素数判别和整数分解存在多项式算法

编者按：

数学家有个惊奇的发现，黎曼猜想如果成立，属于NP完全问题的素数判别和整数分解必存在多项式算法。而广义黎曼猜想通过相邻论已获存在性证明，11月4日的澎湃新闻发布过该论文《希尔伯特第八问题有望终结：黎曼猜想获证！》，有60万点击量，详细内容可查阅作者罗莫新出版的数论专集《数学底层引擎相邻论和重合法》（深圳：海天出版社）一书。可见NP完全问题与黎曼猜想紧密关联，且知黎曼猜想又是由互异版的哥德巴赫猜想在幕后操盘的。如果说物理学的前沿属于量子论和相对论的统一和细分，那数学前沿则是，离散量和连续量的统一和细分，连续统就是关心该问题的，而连续统的真正解决是和NP完全问题有千丝万缕关联的，即离散序列与非离散序列之间的映射问题。种种迹象表明，数学大统一的征兆来临。数论中最基本、最古老而当前仍然受到人们重规的问题就是判别给定的整数是否为素数(简称为素数判别或素性判别)和将大合数分解成素因子乘积(简称为整数分解)。数论与其它分支以及与物质世界各领域的联系，通过这些桥梁也就全部打通了。而本文要告诉读者的就是，“线性空间必有二维素数基底”的思想是如此的重要，它可以多米诺骨牌式地解决一系列久未解决的重大猜想，攻克整数分解和分割问题也是基于这样的思想。

素数规律是人类的加密解密工具，也是大自然的加密解密工具。

写在前面

素数的探索在历史上可以最早追溯到古希腊的欧几里得，他证明了素数有无穷多个；也可以更早追溯到古华夏伏羲时代阴阳互异的思想，无论多大的对象都可以阴阳互异分割，无论多小的对象也都可以阴阳互异分割，多组阴阳合并后仍然是一组阴阳，任意条双结绳文都能用一条双结绳文的标题表达。这与互异版哥德巴赫猜想极其相似，f(f(p+q))=p+q+2，可表偶数互素的生成对象依然是可表偶数，每次互素，但解集等价，而例外偶数，与解集互异，除每次互素，且须与每个可表偶数都累积互素，故为空集。可见任意后继多组阴阳都能被一组阴阳所刻画，没有例外，一组阴阳若不能刻画任意对象，那多组阴阳也不能刻画任意对象，即心外无物。天下苍生皆有一父一母，若无，即便多父多母也生养不出，阴阳学是世界的基底，可同态分割出小素数的大素数叫阳，与大素数局部同构的小素数叫阴，阴阳是两类和而不同的素数，阳，显示了相邻性，不同；阴，显示了重合性，不异。中国上古易文化的阴阳分割，不是可表偶数与例外偶数那样的完全互补分割，而是象大素数小素数那样的阴阳共存分割，如同女娲伏羲象征图那样蛇身连体。

阴阳互异同根思想是东方传统文化的基底，也是现代数学思想的基底。

中国古人虽没有对素数进行精准定义，但对素数进行了存在性使用，阴阳思想远高于2进制思想，它是底层基于2进制，又不限于2进制的体系，2进制仅是阴阳理论的一个基本应用，八卦就是单位元可以变化的2进制，阴爻阳爻是2进制，但上卦下卦是8进制，而前卦后卦则是64进制，即基底始终是二进制，而对基底的线性映射是完全开放的，基底是离散量，算子可以是任意连续量，高维线性空间必有二维素数基底，易经更符合离散数学的发展，难怪波尔是如此地推崇太极，即单位元不是唯一视角的，但都离不开二维素数基底。二维素数基底及其映射，量子力学把它叫着不相容关系，不确定关系，不对称关系。

素数问题曾经吸引了包括费马(Fermat)、欧拉(Euler)、勒让德(Legendre)和高斯(Gauss)在内的大批数学家，他们花费了大量的时间和精力去研究这个问题。高斯在其著名的《算术研究》(《Disquisitiones Arithmeticae》)中称道：“把素数同合数鉴别开来及将合数分解成素因子乘积被认作为算术中最重要最有用的问题之一。如今拓扑学在向低维发展，代数几何在向算术几何发展，在向一个因子的素数靠拢，而合数则是多个因子的数，可以把素数理解成低维数，合数可以理解成高维数，图论和数论都在向低维挺进。一个高度有序的世界，必须要去关心更低维的对象和开放的算法，如此才能提高我们的分辨率。

高斯：科学的女王是数学，数学的女王是数论。

素数判别和整数分解这个问题具有很大的理论价值。因为素数在数论中占有特殊的地位，鉴别它们则成为最基本的问题；而把合数分解成素因子的乘积是算术基本定理的构造性方面的需要。人类总是有兴趣问如下的问题：(2^31)-1是否素数？由10个1组成的数是否为素数？4568965715743是素数吗？若不是又怎么分解。对素数判别和整数分解的研究必然会推动数学的整体发展，一个国家数学水平的高低，可以看圆周率发现到了哪一位，更可以看找到的最大素数有多少位。素数判别和整数分解不仅可应用在密码学中，宇宙和心灵世界中的一切探秘都跟素数规律有关，大自然的奥妙也是用素数加密的。

