉这个磨人的小妖精总是欺骗我们，答案并不是3。

为什么直觉犯了错？是因为我们很难想象，圆转动一周，圆心走过的距离是圆的周长，但是圆上一点走过的距离却不是周长。

这句话说出来就跟绕口令一样，我们不急着理解。

�� “几何学上的海伦”

如果我们将不动圆的周长拉成一条直线，再来思考这个问题呢？

想象一个圆在一条直线上滚动时，圆边界上的一个定点所形成的轨迹。就像滚动的车轮从地面上粘起一枚口香糖。当车轮继续向前时，这枚口香糖就在空中画出一条摆线。

车轮每旋转一周，口香糖就画出摆线的一个拱。这个轨迹就是著名的“摆线”，又叫做“几何学上的海伦”。

如同海伦过分美丽引起了著名的特洛伊战争，美丽的“摆线”，实在太过于有用，也因此引起了数学史上的众多大家的争端。笛卡儿、帕斯卡、约翰 • 伯努利、莱布尼兹、牛顿都争相研究摆线的。场面堪称王炸。

谁也不知道是哪位数学家首先研究清楚了摆线的性质。

我们先选择圆上的一点，研究一下这一点的位置是怎样变化的。从图像上我们可以看到圆上一点运动的轨迹，是一个弧形。

这个弧形的“拱高”是圆的直径d，这个弧形的宽度则刚好是圆的周长，也正是是圆心走过的距离。

早在17世纪，数学家们就发现摆线的长度刚好是旋转圆直径的4倍。

�� 硬币悖论

回到最初的题目，现在你知道答案是多少了吗？

之前我们考虑的是圆上一点运动的轨迹，但是这个轨迹并不是我们想象的一个圆。

其实我们只需要考虑圆心走过的的距离就行了。我们假设大圆的半径为3，那么小圆的半径就为1。

我们知道圆心走过的轨迹是一个圆，这个新的圆的半径是两个圆半径的和1+3，也就是说这个轨迹的长度是8π，而小圆的周长是2π，所以小圆实际上自转了4圈。

更进一步总结一下，假设A圆半径是一个单位，B圆半径是A圆的n倍。

那么圆心轨迹所形成的新圆的半径就应该是n+1。根据计算，新圆周长 = 2*（n+1）π，A圆周长 = 2π，所以小圆就应该自转n+1次。

其实这道题就解释了有名的硬币悖论(coin paradox)。

两枚一模一样的硬币，硬币1绕硬币2一圈，要自转两圈，很多人想不通为什么。

这就是我们这个问题一个特殊的例子，当n=1的时候，圆心轨迹这个新圆的半径就应该是2，所以小圆就应该自转2次。

�� 车轮悖论

然而早在史前三百多年亚里士多德就已经提出相似的问题了，叫做车轮悖论。

亚里士多德

一个车轮，可以看成两个同心圆。

亚里士多德观察到，车轮转一圈，内外两个圆都回到原点，两个圆走过的路程应该是一样的。

但是这个路程等于大圆的周长，却大于小圆的周长，到底是什么地方出了错？

看起来像是一个难题，但是解决了前一道题的你，一定能明白这到底是为什么吧？

两个圆走过同样的路程，实际上的两个圆的圆心走过了同样的路程，因为它们是同心圆，这是毋庸置疑的。

可是对于圆上的一点来说，它走过的距离与圆的大小有关。我们知道两个圆上的点经过的轨迹其实分别是两条不一样的摆线。

小圆的摆线更短，效率更高。实际上，小圆的摆线有一个特殊的名称叫短伏摆线，和摆线同属一个家族。

�� 关于摆线的神仙打架

而摆线的故事却远远还没有结束。文章开篇的时候我们说过，摆线因为深受各位数学家的喜爱，甚至挑起了数学史上绝无仅有的争端，正所谓“几何学的海伦”。

伽利略可能是第一个认真研究过摆线的科学家。

伽利略

1640年，伽利略（Galileo）给卡瓦列里（Cavalieri）的信中写道：“我思考这个形状已经五十年多了。”