1.1.RSA加密技术需要探索素数的秘密

物质世界的保险箱可以用钥匙打开，也可以用暴力打开，思维世界的保险箱则需要时间成本和空间成本才能打开，时间成本和空间成本比暴力更难对付。基于时间复杂度，空间复杂度，加上陷门函数，于是就有了加密解密算法。RSA，ECC算法就是这么来的，区块链加密技术就基于椭圆曲线ECC算法，其原理都来自于分解分割带来不确定性而增加了复杂度，而握有密钥的解密者可消解不确定性。1977年，鲁梅利(Rumely)、希爱默(Shamir)和艾德利曼(Adleman)发明了一个公开密钥码体制，用他们名的首字母命名为RSA。在这个密码体制中，对电文的加密过程是公开的，但是，你仅知道加密过程而未被告知解密过程则不可能对电文进行解密。他们的体制就是依靠这样一个事实：我们能够很容易地将两个百位大素数乘起来；反过来，要分解一个200位的整数则几乎不可能，超过400位，计算机已经不能承受。

区块链的加密技术基于构造椭圆曲线方程具陷门函数性质。

也就是说，打碎镜子易，破镜重圆难，顺水行舟易，逆水行舟难，黑沙白沙混合易，黑沙白沙分开难。熵增易熵减难。这种顺向求解易反向求解难的函数，就叫陷门函数。因此RSA体制就与素数判别和大数分解有密切联系。首先，要具体建立一个RSA体制就需要两个大素数，因而就涉及到寻找大素数的问题；而RSA体制的破译之可能性就依赖于分解一个大数可能性。于是，RSA体制的建立与破译就等价于素数判别与大数分解问题。多元自变量较容易得到一元因变量，一元因变量不容易得到多元自变量。某分支出发找干道容易，干道出发找某分支难。而素数判别和整数分解就相当于如何最优化判别不能折叠和花样折叠问题，而不是定能折叠和单样折叠问题。突变的世界比均变的世界更有意思。

近来，由于计算机科学的发展，人们对许多数学分支的理论体系重新用计算的观点来讨论。从计算的观点来讨论数论问题形成了当前很活跃的分支计算数论。而素数判别和大数分解成为这一分支的重要组成部分。在这一部分里提出了两个重要的、悬而未决的问题：是否存在判别素数的多项式算法？是否存在分解大整数的多项式算法？已知道“分解整数”这个问题是一个NP完全问题，因此对上面第二个问题的讨论是解决计算机科学中的难题：“NP完全问题是否一定是多项式算法可解的？”的一个突破口。因此，素数判别和大数分解对计算机科学来说也是很有价值的。我们知道整数分割和整数分解是有密切关联的，整数分解是NP完全问题，同样整数分割也是NP完全问题。但随着哥德巴赫猜想的获证，整数分割问题说明存在多项式算法可完成该任务。而分割问题是与分解问题紧密关联的。

这是一个千禧年七大猜想之一的难题，它关联的是一个共同的卡点，这个卡点就是“能否理解心外无物”。

历史上解决该类问题基本靠暴力枚举。最直接的素数判别和大数分解方法就是试除法，即对整数n，用2，…，n-1去试除，来判定n是否素数，分解式如何。这个方法是最简单的一个方法，古希腊时就被人所知，但这个方法对较大的数就要耗费很多时间。在本世纪四十年代电子计算机出现之前，尽管产生了许多素数判别和大数分解方法，但因为用手算，速度太慢，很多方法在实用中即使对十几位的数也需要好几天，而对更大的数就无能为力了。随着计算机的出现及发展，人们开始用这个有力的工具来研究素数判别和大数分解。但在算法上一直没有什么较大的突破。

到六十年代末期，已产生了许多新方法，历史上的许多方法也得到了应用，使得对四十几位数的素数判别可以很快得到结果。而到七十年代末，数论学家和计算机专家们已深入地研究了这个问题，得到许多实际有效的方法。用这些方法在较好的计算机上判别一个100位数是否素数只需不到一分钟；分解70位左右的整数也是日常工作了。这些成果已引起人们的普遍关注。在这个领域中的研究空前活跃。虽然离问题的彻底解决还很远，但在本领域中已取得了一个又一个的突破。在这方面的研究必有光辉的前景。

九章量子计算机的问世说明了东方重代数的数学开始展露复兴的曙光。《欧氏几何》代表平等探索空间的传统，《九章算术》代表次第探索时间的传统。

最近量子学特别火，跟量子学建立120周年有关，尤其是九章量子计算横空出世，更是让世人惊艳了一番，量子计算分解素数的能力更强大了。有人会问，量子计算来了，密码还有用吗？这是一个水涨船高的问题，量子计算来了，人类找到大素数的时间更短了，存储大素数的空间更小了，加密手段解密手段更高超了，密码学当然照样存在。只不过是没有紧跟时代的就要小心了。再说，量子计算的发展，还有漫长的路要走，有的是时间应对，物质技术的手段不足惧，倒是算法革命需要好好关心下，有没有找到绝佳的思路可以快速分解大整数，这是我们要急需思考的，可我们多半不舍得在此花钱改进，高新应用技术则愿意大把砸钱。这个其实好理解，思想的突破有时候花了钱也不会有什么突破，而不花钱倒是突破了（其实隐性投入巨大，不知回报会吃亏的），技术的突破只要愿意投入，总会有收获，各取所需大体成本是可以捞回的。造富需要物质成本，而开智一样需要成本，需要记忆成本，归根结底都是注意力成本。而素数就是注意力成本的度量工具。一个人若能在高层次上觉醒，一定是一个富有的人。因为物质和能量最后都要归结为信息和念想。素数，就象中国人心目中的龙图腾。任意对称空间，都可以分割成过去和未来阴阳两截素数线条（费马螺线）来充满。

费马螺线表明高维空间都在一维线性表达中，我们把线条看作平面，费马螺线就是三维空间，并可依次递推到无限高维。分解高维，其本质就是分割一维。这就是线性空间必有二维素数基底的原因。

1.2.用相邻论和重合法进行素性判别

汉语的“素”字，很奇妙，高度抽象。“素”：本义，没有染色的丝绸。素是指先天的东西，本来就有的东西。本可造末，末不可造本。素可造染，染不可造素。悟能觉迷，迷不能觉悟。关于追本溯源好多关键词是用“素”来构造的，素女，素色，素食，元素，素材，黄帝内经有素问，感觉清一色都是清纯本有的东西。有些天赋禀异的人，对素数有不一样的视觉数感，研究其幕后的神经元传输机制，想必对素性判别有用。素数这个概念，早在公元前很多世纪就为人们所熟知。它是构造数学世界的基本单位材料。后来人们发现所有自然数都是由素数乘起来得到的。欧几里得证明了素数有无限多个，因此，任意大的素数都存在。可是，在自然数的序列1，2，3，……中，素数和合数混杂在一起，对前数千个素数的分布之考察发现素数的分布没有规则，因此，鉴别一个自然数是素数还是合数就成为问题。这个问题在中世纪就引起人们的注意，当时人们试图寻找素数公式，到高斯时代，基本上确认了简单的素数公式是不存在的。如今更能肯定有限元有限次运算的素数通项公式是不存在的。

素数，理解宇宙奥秘的基本语言。

在那时，即使对一个十位数的整数来作素性判别都是相当困难的，因此，高斯认定素性判别是数论中最困难的问题之一。从此后，这个问题吸引了大批数学家，但当时的人们没有计算机这个有力的工具，对一般十位以上的数都束手无策。因此，他们或者只对很特殊的数作了些研究，或者，对素性判别作了一般性讨论。而真正用得出的结论去判别一个大数是否素数时，常常因为计算量太大而归于失败。到本世纪初，手摇计算机的产生帮助了象勒默等人发展素性判别。而在1950年之后，由于电子计算机的诞生，数学家们又将注意力转到素性判别的问题上来了。目前，这个分支已经产生了很多好结果。我们可以看看最新进展。

用重合法和相邻论来研究素性判别，有一个重大进展就是，可以精简大量的筛查工作，因为没有二元素数解系必无通解，基于这样一个判定，可以节省大量的算力。连带而来的一个重大进展就是素数判别除了用是否能分解外，还可以用互素分割来判别，一个数不能用等于或小于其平方根的因子构造，故它必是素数。一般都是用试除筛查，但也可以用互素分割筛查，比如判定7是否为素数，可以把7互素分割为2+5，4+3，因为7同2和3互素，且2和3囊括了小于根号7的所有素数，故7是素数。若存在非互素分割必为合数。这样就把判定大数是否互素转换为判定小数是否互素。再举一个例子，判定97是否为素数，可以根据其同小于10的素数是否互素来判定，于是开始互素分割97为小于10的两个素数子阶乘之和，30×3+7，可见97同10内的素数都互素，于是可判定97为素数。判定143是否为素数，可以根据其同小于12的素数是否互素来判定，于是开始互素分割143为小于12的两个素数子阶乘（或界内素数乘积）之和，140+3，110+33，可见143同12内的素数非互素，于是可判定143为合数。从工作量看比逐个试除大大节省了算力，这种互素分割法也叫钓余分割法。以给定数平方根内的多个素数的乘积为诱饵，再看分割出的余数是否互素。该算法，不会产生指数时间，同黎曼猜想成立，大数分解便有多项式算法相一致，目前尚未见教科书和公开论文有介绍，故极有价值。该算法的时间复杂度f（n）粗略估算在：O（2n+2(n^1/2)）<f（n）<O(n²)的范围里。从更优化的角度出发也可在O（logn）的多项式时间内判明n是否为素数。

素数之旅，就象攀登喜马拉雅山峰，一路波谲云诡，却绮丽妙曼。

1.2.1．素性判别

素性判别的算法是指一个算法，用它可以判别任意一个自然数是否为素数。迄今为止，素性判别的方法有很多种，但它们有共同的形式，我们试将它们从总体上来讨论。

欲要寻求一个素性判别的算法，应先注意到素数所应该满足的一些性质，即一些必要条件。根据这些性质设计出一个条件组(也称试验组)。这个条件组有两个特点：凡是素数就满足条件组中的每个条件(也称为通过条件组)，凡通过这组试验组数，若不是素数，则它必有一个真因子落在某个特定的集合中。现对任给的数n，先看n 是否通过试验组，如果不通过，则n是合数；如果通过，则其可能的真因子有一个落在特定的集合中。然后，用这个特定的集合的每个元素去试除n，若有某个元素不等于1和n且整除n，则n是合数，否则，n是素数。