伽利略也是第一个命名摆线（“cycloid”）的科学家。

他用同样的材料切割出摆线和产生摆线的圆，通过他们的质量比，伽利略推算出摆线和x轴围成的面积与产生它的圆的面积比大约是3:1。

大约同一时期，罗贝尔瓦（Roberval）在写给笛卡尔（Descartes）的信中正式证明了这个结果。

罗贝尔瓦

罗贝尔瓦大费周章地作了一条辅助线AQD（后来被证明是正弦波的形状），并且求出了中间水滴形AQDP的面积应该是1/2πr^2。

根据祖暅原理，也就是前文提到过的卡瓦列里原理，我们知道曲线AQD将长方形ABDC平分成两半，AB是圆的直径也就是2r，CD 是圆周长的一半，所以是πr。

所以AQDC的面积是πr^2。那么整个ACDP的面积就是3/2πr^2。因为这里只是摆线的一半，我们可以说这个摆线下的面积是3倍对应圆的面积。

无巧不成书，伽利略最后的学生和助理托里拆利（Torricelli）抢先一步发表了这个证明。

而实际上他们俩分别独自发现了这个证明。

令人唏嘘的是，直到托里拆利染上风寒去世的前夕，他仍然在收集证据，证明他是独自解决了这个难题。

托里拆利

罗贝尔瓦和托里拆利的战争并没有随着托里拆利的逝世而淡出人们的视线。

他们的战争一直延续到了帕斯卡（Pascal）发表“摆线简史”（History of Pascal）。

对的，这个帕斯卡就是重新发现了杨辉三角的帕斯卡。

帕斯卡

某个夜黑风高的晚上，帕斯卡觉得牙疼，于是开始思考摆线的性质，思考思考甚至忘记了疼。

帕斯卡觉得这是上帝的旨意，于是花了八天来研究摆线，并发表了“摆线简史”。

但是“摆线简史”在意大利遭到了人们的抵制，正是因为帕斯卡支持了法国数学家罗贝尔瓦的说法。

英国数学家瓦里斯（Wallis）也在同一时期发表了类似的结果。

瓦里斯

1650年左右，英国建筑学家雷恩写信（圣保罗大教堂设计者）说摆线的长度正好是对应圆的八倍。

雷恩

当然了，罗贝尔瓦这时候又跳出来说他早就证明了这个结果。

不过真相就不得而知了。可是摆线的故事到这里却远远没有结束。

1629年，笛卡尔的挚友康斯坦丁的儿子出生，他就是惠更斯（Huygens）。折磨理科生三年的单摆周期公式就是他发现的。

惠更斯

惠更斯业余时间是个数学家，主业却是个钟表匠。

他在研究更精确的钟表时一不小心发现了“等时曲线”。

如果我们将一个小球放置在等时曲线上任一点使其自由下滑至到最低点所需要的时间都相等。

通过严格的几何证明，惠更斯发现这条曲线正是我们魂牵梦萦的“摆线”！

不久以后，理科生的另外两大噩梦拉格朗日（Lagrange）和欧拉（Euler）也纷纷用解析法算出了这条等时降线。

拉格朗日欧拉

正当我们认为摆线可能已经到达了人生的巅峰，更惊喜的事情还在后头。

1696年，伯努利在《博学通报》（Acta Eruditorum）发表了关于最速降线的研究。

伯努利

最速降线是指我们放一个小球在一点A沿某条曲线滚到低一点的B点，该以什么样的曲线行进才能让所需的时间最短。

当然了，这条最速曲线还是摆线！

牛顿、伯努利、莱布尼兹（Leibniz）和洛必达（l’hopital）都得出同一结论，即正确的答案应该是摆线的一段。

牛顿莱布尼兹洛必达

除了洛必达的解外，其他人的解都在1697年5月的《博学通报》出现。

大概同一时期，关于牛顿和莱布尼茨谁先发明了微积分的争论也甚嚣尘上，当然这是后话了。

正是摆线许许多多优美的性质让数学家们魂牵梦萦，甚至不惜大打出手。

完全配得上“几何学的海伦”这个希腊第一美女的称号。

写在最后

可是摆线的故事并没有到此为止，那些亚里士多德想不明白的问题，我们花了几百年，伽利略，帕斯卡和惠更斯把它想明白了。

而惠更斯，牛顿和莱布尼茨想不明白的问题，希望在接下来的几十年来，读文章的你能够再想想看。

万物静默如谜，数学之所以令人神往，就是因为我们走在路上，随处有前人解不开的谜题。

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原标题：《惊呆！SAT数学题乌龙事件，牵出史上一次大型神仙打架》

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