到目前为止，教科书仍然没有一个素性判别的多项式算法，换言之，没有一个素性判别的算法，它对n执行时的计算量是O(P(logn))，其中P(x)是多项式函数．“是否存在素性判别的多项式算法？”是一个没有解决的公开问题。人们偏向于说存在素性判别的多项式算法，但至今没有找到，也没有存在证明有该算法。通过用重合法和相邻论分析，素性判别的多项式算法是存在的，并且该判定可得到数理逻辑的存在性证明，说明存在性已经不是一个猜测了，而是真的有。但该证明不是构造性证明，因此仍然拿不出明确具体的多项式算法解决方案。对前期探索者而言依然没有能拿来套用的多项式算法，但对集结成果的后人，是一定存在多项式算法的。在已有的判别算法中，或者f(n)不是logn的多项式，或者g(n)不是logn的多项式。因而要得到一个素性判别的多项式算法，就需要设法使上述的f(n)和g(n)都是logn的多项式。从目前构造的算法看，时间复杂度在O(nlogn)<f（n）<O(n³)内。

多项式时间指的是一个算法的复杂度，在时间复杂度的计算中常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)（以上底数2省略）。只要算法的复杂度不会是最后两个指数或者阶乘型，前面的O(1)到O(n^m)（m为常数）任意组合都算是多项式级的复杂度；而O(2^n)，O(n!)型复杂度，就是非多项式级的，问题规模较大时，计算机也很难算出结果。所以我们一般会选择多项式级复杂度的算法。素数判别和大数分解让我们看到不仅是NP问题，也是P问题的希望。

根据重合法和相邻论，我们对素性判定有一套新的思路。其方法是，对给定大整数，进行不等量分割，切割出近似给定对象平方根的数，并用界内素数构造，对较小的余数部分进行素数比对筛查。我们权且把它叫着钓余分割法，以素数子阶乘或乘积为诱饵。比如，要判定14356771是否为素数，可用该数减去一个接近该数的素数子阶乘，仅需算14356771-（P！）看有没有P！中包含的素数，若没有，继续用该数减去一个接近该数的素数后继阶乘，看有没有P’！中包含的素数，持续用小于14356771^1/2内的素数子阶乘筛查，若都没有，那定是素数了。在此基础上不断添加些技巧（即素数阶乘与位数的对应），就可以加速判定给定数是否为素数。这种钓余分割法，有一个重要的优势就是，可以将筛查的标杆一锅端，或分几锅端便可，无疑是步枪换成了大炮，大大节省了空间和时间。

钓余分割法，是素性判别算法，就象姜太公垂钓渭水，能直钩分开还能牵引来的才叫真上钩。钓余分割法，通过素数互异分割筛查来找到目标。

大数分解和素性判别，其方法大体是相同的，同样可以用钓余分割法来分解大整数，不同点是已预先知道所给对象是大合数，如果知道素因子的个数，更可以将筛查标杆范围缩小，同样是构造一个界内素数乘积之诱饵去分割该大合数，从而可得到一个可方便判别素因子的数，然后互异的界内素数继续构造诱饵进行互素分割，可快速锁定目标。加密用的合数，考虑到用小素数因子比较容易被筛查出来，可直接用大素数乘积做诱饵进行互素分割筛查。比如n^k-p!=t，令k所取值使n^k接近p!，如果不用k指数，还可用2幂数做n的系数，再看t的素因子在哪段素数区间，很快就能比对找到其中一个素因子。如果没有就素数降界继续筛查。以上筛查是基于素数表是已知的，如果是未知的，就把每一个素数算法添加进去。100内的素数可以筛查10000内的素数，若从2开始筛查，时间复杂度就是logn。于是我们可以基本判定，大数分解是存在多项式算法的。P与NP是存在等量关系的，这里的NP特指多项式时间里的NP问题。为什么我们能得到这样一个惊人的结果，因为我们解决了一个大问题，线性空间必有二维素数基底，无二维素数基底便无通解，这个结论，可以废除大量冗长的不必要计算，这是我们可以得到漂亮结果的原因。这也进一步佐证了，哥德巴赫猜想获得存在性证明，对计算机应用科学来说，也是意义巨大的。

1.2.2．费马小定理与伪素数

试除法出现之后，一直到16世纪，其间除了一些很特殊的、很局限的素性判别法外，没有什么重要的结果。但到1640年，法国数学家费马首先注意到素数的一个性质，那就是下面讨论的费马小定理。这个性质是以后的所有素性判别法产生的根源，是指会用到大体相同的数论原理。

定理： (费马小定理) 若n是素数，则对所有不被n整除的a，有a^(n-1)≡1(modn)。

证明：因为(a，n)=1，则a，2a，…，(n－1)a分别按某个重排顺序模n同余于1，2，…，n－1。故有a^(n-1)·(n－1)！≡(n－1)！(modn)。因为n是素数，因此n与(n－1)！互素，因此，a^(n-1)≡1(modn)。

我们将费马小定理的另一个形式写成下面的推论。

推论：若n是素数，则对任意的整数有a^n≡a(modn)。

对某个自然数a，1≤a＜n，要验证(a，n)=1和a^(n-1)≡1(modn)是否成立，需要计算量为O(log3n)。因此，以对某些a，1≤a＜n，(a，n)=1验证a^(n-1)≡1(modn)作为试验组，将可能产生较好的素数判别法。为此，我们要来看n通过试验组的话，n具备什么性质。这就要考察一下费马小定理的逆命题。

费马素数。形如2^2n＋1的数称为费马数，记为Fn，若它又是素数，则称为费马素数，不是费马素数的费马数都是伪素数。早在17世纪，费马验证了F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537是素数。据此，他猜测Fn都是素数。费马和莱布尼茨都相信素数有通项公式表达，这是没有深入了解素数的结果。但到1732年，欧拉分解了F5：故费马的这个猜测不成立。自此之后，人们对n=6，7，8，9，10，11，12，……，9448，23471证明了Fn是合数。然而，除前5个费马数为素数外， 再也没发现任何费马素数了。因而人们更倾向于认为费马素数只有有限个，但之前没人对此作出证明。近年来，人们把精力放在分解费马数上，没人研究特殊的判别法来对费马数作素性判别。

事实上素数无多项式通项可表，也不存在仅表有限个素数的多项式通项。标准的不可约整系数多项式皆可表无穷素数，也能表无穷合数，也就是说不能连续表达素数，但总能无限表达素数，有些看似不可约的除外，如x（x+1）+2就看似不可约，实质把该多项式可穷分为两种情形，偶数2a和奇数2a+1情形，那x（x+1）+2=2a（2a+1）+2，显然有2因子，或者（2a+1）（2a+1+1）+2，显然也有2因子，总之x（x+1）+2定含2因子，属于隐性可约多项式，a（a+1）（a-1）+3也属于隐性可约多项式，不属于标准的整系数不可约多项式。能至少表1个素数的多项式皆可表无穷素数，它们都是标准的整系数不可约多项式，费马数就存在无穷费马素数，尽管一直没有发现新的费马素数。费马素数是否无穷可参考孪生素数猜想的证明。素数数列必须有限长，但素数数列组必须无限长，如果不是，会与波利尼亚克猜想相矛盾。具体证法可关注《希尔伯特第八问题有望终结：孪生素数猜想获证》一文。任何有限项有限步运算的多项式都是波利尼亚克猜想的各种整系数映射变换，因此我们可以断言，素数没有多项式通项表达，但可表一个素数的多项式通项皆能表达无穷个素数。虽然多项式有可能把素数间隔拉得越来越稀疏，但再怎么稀疏，素数仍然会无限延申。

说明通项表达所有素数是不可能的，但能表达素数的通项仅表有限个素数也是不可能的，有极限的，非发散型的通项除外。将不同类型的通项公式集结就能判定所有素数，也能分解所有整数，通项大致升级一个指数便能表达所有素数，可见素数判定能在多项式时间里求解出。正是因为我们证明了通项能表达无穷类型素数，才让我们相信，素数判别是存在多项式时间算法的。我们很多的数学困难问题，原来都卡在一个共同的问题上，该问题一旦解决，就可以多米诺骨牌式地解决一系列问题。真是数论领域无小事呀，有些数学家认为哥德巴赫猜想是个孤立问题的想法是欠深思的，它看上去的确没有跨数学分支，题面简单得象是给小学生的作业，但它对数学各分支却有深远影响，不得不佩服希尔伯特有深邃的洞察力，没有他的推荐，就没有这么广泛的重视。数学不是仅追求标准答案的，数学的追求是一切与标准不冲突的自由。因此破解陷门函数才是数学家们的兴趣所在。

1.2.3．素性判别与广义黎曼猜想

1976年，缪内发现了素性判别与广义黎曼猜想的一个深刻的关系。他得到的结果是：如果广义黎曼猜想(REH)成立，则有一个算法存在。它对每个n，可在logn的多项式时间内判明n是否为素数。即存在素性判别的多项式算法，而且可设计出这个算法。

由此可见，只要广义黎曼猜想成立，则素性判别的多项式算法是找到了的。但证明广义黎曼猜想是相当困难的，这是数学家们一直关注的问题。这里的讨论也表明，素性判别是需要用较高深的方法来研究。而作者曾写过《希尔伯特第八问题有望终结：黎曼猜想获证！》表明了黎曼猜想是一个存在性可解问题，这就肯定了素数判别和整数分解是存在多项式算法的。黎曼猜想能获证得关键是，经解析延拓出现了大量的负数项，扩域出来的数值是原解集光滑延申出来的，曲率保持不变的，而曲率的生成元是由复数解集中的实部决定的，Res唯有等于1/2时，才会与负数项同构，其它实部值都是同态关系。而这个判定来自，线性空间必有二维素数基底，不是更多维。这是黎曼猜想能获证的关键。这个思想就是证明哥德巴赫猜想的思想，而能证明哥德巴赫猜想和黎曼猜想的数学工具就是相邻论和重合法。重合法是一种数学变换工具，相邻论是一种数学归约工具，二者高度概括了数论的底层架构，故可用来解决许多数学难题，之所以难就是因为它同根本问题关联，而我们对根本问题一无所知，才导致困难。以下就重点介绍下这两个数学工具。

2.1.数学变换工具重合法

加性数论中的一种数学思维工具，用于等价变换，通过扩域确定充要条件。提出者，罗莫，他在数论专著《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社2019年）一书中阐述了万物同根宇宙共存的观点，与中国传统文化天人合一相似，他用精准的整数（形式语言）来表达这一观点（自然语言）无疑更能体现其抽象意义，更能代表其思想精髓。A和B两个不同的对象，如果没有明显相同的交集，也没有明显同构的全集，那么通过某种算法方式扩域定可找到相同的交集，定可找到同构的全集，这种数学思维方法就叫重合法。 

比如两个家族直接看上去，没有亲属关系，但通过更广泛的溯源，发现1000年前有共同的祖先，后人遍布个整个亚洲，那么我们就说，A和B经过某种扩域有相同的延申交集，有相同的延申全集。再比如说，两个奇素数之和是否与全体偶数同构，虽不可直接证明，但通过某种方式的扩展，就可判定两者的根系是一定同构的，比如左边仅用1对素数相加直接看不出与2n是否同构，但用n对素数相加我们就可根据算术基本定理立马判定n对素数之和与大于2的全集偶数2n是同构的。进一步拓展，任何数集，其A中的基数1和序数1与B中的基数1和序数1总是同构的，A量子空间中的一维素数和高维整数与B量子空间中的一维素数和高维整数总是同构的，这就是重合法的数学思维。重合法是一种放开视野寻找深层等量关系的数学思维方法，它是贯穿性存在普世价值和传世价值的数学底层引擎。通常用重合法来完成命题证明的筑基部分。

素数二元加法和乘法运算，无论是否有交集，扩展成，任意个或同或不同素数p相加和任意个或同或不同素数p相乘，必有相同单位元和相同通解可刻画，记为L（p）=alad∑pi=arad∏pi=n。 

2.1.1.定义

重合法（Coincidence Method）是加性数论能保值求解通项解集的底层引擎，是命题可等价变换的推理工具，是对象集合的空间桥梁，是方程可两边平衡的充要标杆。该数学工具是通过扩域和缩域来寻求等量对象的一种离散数学理论。该思想写成论文最早发表在《数学学习与研究》（2013年3期）上，后经完善编入《深圳基础理论原创文集（数学物理卷）》（海天出版社2017年）一书里，再次整理后收录于数论专集《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社2019年）一书中。作者用该数学工具尝试证明了一系列久未解决的数论难题，如互异版哥德巴赫猜想，考拉兹猜想等，均有突破性进展。

2.1.2.历史

在思考如何解决哥德巴赫猜想时，催生出的数学新工具，通过扩域或缩域，找到更直观的等价变换，从而为解决幕后问题筑基铺路。对称是经典数学和现代数学中的重要概念，对称就来自于重合，是通过重合来定义的，两个对象通过旋转、缩放、平移能够实现重合的就叫对称，通过跃迁实现重合的，也是一种对称，而第一跃迁，第一对称就是相邻，重合是交运算的结果，可确定所有对象的单位元，相邻是并运算的结果，可确定所有对象的通解。我们通过重合来理解主词，明白我是谁，我们通过相邻来理解谓词，明白从哪里来到哪里去。故说，重合是变换关系，相邻是归约关系。用不同的视角观察世界，就会呈现不同的真相；但会依然共一个真相。即便如此，底层还有不同的真相。相等与不相等是我们能前行的双脚。

2.1.3推导过程

尚不能判定互异奇素数p+q与全集偶数2n是否同构时，可先构造一个能蕴含p+q的对象同构2n，即p1+q1+p2+q2+p3+q3+……=2n，或根据伯特兰-切比雪夫定理，可构造p+bq=2n为同构方程，也叫三项互素的不等量分割方程，其中p为大于n小于2n的全集素数，2n为大于6的全集偶数，互异奇素数p+q为可表偶数。

素数二元加法和乘法运算，无论是否有交集，扩展成，任意个或同或不同素数p相加和任意个或同或不同素数p相乘，必有相同单位元和相同通解可刻画，记为L（p）=alad∑pi=arad∏pi=n。rad为无平方素因子运算，arad是其逆运算，lad为无相同素余子运算，alad是其逆运算。不等量分割是探索熵减世界的方法论，等量分割是探索熵增世界的方法论。

2.1.4应用

该等量变换可广泛用于证明丢番图数论问题。我们认知世界是通过推己及人而实现的，这就存在对单位元的选择，选择不同的单位元，便能看到不同的世界。黑箱里薛定谔的猫是死是活，取决于观察者的选择，这说明选择单位元的重要性，世界的真相是全然的，应有尽有的，但人所看到的，只能一份一份地从单位元中提取，所看到的始终是一个离散的整数世界，连续世界仅活在以整数为基本素材的想象中。先天的整数关系最为重要，正因为如此，数学家们才说上帝创造了正整数，其它是人的事情。

实数的连续性是通过戴德金分割来定义的，戴德金的思想之刀切割代数数会切到缝隙，即有时候会无相邻量，而戴德金的思想之刀是一定能切到实数的，即刀的两边总有一边存在实数相邻量，以此来说明连续是存在的。近似性地允许共时相邻，产生了连续，不允许共时相邻，产生了离散。对共时相邻进行不共时相邻分解认知，就产生了量子力学。其实思想之刀切割连续量是能够切到缝隙的，否则就不会有极限存在，也就无法通过极限来认知世界了，人是通过相邻差异来认知空间延申的，如果发现不了差异，就感知不到空间在延申，这就是为何存在泡利不相容原理的数学背景。

连续量是用无穷项表达的，连续量的极限是可用有限项表达的，离散量是用有限项表达的，研究连续量终究是要回到研究离散量的，戴德金的思想之刀不占空间的分割为连续分割，但离散量认为，思想之刀的厚度也是占异质空间的，这样连续量也就成了离散量。意味着精神可干预存在。说明连续量仅是离散量的一种近似选择。abc猜想就描述了这样一种性质，离散关系是如何制约连续关系的。 

如果相邻论体现了离散的思想，那重合法就体现了连续的思想。重合法的思想有利于考察我们的空间世界。相邻论的思想有利于考察我们的时间世界。重合法关心主词世界，相邻论关心谓词世界。做人要平等，做事要规矩。相对平稳的世界是用重合法构造的。

2.1.5.影响及意义

结合相邻论可证明众多久未解决的数论难题。如黎曼猜想，哥德巴赫猜想，孪生素数猜想，费马猜想，考拉兹猜想，abc猜想等。重合法的核心思想体现了数学之桥的重要性，空间与空间的连接需要有一个相互可理解的过渡，而重合就实现了这一目标，我们要想使用更辽阔的资源，就要有相同的度量衡。历史上东方世界的一体化是秦始皇完成的，而今的全球化浪潮是一次更广泛意义上的单位元统一。朗兰兹纲领认为数学发展更需要这种统一，当某一领域的问题不能解决时，可以等价变换到另一领域来解决，通过数学之桥可以逼近到一个最适合解决该问题的数学范畴中。这种搭建数学之桥的任务常常是用重合法来完成的，为何这么说，因为数论是所有数学的枢纽，能够把问题转换到数论中来，那离解决就不远了，数论中的新问题虽然很多，但数论是最为活跃的，解决问题的手段最为丰富。

因此如果有问题，能用重合法把问题同数论联系上，那会很快看到解决问题的希望。尤其是重合法与相邻论搭档能解决一系列丢番图问题。伽罗瓦创建的群论也是潜意识从重合法思想出发的，他一开始思考的问题是解决五次方程是否全部有根式解算式表达，他对五次方程有全部根式解的条件进行了变换定义，他发现了根式塔，他发现了域扩张，这就是伽罗瓦群，然后对群进行了分类，最后发现不是所有五次方程都有实数和复数解，也就是说，伽罗瓦发现域扩张是开放的，因此对某些量的运算封闭是不足以表达多项式方程的所有解集的，因此复数条件下不能穷尽五次方程的所有根式解。

重合法就是通过已知和未知发生交集，通过交集获得单位元，然后用该单位元去描述未知世界。群是通过单位元来产生对称变换的，而单位元就是通过域扩张后的重合法获得的。比如证明黎曼猜想时，如何将离散关系的等量变换为连续关系的等量，就用到通过域扩张而实现等价的重合法。解析延拓就是一种域扩张。

2.2.数学归约工具相邻论

加性数论中的一种数学思维工具，用于次第归约，寻找必要条件。提出者，罗莫，他在数论专著《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社）一书中阐述了万物有序天地井然的观点，与中国传统文化阴阳互异相似，他用次第的序列这一数学语言来表达用自然语言描述的宇宙观，相对而言无疑是更圆满的，更能代表这一思想的全貌。A和B两类不同的对象，如果没有找到交集到全集以及全集到交集的序列，那么通过某种算法方式扩域定可找到深层次的交集和全集之间的关联，找到最简本原解就是通解的必要条件，这种数学思维方法就叫相邻论。 

比如，勾三股四弦五就是毕达哥拉斯方程的某一本原解，没有本原解3，4，5解就没有3n，4n，5n的通解。再比如，与可表偶数互异的例外偶数不能用两互异素数之和p+q表达，那它一定也不能用两互异素数之和的线性映射来表达，没有一对素数之和p+q，便没有其线性映射的通解p+bq。二维素数线性空间必有基底，该命题为真，否则会与算术基本定理冲突。进一步推广，任何方程的解集，都必有最简本原解A和通解B，其中A可视为单位元（即基础解系），B为可满足所有线性算子作用二元素数基础解系所得通解，这就是相邻论的数学思维。相邻论是一种通过分解或分割通解从而得到必要条件单位元的数学思维方法，它是非贯穿性存在结界价值和能级价值的数学底层引擎。通常用相邻论来完成命题证明的封顶部分。用该方法可以解决希尔伯特第八问题，包括黎曼假设，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。 

(p+q)(1+b)T=p+bq=2n,2n是全集偶数，p、q为素数，可知(p+q)=2n是原通解方程的最简本原解，也叫二维素数基础解系，无基础解系则无相应通解，故与可表偶数互异的例外偶数定是空集。 

2.2.1定义

相邻论（Adjacent Theory）是加性数论能保真变换二元关系的底层引擎，是命题可次第归约的推理工具，是万物产生关联的时间纽带，是函数可扩域和可缩域的必要条件。该数学工具是揭示紧邻互异必有互素关系的一种离散数学理论。该思想写成论文最早发表在《数学学习与研究》（2013年3期）上，后经完善编入《深圳基础理论原创文集（数学物理卷）》（海天出版社2017年）一书里，再次整理后收录于数论专集《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社2019）一书中。作者用该数学工具尝试证明了一系列久未解决的数论难题，如互异版哥德巴赫猜想，考拉兹猜想等，均有突破性进展。 

2.2.2历史

二维实数线性空间必有基底，用选择公理亦可证明之，故根据定义可判定例外偶数因无素数基底解导致为空集，而全集偶数是可表偶数与例外偶数的并集。可表偶数的定义是，所有能用两互异奇素数之和表达的偶数叫可表偶数，不能用两互异奇素数之和表达的偶数叫例外偶数。既然例外偶数是空集，那全集偶数就与可表偶数等价，可表偶数全部是用两互异奇素数之和表示的，那全集偶数也就定可用两互异奇素数之和全部表示。而二维素数线性空间必有基底，则仅需归谬法就能证明，如不成立，会与伯特兰-切比雪夫定理矛盾，会与算术基本定理冲突。这种寻找最简本原解的思维，可解决很多优化问题。

2.2.3推导过程

没有一对素数之和p+q，便没有其线性映射（1+b）的通解p+bq。二维素数线性空间必有基底。假如系数向量（1+b）正交作用二元素数基础解系p+q不能获得全集偶数2n，便会与伯特兰-切比雪夫定理矛盾，也会与算术基本定理矛盾。可见没有二维素数线性空间基础解系，便没有通解2n。还已知，例外偶数若存在，也必在通解2n中，也必有2n的二元素数基础解系，但根据例外偶数的定义，例外偶数与可表偶数p+q互异，也就是说，例外偶数不存在二维素数基础解系，自然也就没有该类型偶数对应的通解，故例外偶数是空集。根据全集偶数是可表偶数与例外偶数的并集，可知一旦例外偶数为空集，那可表偶数与全集偶数就同构等价，而可表偶数是完全用两互异奇素数之和定义的。这就证明了，大于6的全集偶数皆可用两互奇素数之和表示。互异版的哥德巴赫猜想也就获证，当然欧拉版的哥德巴赫猜想也就获证，把3+3=6的特例补上便可。互异版成立，欧拉版就成立，但欧拉版成立，不能直接推出互异版能成立。 

2.2.4.应用

相邻论作为强大的数学归约工具，与数学变换工具重合法一起，可以用来证明很多久未解决的数论猜想，有多米诺骨牌效应，同理可证明斋藤猜想成立，孪生素数猜想成立，此外还可以此为引理，证明黎曼猜想也成立。互异版哥德巴赫猜想获证，更有利于探索素数的分布。 

通过研究与一般集合互异的例外集合其基础解系或初项元素归空，从而可证明该类一般集合定同构全集集合。这种打蛇打七寸的思想就是相邻论。该数学工具专攻事物的主要矛盾，故可广泛应用于各分支数学中，也可广泛应用于不同学科中，对于如何判别“凤毛麟角真心可求”“龟毛兔角子虚乌有”具有鉴别意义。

2.2.5.影响及意义

除了用“二维线性空间必有二维素数基底”这一引理证明例外偶数是空集外，还可对应启发出别的证明方法，同样可证例外偶数是空集。即通过整数相邻互素定理的获证，也可证明哥德巴赫猜想成立，它可证明例外偶数没有任何素数因子可构造，因为一定会与所有的可表偶数累积互素，而可表偶数是蕴含全集素数因子的，这个也可以用整数相邻互素定理来证明，更能直观体现相邻论的思想。

在三元整数方程a+b=c中，若a、b两元互素，则三元两两互素，假如b、c或b、a非互素，就会导致整数与真分数相等，矛盾，故三元整数方程两两互素定理成立。

再证可表偶数蕴含所有素数因子。令2p为可表偶数，2p'为例外偶数，例外偶数就是不能用两互异奇素数之和表达的偶数，p、p'为互异奇素数，它们的并集须囊括所有的奇素数q。那么必有2p-2p'=2t，p与p'为互异奇素数，互异素数必互素，根据三元整数方程若两元互素必三元两两互素的性质，p与t必累积互素，p'与t必累积互素。由于构造t的素因子，始终要与p、p'互素，其累积结果导致要与所有的素数q互素，如此t就没有素因子可构造，加上2p-2^w=2t,t与偶素数也互素，故例外偶数2p'不存在，故可表偶数2p中的p蕴含所有素数因子就得证，则全集可表偶数2m蕴含所有素数因子也就得证。

龙头例外偶数2h与例外偶数2m约掉2因子后是相邻互素的，而可表偶数已证明蕴含所有素数因子p，可表偶数与前继可表偶数也相邻互素，但其可用远邻的新素数因子构造，而例外偶数已定义要与所有的可表偶数互异，意味着要与所有的可表偶数相邻互素来通关筛查，才能得到例外偶数，即每个例外偶数中的h与所有可表偶数中的m之并是互素的，gcb（h，Upi）=1，gcb（h，Umi）=1，故没有后继的素数因子可构造龙头例外偶数，没有龙头例外偶数，也就自然没有例外偶数全集，从而证明大于6的全集偶数与可表偶数等价。

还有一个至简的证明方法，出自《数学学习与研究》（2013年3期）上的一篇论文“用重合法可证明哥德巴赫猜想原题”，该文用归谬法证明，如果可表偶数两素数之和不能表达所有可表偶数2m的后继偶数，那添加任意个素数的非可表偶数也不能表达所有偶数，因2m=2h-2，且m和h解集互异，即可表偶数2m（含2p）与龙头例外偶数2h恒相邻，h必不含任意m中的所有p因子，h也就不存在，故例外偶数2h表达不了可表偶数的后继偶数，而p+bq与全集偶数2n是完全等价的，这就反证了两素数之和必能表达所有可表偶数的后继偶数。可以理解成，f(f(p+q))=p+q+2，可表偶数互素的生成对象依然是可表偶数，每次互素，但解集等价。而例外偶数，与解集互异，除每次互素，且须与每个可表偶数都累积互素，故为空集。

众多证明途径显示，素数分布虽然没有通项公式可捕捉，但可用相邻迭代式去求解素数，因此哥德巴赫猜想可获存在性证明，它说明基于大质数分解的密码学是安全的，大质数依然不能快速分解，但加密技术是不能一劳永逸高枕无忧的，哥德巴赫猜想获证，给大数快速分解质因子提供了一些可优化的方法。故不可等闲视之。根据集合的龙头初项性质来判定整个集合性质的方法就是一种数学归约思维，它对提速大质数分解有深远的意义，对基于离散数学发展而发展的量子力学无疑会连带受益。（文/罗莫）